Esquema RÁPIDO

En dinámica de fluidos computacional, QUICK , que significa Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics, es un esquema de diferenciación de orden superior que considera una ecuación de convección-difusión constante ponderada por interpolación cuadrática para los valores de la cara de la celda. En dinámica de fluidos computacional, existen muchos métodos de solución para resolver la ecuación de convección-difusión constante . Algunos de los métodos utilizados son el esquema de diferenciación central, el esquema de barlovento , el esquema híbrido, el esquema de ley de potencia y el esquema QUICK.

El esquema QUICK fue presentado por Brian P. Leonard, junto con el esquema QUICKEST (QUICK con términos de transmisión estimados), en un artículo de 1979. ^[1]

Para encontrar el valor nominal de la celda, se debe utilizar una función cuadrática que pase por dos nodos circundantes o de encorchete y un nodo en el lado de aguas arriba. En el esquema de diferenciación central y el esquema de contraviento de segundo orden , se incluye la derivada de primer orden y se ignora la derivada de segundo orden. Por lo tanto, estos esquemas se consideran precisos de segundo orden, mientras que QUICK tiene en cuenta la derivada de segundo orden, pero ignora la derivada de tercer orden, por lo que se considera preciso de tercer orden. ^[2] Este esquema se utiliza para resolver ecuaciones de convección-difusión utilizando la diferencia central de segundo orden para el término de difusión y para el término de convección , el esquema es preciso de tercer orden en el espacio y de primer orden en el tiempo. QUICK es más apropiado para flujo constante o flujo elíptico altamente convectivo cuasi constante . ^[3]

Para el dominio unidimensional que se muestra en la figura, el valor Φ en una cara del volumen de control se aproxima utilizando una función cuadrática de tres puntos que pasa por los dos nodos de encuadre o circundantes y otro nodo en el lado ascendente. ^[4] En la figura, para calcular el valor de la propiedad en la cara, debemos tener tres nodos, es decir, dos nodos de encuadre o circundantes y un nodo ascendente.

1. Φ _w cuando u _w > 0 y u _e > 0 se utiliza un ajuste cuadrático a través de WW, W y P,
2. Φ _e cuando u _w > 0 y u _e > 0 se utiliza un ajuste cuadrático a través de W, P y E,
3. Φ _w cuando u _w < 0 y u _e < 0 se utilizan los valores de W, P y E,
4. Se utilizan los valores de P, E y EE cuando _u w _< 0 y u e _{< 0.}

Sean los dos nodos de encuadre i e i − 1 y el nodo ascendente i − 2, entonces, para una cuadrícula uniforme , el valor de φ en la cara de la celda entre los tres nodos viene dado por:

${\displaystyle \phi _{cara}={\frac {6}{8}}\phi _{i-1}+{\frac {3}{8}}\phi _{i}-{\frac { 1}{8}}\phi _{i-2}}$

La convección y difusión constantes de una propiedad 'Ƥ' en un campo de flujo unidimensional dado con velocidad 'u' y en ausencia de fuentes se da

${\displaystyle {d(\rho u\phi ) \sobre dx}={\frac {d}{dx}}\left(r{\frac {d\phi }{dx}}\right).}$

Para la continuidad del flujo también debe satisfacerse

${\displaystyle {d(\rho u) \sobre dx}=0.}$

Discretizando la ecuación anterior a un volumen de control alrededor de un nodo particular obtenemos

${\displaystyle (\rho uA\phi )_{e}-(\rho uA\phi )_{w}=\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{e}-\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{w}}$

Integrando esta ecuación de continuidad sobre el volumen de control obtenemos

${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0}$

Ahora asumiendo y${\displaystyle F=\rho u}$${\displaystyle D=r/\sigma x}$

Los valores de las celdas correspondientes a las variables anteriores se dan por

${\displaystyle F_{w}=\left(\rho u\right)_{w}}$

${\displaystyle F_{e}=\left(\rho u\right)_{e}}$

${\displaystyle D_{w}={r_{w}}/{\sigma x_{WP}}}$

${\displaystyle D_{e}={r_{e}}/{\sigma x_{PE}}}$

Suponiendo un área constante sobre todo el volumen de control obtenemos

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

Cuando el flujo es en dirección positiva los valores de las velocidades serán y , ${\displaystyle u_{w}>0}$${\displaystyle u_{e}>0}$

Para los nodos de delimitación "w (cara oeste)" los nodos son W y P, el nodo ascendente es WW entonces, ^[5]

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{W}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1} {8}}\phi _{WW}}$

Para "e (cara este)", los nodos de delimitación son P y E, el nodo ascendente es W, entonces

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1} {8}}\phi _{W}}$

El gradiente de la parábola se utiliza para evaluar los términos de difusión .

Si F _w > 0 y F _e > 0 y si utilizamos las ecuaciones anteriores para los términos convectivos y la diferenciación central para los términos de difusión, la forma discretizada de la ecuación de transporte por convección-difusión unidimensional se escribirá como:

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

${\displaystyle F_{e}({\frac {6}{8}}\phi _{p}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1}{8}}\phi _{w}\right)-F_{W}({\frac {6}{8}}\phi _{w}+{\frac {3}{8}}\phi _{p}-{\frac {1}{8}}\phi _{ww}\right)=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{W}(\phi _{p}-\phi _{w}\right)}$

Al reorganizar obtenemos

${\displaystyle \left(D_{w}-{\frac {3}{8}}F_{w}+D_{e}+{\frac {6}{8}}F_{e}\right)\phi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}\right)\phi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}\right)\phi _{E}-{\frac {1}{8}}F_{w}\phi _{WW}}$

Ahora se puede escribir en la forma estándar:

${\displaystyle a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+a_{WW}\phi _{WW}}$

dónde:

Cuando el flujo es en dirección negativa el valor de las velocidades será u _w < 0 y u _e < 0,

Para la cara oeste w los nodos de delimitación son W y P, el nodo aguas arriba es E y para la cara este E los nodos de delimitación son P y E, el nodo aguas arriba es EE

Para < 0 y < 0 el flujo a través de los límites oeste y este está dado por las expresiones: ${\displaystyle F_{w}}$${\displaystyle F_{e}}$

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{W}-{\frac {1}{8}}\phi _{E}}$

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{E}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}}\phi _{EE}}$

La sustitución de estas dos fórmulas para los términos convectivos en la ecuación de convección-difusión discretizada junto con la diferenciación central para los términos de difusión conduce, después de un reordenamiento similar a la dirección positiva como se indicó anteriormente, a los siguientes coeficientes.

a _P Φ _P = a _W Φ _W + a _E Φ _E + a _WW Φ _WW + a _EE Φ _EE

Aquí, a _P = a _W + a _E + a _WW + a _EE + (F _e - F _w )

otros coeficientes

dónde

α _w = 1 para F _w > 0 y α _e = 1 para F _e > 0

α _w = 0 para F _w < 0 y α _e = 0 para F _e < 0.

En el gráfico siguiente se puede observar que el esquema QUICK es más preciso que el esquema de viento en contra. En el esquema QUICK nos enfrentamos a los problemas de sobreimpulso y subimpulso , debido a los cuales se producen algunos errores. Estos sobreimpulsos y subimpulsos deben tenerse en cuenta al interpretar las soluciones. Los errores de difusión falsos se minimizarán con el esquema QUICK en comparación con otros esquemas.

• Esquema de ceñida
• Esquema de ley de potencia
• Método de volumen finito
• Método de diferencias finitas

• Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos , Taylor & Francis Group, ISBN 978-0-89116-522-4
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
• Fecha, Anil W. (2005), Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85326-2