Q.E.D.

Q.E.D. (also written as QED) is an initialism of the Latin phrasequod erat demonstrandum, meaning "that which was to be demonstrated". Literally, it states "what was to be shown".^[1] Traditionally, the abbreviation is placed at the end of mathematical proofs and philosophicalarguments in print publications, to indicate that the proof or the argument is complete.

The phrase quod erat demonstrandum is a translation into Latin from the Greekὅπερ ἔδει δεῖξαι (hoper edei deixai; abbreviated as ΟΕΔ). The meaning of the Latin phrase is "that [thing] which was to be demonstrated" (with demonstrandum in the gerundive).

The Greek phrase was used by many early Greek mathematicians, including Euclid^[2] and Archimedes.

The Latin phrase is attested in a 1501 Euclid translation of Giorgio Valla.^[3] Its abbreviation q.e.d. is used once in 1598 by Johannes Praetorius,^[4] more in 1643 by Anton Deusing,^[5] extensively in 1655 by Isaac Barrow in the form Q.E.D.,^[6] and subsequently by many post-Renaissance mathematicians and philosophers.^[7]

During the European Renaissance, scholars often wrote in Latin, and phrases such as Q.E.D. were often used to conclude proofs.

Quizás el uso más famoso de QED en un argumento filosófico se encuentra en la Ética de Baruch Spinoza , publicada póstumamente en 1677. ^{[ 9 ]} Escrita en latín, muchos la consideran la obra cumbre de Spinoza . El estilo y el sistema del libro, como dice Spinoza, están «demostrados en orden geométrico », con axiomas y definiciones seguidos de proposiciones . Para Spinoza, esto representa una mejora considerable con respecto al estilo de escritura de René Descartes en las Meditaciones , que sigue la forma de un diario . ^{[ 10 ]}

Existe otra frase latina con un significado ligeramente diferente, generalmente abreviada de forma similar, pero menos común en su uso. Quod erat faciendum , que proviene de la expresión de cierre de los geómetras griegos ὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( hoper edei poiēsai ), que significa "lo que había que hacer". ^{[ 11 ]}

Euclides utilizó el original griego de Quod Erat Faciendum (QEF) para concluir proposiciones que no eran demostraciones de teoremas, sino construcciones de objetos geométricos. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, la primera proposición de Euclides que muestra cómo construir un triángulo equilátero , dado un lado, se concluye de esta manera. ^{[ 13 ]}

No existe un equivalente formal común en inglés, aunque el final de una demostración puede anunciarse con una declaración simple como "así se demuestra", "esto completa la demostración", "como se requería", "como se deseaba", "como se esperaba", "por lo tanto demostrado", "ergo", "tan correcto" u otras frases similares.

Debido a la importancia fundamental de las demostraciones en matemáticas , los matemáticos, desde la época de Euclides, han desarrollado convenciones para delimitar el inicio y el final de las mismas. En los textos impresos en inglés, las enunciaciones formales de teoremas , lemas y proposiciones se escriben tradicionalmente en cursiva. El comienzo de una demostración suele aparecer inmediatamente después y se indica con la palabra «demostración» en negrita o cursiva. Por otro lado, existen diversas convenciones simbólicas para indicar el final de una demostración.

Aunque algunos autores siguen utilizando la abreviatura clásica QED, es relativamente poco común en los textos matemáticos modernos. Paul Halmos afirma haber sido pionero en el uso de un cuadrado (o rectángulo) negro sólido al final de una demostración como símbolo QED, ^{[ 14 ]} una práctica que se ha convertido en estándar, aunque no universal. Halmos señaló que adoptó este uso de un símbolo de las costumbres tipográficas de las revistas , en las que se habían utilizado formas geométricas simples para indicar el final de un artículo, las llamadas marcas de fin . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Este símbolo fue posteriormente denominado lápida , símbolo de Halmos o incluso halmos por los matemáticos. A menudo, el símbolo de Halmos se dibuja en la pizarra para señalar el final de una demostración durante una clase, aunque esta práctica no es tan común como su uso en textos impresos.

El símbolo de la lápida aparece en TeX como el carácter${\displaystyle \blacksquare }$(cuadrado relleno, \cuadrado negro) y a veces, como un${\displaystyle \square }$(cuadrado hueco, \cuadrado o \caja). ^{[ 17 ]} En el entorno de teoremas AMS para LaTeX , el cuadrado hueco es el símbolo predeterminado de fin de prueba. Unicode proporciona explícitamente el carácter de "fin de prueba", U+220E (∎). Algunos autores utilizan otros símbolos Unicode para indicar el final de una prueba, incluidos ▮ (U+25AE, un rectángulo vertical negro) y ‣ (U+2023, una bala triangular). Otros autores han adoptado dos barras inclinadas hacia adelante (//,${\displaystyle //}$) o cuatro barras inclinadas hacia adelante (////,${\displaystyle ////}$). ^{[ 18 ]} En otros casos, los autores han optado por separar las pruebas tipográficamente, mostrándolas como bloques con sangría. ^{[ 19 ]}

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