cálculo diferencial cuántico

En geometría cuántica o geometría no conmutativa , un cálculo diferencial cuántico o una estructura diferencial no conmutativa sobre un álgebra${\displaystyle A}$sobre un campo${\displaystyle k}$significa la especificación de un espacio de formas diferenciales sobre el álgebra. El álgebra${\displaystyle A}$Aquí se considera un anillo de coordenadas , pero es importante señalar que puede ser no conmutativo y, por lo tanto, no ser un álgebra real de funciones de coordenadas en ningún espacio real; así, esto representa un punto de vista que reemplaza la especificación de una estructura diferenciable para un espacio real. En geometría diferencial ordinaria, se pueden multiplicar 1-formas diferenciales por funciones tanto por la izquierda como por la derecha, y existe una derivada exterior. Correspondientemente, un cálculo diferencial cuántico de primer orden implica al menos lo siguiente:

1. Un${\displaystyle A}$-${\displaystyle A}$-bimódulo${\displaystyle \Omega ^{1}}$encima${\displaystyle A}$, es decir, se pueden multiplicar elementos de${\displaystyle \Omega ^{1}}$por elementos de${\displaystyle A}$de forma asociativa:$${\displaystyle a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.}$$
2. Un mapa lineal${\displaystyle {\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}}$obedecer la regla de Leibniz$${\displaystyle {\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A}$$
3. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}}$
4. (Condición de conectividad opcional)${\displaystyle \ker \ {\rm {d}}=k1}$

La última condición no siempre se impone, pero se cumple en la geometría ordinaria cuando la variedad es conexa. Dice que las únicas funciones eliminadas por${\displaystyle {\rm {d}}}$son funciones constantes.

Una estructura de álgebra externa o álgebra diferencial graduada sobre${\displaystyle A}$significa una extensión compatible de${\displaystyle \Omega ^{1}}$incluir análogos de formas diferenciales de orden superior

$${\displaystyle \Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$$

obedeciendo una regla de Leibniz graduada con respecto a un producto asociativo en${\displaystyle \Omega }$y obedeciendo${\displaystyle {\rm {d}}^{2}=0}$. Aquí${\displaystyle \Omega ^{0}=A}$y normalmente se requiere que${\displaystyle \Omega }$es generado por${\displaystyle A,\Omega ^{1}}$. El producto de formas diferenciales se llama producto exterior o producto cuña y a menudo se denota${\displaystyle \wedge }$. La cohomología no conmutativa o cuántica de Rham se define como la cohomología de este complejo.

Un cálculo diferencial de orden superior puede significar un álgebra exterior, o puede significar la especificación parcial de una, hasta un grado máximo, y con productos que darían como resultado un grado más allá del máximo que no están especificados.

La definición anterior se sitúa en la encrucijada de dos enfoques de la geometría no conmutativa. En el enfoque de Connes, un objeto más fundamental es un reemplazo del operador de Dirac en forma de tripleta espectral , y a partir de estos datos se puede construir un álgebra exterior. En el enfoque de grupos cuánticos de la geometría no conmutativa, se parte del álgebra y de una elección de cálculo de primer orden, pero con la restricción de la covarianza bajo una simetría de grupo cuántico.

La definición anterior es mínima y proporciona algo más general que el cálculo diferencial clásico incluso cuando el álgebra${\displaystyle A}$es conmutativa o funciona en un espacio real. Esto se debe a que no exigimos que

$${\displaystyle a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A}$$

puesto que esto implicaría que${\displaystyle {\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A}$lo cual violaría el axioma 4 cuando el álgebra no fuera conmutativa. Como resultado, esta definición ampliada incluye cálculos de diferencias finitas y cálculos diferenciales cuánticos en conjuntos finitos y grupos finitos ( teoría del álgebra de Lie de grupos finitos ).

1. Para${\displaystyle A={\mathbb {C} }[x]}$el álgebra de polinomios en una variable los cálculos diferenciales cuánticos covariantes de traslación están parametrizados por${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$y adoptar la forma$${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x}$$Esto muestra cómo surgen naturalmente las diferencias finitas en la geometría cuántica. Solo el límite${\displaystyle \lambda \to 0}$tiene funciones que conmutan con 1-formas, que es un caso especial del cálculo diferencial de la escuela secundaria.
2. Para${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$el álgebra de funciones en un círculo algebraico, los cálculos diferenciales covariantes de traslación (es decir, rotación del círculo) están parametrizados por${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$y adoptar la forma$${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}$$Esto muestra cómo${\displaystyle q}$Los diferenciales surgen de forma natural en la geometría cuántica.
3. Para cualquier álgebra${\displaystyle A}$uno tiene un cálculo diferencial universal definido por$${\displaystyle \Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes aa\otimes 1,\quad \forall a\in A}$$dónde${\displaystyle m}$es el producto algebraico. Por el axioma 3, cualquier cálculo de primer orden es un cociente de este.

• Geometría cuántica
• Geometría no conmutativa
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• Grupo cuántico
• Espaciotiempo cuántico

• Connes, A. (1994), Geometría no conmutativa , Academic Press , ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002), A quantum groups primer , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  292, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511549892 , ISBN 978-0-521-01041-2, MR 1904789