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Álgebra de Lie cuadrática

Un álgebra de Lie cuadrática es un álgebra de Lie junto con una forma bilineal simétrica compatible . La compatibilidad significa que es invariante bajo la representación adjunt...

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Un álgebra de Lie cuadrática es un álgebra de Lie junto con una forma bilineal simétrica compatible . La compatibilidad significa que es invariante bajo la representación adjunta . Ejemplos de tales son las álgebras de Lie semisimples , como su( n ) y sl( n , R ) .

Definición

Un álgebra de Lie cuadrática es un álgebra de Lie ( g ,[.,.]) junto con una forma bilineal simétrica no degenerada.(.,.):gramo⊗gramo→R{\displaystyle (.,.)\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }que es invariante bajo la acción adjunta, es decir

([ X , Y ], Z )+( Y ,[ X , Z ])=0

donde X, Y, Z son elementos del álgebra de Lie g . Una localización/generalización es el concepto de algebroide de Courant donde el espacio vectorial g se reemplaza por (secciones de) un fibrado vectorial .

Ejemplos

Como primer ejemplo, consideremos R n con paréntesis cero y producto interno estándar.

((incógnita1,…,incógnitanorte),(y1,…,ynorte)):=∑jincógnitajyj{\ Displaystyle ((x_ {1}, \ dots, x_ {n}), (y_ {1}, \ dots, y_ {n})): = \ sum _ {j} x_ {j} y_ {j}}.

Dado que el corchete es trivial, la invariancia se cumple trivialmente.

Como ejemplo más elaborado, consideremos so(3) , es decir R 3 con base X,Y,Z , producto interno estándar y corchete de Lie.

[incógnita,Y]=Z,[Y,Z]=incógnita,[Z,incógnita]=Y{\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X]=Y}.

Un cálculo sencillo demuestra que el producto interno se conserva efectivamente. Una generalización es la siguiente.

Álgebras de Lie semisimples

Un gran grupo de ejemplos encaja en la categoría de álgebras de Lie semisimples, es decir, álgebras de Lie cuya representación adjunta es fiel. Ejemplos de ello son sl(n,R) y su(n) , así como sumas directas de las mismas. Sea g un álgebra de Lie semisimple con representación adjunta ad , es decir

ad:gramo→minorted(gramo):incógnita↦(adincógnita:Y↦[incógnita,Y]){\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}):X\mapsto (\mathrm {ad} _{X}\colon Y\mapsto [X,Y])}.

Defina ahora la forma de matar.

k:gramo⊗gramo→R:incógnita⊗Y↦−tr(adincógnita∘adY){\displaystyle k\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} :X\otimes Y\mapsto -\mathrm {tr} (\mathrm {ad} _ {X}\circ \mathrm {ad} _{Y})}.

Debido al criterio de Cartan , la forma de Killing no es degenerada si y solo si el álgebra de Lie es semisimple.

Si g es además un álgebra de Lie simple , entonces la forma de Killing consiste en reescalar la única forma bilineal simétrica invariante.

Referencias

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