q -analógico

En matemáticas , un q -análogo de un teorema, identidad o expresión es una generalización que incorpora un nuevo parámetro q y que devuelve el teorema, identidad o expresión original en el límite cuando q → 1. Por lo general, los matemáticos se interesan en los q -análogos que surgen de forma natural, en lugar de en la creación arbitraria de q -análogos de resultados conocidos. El primer q -análogo estudiado en detalle es la serie hipergeométrica básica , introducida en el siglo XIX. ^{[ 1 ]}

Los análogos q se estudian con mayor frecuencia en los campos matemáticos de la combinatoria y las funciones especiales . En estos contextos, el límite q → 1 suele ser formal, ya que q suele tener valores discretos (por ejemplo, puede representar una potencia prima ). Los análogos q encuentran aplicaciones en diversas áreas, incluyendo el estudio de fractales y medidas multifractales , y expresiones para la entropía de sistemas dinámicos caóticos . La relación con los fractales y los sistemas dinámicos se debe a que muchos patrones fractales poseen las simetrías de los grupos fuchsianos en general (véanse, por ejemplo, las perlas de Indra y la junta apolínea ) y del grupo modular en particular. Esta conexión pasa por la geometría hiperbólica y la teoría ergódica , donde las integrales elípticas y las formas modulares desempeñan un papel destacado; las series q están estrechamente relacionadas con las integrales elípticas.

Los análogos q también aparecen en el estudio de los grupos cuánticos y en las superálgebras q -deformadas . La conexión aquí es similar, ya que gran parte de la teoría de cuerdas se formula en el lenguaje de las superficies de Riemann , lo que da lugar a conexiones con las curvas elípticas , que a su vez se relacionan con las series q .

La teoría q clásica comienza con los q -análogos de los enteros no negativos. ^{[ 2 ]} La igualdad

$${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$$

sugiere que definamos el q- análogo de n , también conocido como el q- corchete o q -número de n , como

$${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$$

Por sí sola, la elección de este q- análogo particular entre las muchas opciones posibles no está motivada. Sin embargo, aparece de forma natural en varios contextos. Por ejemplo, habiendo decidido usar [ n ] _q como el q- análogo de n , se puede definir el q- análogo del factorial , conocido como el q -factorial , mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}\,[n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$$

Este análogo q aparece de forma natural en varios contextos. En particular, mientras que n ! cuenta el número de permutaciones de longitud n , [ n ] _q ! cuenta las permutaciones mientras lleva un registro del número de inversiones . Es decir, si inv( w ) denota el número de inversiones de la permutación w y S _n denota el conjunto de permutaciones de longitud n , tenemos

$${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}$$

En particular, se recupera el factorial usual tomando el límite como${\displaystyle q\rightarrow 1}$.

El factorial q también tiene una definición concisa en términos del símbolo q -Pochhammer , un componente básico de todas las teorías q :

$${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$$

A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q- coeficientes binomiales , también conocidos como coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos o coeficientes binomiales gaussianos :

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$$

La función q -exponencial se define como:

$${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$$

En este contexto, se han definido funciones trigonométricas q , junto con una transformada de Fourier q .

Por el contrario, al dejar que q varíe y ver los análogos de q como deformaciones, se puede considerar el caso combinatorio de q  =  1 como un límite de los análogos de q cuando q → 1   (a menudo no se puede simplemente dejar q  =  1 en las fórmulas, de ahí la necesidad de tomar un límite).

Esto se puede formalizar en el campo con un elemento , que recupera la combinatoria como álgebra lineal sobre el campo con un elemento: por ejemplo, los grupos de Weyl son grupos algebraicos simples sobre el campo con un elemento.

Los análogos q se encuentran a menudo en soluciones exactas de problemas de muchos cuerpos. En tales casos, el límite q → 1 generalmente corresponde a dinámicas relativamente simples, por ejemplo, sin interacciones no lineales, mientras que q < 1 permite comprender el régimen no lineal complejo con retroalimentación.

Un ejemplo de la física atómica es el modelo de creación de condensado molecular a partir de un gas atómico fermiónico ultrafrío durante un barrido de un campo magnético externo a través de la resonancia de Feshbach . ^{[ 4 ]} Este proceso se describe mediante un modelo con una versión q -deformada del álgebra de operadores SU(2), y su solución se describe mediante distribuciones exponenciales y binomiales q -deformadas.

• Lista de análogos de q
• Número Stirling
• Cuadro juvenil

• Andrews, GE , Askey, RA y Roy, R. (1999), Funciones especiales , Cambridge University Press, Cambridge.
• Gasper, G. y Rahman, M. (2004), Series hipergeométricas básicas , Cambridge University Press, ISBN 0521833574.
• Ismail, MEH (2005), Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable , Cambridge University Press.
• Koekoek, R. y Swarttouw, RF (1998), El esquema Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos y su análogo q , 98-17, Universidad Tecnológica de Delft, Facultad de Tecnología de la Información y Sistemas, Departamento de Matemáticas Técnicas e Informática.

• "Cálculo umbral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• q -analógico de MathWorld
• q -corchete de MathWorld
• q -factorial de MathWorld
• Coeficiente q -binomial de MathWorld