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Articulo de referencia

distribución q -exponencial

q [[shape parameter|shape]] ([[Real number|real]]) \\lambda > 0 [[rate parameter|rate]] ([[Real number|real]])"},"support":{"wt":" x \\in [0, \\infty) \\text{ for } q \\ge 1 x \...

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La distribución q -exponencial es una distribución de probabilidad que surge de la maximización de la entropía de Tsallis bajo restricciones apropiadas, incluyendo la restricción de que el dominio sea positivo. Es un ejemplo de una distribución de Tsallis . La q -exponencial es una generalización de la distribución exponencial de la misma manera que la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs o la entropía de Shannon . [ 1 ] La distribución exponencial se recupera comoq→1.{\displaystyle q\rightarrow 1.}

Propuesta originalmente por los estadísticos George Box y David Cox en 1964, [ 2 ] y conocida como la transformación inversa de Box-Cox paraq=1−λ,{\displaystyle q=1-\lambda ,}un caso particular de transformación de potencia en estadística.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La distribución q -exponencial tiene la función de densidad de probabilidad

(2−q)λmiq(−λincógnita){\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}

dónde

miq(incógnita)=[1+(1−q)incógnita]1/(1−q){\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}}

es q -exponencial si q ≠ 1. Cuando q = 1 , e q (x) es simplemente exp( x ).

Derivación

De forma similar a como se puede derivar la distribución exponencial (utilizando la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs o la entropía de Shannon y restringiendo el dominio de la variable a ser positivo), la distribución q -exponencial se puede derivar de una maximización de la entropía de Tsallis sujeta a las restricciones apropiadas.

Relación con otras distribuciones

La q -exponencial es un caso especial de la distribución de Pareto generalizada donde

μ=0,ξ=q−12−q,σ=1λ(2−q).{\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.}

La distribución q -exponencial es la generalización de la distribución de Lomax (Pareto Tipo II), ya que extiende esta distribución a los casos de soporte finito. Los parámetros de Lomax son:

α=2−qq−1,λLometroaincógnita=1λ(q−1).{\displaystyle \alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.}

Como la distribución de Lomax es una versión desplazada de la distribución de Pareto , la q -exponencial es una generalización reparametrizada desplazada de la distribución de Pareto. Cuando q > 1 , la q -exponencial es equivalente a la distribución de Pareto desplazada para que su soporte comience en cero. Específicamente, si

incógnita∼q-miincógnitapag⁡(q,λ) y Y∼[Pareto⁡(incógnitametro=1λ(q−1),α=2−qq−1)−incógnitametro],{\displaystyle X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ y }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],}

entoncesincógnita∼Y.{\displaystyle X\sim Y.}

Generando desviaciones aleatorias

Se pueden extraer desviaciones aleatorias utilizando el muestreo de transformación inversa . Dada una variable U que se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), entonces

incógnita=−q′lnq′⁡(U)λ∼q-miincógnitapag⁡(q,λ){\displaystyle X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )}

dóndelnq′{\displaystyle \ln _{q'}}es el q -logaritmo yq′=12−q.{\displaystyle q'={\frac {1}{2-q}}.}

Aplicaciones

Al ser una transformación de potencia , es una técnica habitual en estadística para estabilizar la varianza, logrando que los datos se aproximen a una distribución normal y mejorando la validez de medidas de asociación como la correlación de Pearson entre variables. Se ha demostrado que es un modelo preciso para los retrasos en trenes. [ 3 ] También se encuentra en física atómica y óptica cuántica, por ejemplo, en procesos de creación de condensados ​​moleculares mediante la transición a través de la resonancia de Feshbach. [ 4 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Tsallis, C. Entropía no aditiva y mecánica estadística no extensiva: una visión general después de 20 años. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
  2. ↑ Box, George EP ; Cox, DR (1964). " An analysis of transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 ( 2): 211– 252. doi : 10.1111/j.2517-6161.1964.tb00553.x . JSTOR 2984418. MR 0192611 .  
  3. ↑ Keith Briggs y Christian Beck (2007). "Modelado de retrasos de trenes con funciones q -exponenciales". Physica A. 378 ( 2): 498– 504. arXiv : physics/0611097 . Bibcode : 2007PhyA..378..498B . doi : 10.1016/j.physa.2006.11.084 . S2CID 107475 . 
  4. ↑ C. Sun; NA Sinitsyn (2016). "Extensión de Landau-Zener del modelo de Tavis-Cummings: Estructura de la solución". Phys. Rev. A . 94 (3) 033808. arXiv : 1606.08430 . Bibcode : 2016PhRvA..94c3808S . doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . S2CID 119317114 . 

Lecturas adicionales

  • Juniper, J. (2007) "La distribución de Tsallis y la entropía generalizada: perspectivas para futuras investigaciones sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre". Archivado el 6 de julio de 2011 en Wayback Machine , Centro para el Pleno Empleo y la Equidad, Universidad de Newcastle, Australia.
  • Estadística de Tsallis, Mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance