Cicatriz cuántica

En mecánica cuántica , la cicatriz cuántica es un fenómeno en el que los autoestados de un sistema cuántico clásicamente caótico presentan una mayor densidad de probabilidad alrededor de las trayectorias de órbitas periódicas clásicas inestables. ^{[ 2 ] [ 3 ]} La inestabilidad de la órbita periódica es un punto decisivo que diferencia las cicatrices cuánticas de la observación más trivial de que la densidad de probabilidad se incrementa en la vecindad de órbitas periódicas estables. Esta última puede entenderse como un fenómeno puramente clásico, una manifestación del principio de correspondencia de Bohr , mientras que en la primera, la interferencia cuántica es esencial. De este modo, la cicatriz es tanto un ejemplo visual de correspondencia cuántico-clásica como, simultáneamente, un ejemplo de supresión cuántica (local) del caos.

Un sistema caótico clásico también es ergódico y, por lo tanto, (casi) todas sus trayectorias exploran finalmente de manera uniforme todo el espacio de fases accesible. Así, sería natural esperar que los autoestados de la contraparte cuántica llenaran el espacio de fases cuántico de manera uniforme, salvo fluctuaciones aleatorias en el límite semiclasico. Sin embargo, las cicatrices constituyen una corrección significativa a esta suposición. Por consiguiente, las cicatrices pueden considerarse como una contraparte de autoestados de cómo las órbitas periódicas cortas proporcionan correcciones a la estadística espectral universal de la teoría de matrices aleatorias . Existen teoremas matemáticos rigurosos sobre la naturaleza cuántica de la ergodicidad, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} que demuestran que el valor esperado de un operador converge en el límite semiclasico al promedio clásico microcanónico correspondiente. No obstante, los teoremas de ergodicidad cuántica no excluyen la formación de cicatrices si el volumen del espacio de fases cuántico de las cicatrices se desvanece gradualmente en el límite semiclasico.

En el ámbito clásico, no existe un análogo directo de las cicatrices. En el ámbito cuántico, pueden interpretarse como una analogía de autoestados de cómo las órbitas periódicas cortas corrigen las estadísticas de autovalores de la teoría universal de matrices aleatorias. Las cicatrices corresponden a estados no ergódicos permitidos por los teoremas de ergodicidad cuántica. En particular, los estados con cicatrices proporcionan un contraejemplo visual impactante a la suposición de que los autoestados de un sistema caótico clásico carecerían de estructura. Además de las cicatrices cuánticas convencionales, el campo de la cicatrización cuántica ha experimentado un renacimiento, impulsado por los descubrimientos de cicatrices inducidas por perturbaciones y cicatrices de muchos cuerpos que posteriormente allanaron el camino hacia conceptos emergentes dentro del campo, como la anti-cicatrización y las marcas de nacimiento cuánticas .

La existencia de estados marcados es bastante inesperada según la fórmula de traza de Gutzwiller , ^{[ 7 ] [ 8 ]} que conecta la densidad de estados cuánticos con las órbitas periódicas en el sistema clásico correspondiente. Según la fórmula de traza, un espectro cuántico no es el resultado de una traza sobre todas las posiciones, sino que está determinado únicamente por una traza sobre todas las órbitas periódicas. Además, cada órbita periódica contribuye a un valor propio, aunque no exactamente por igual. Es aún más improbable que una órbita periódica en particular destaque por su contribución a un estado propio específico en un sistema completamente caótico, ya que todas las órbitas periódicas ocupan una porción de volumen cero del volumen total del espacio de fases. Por lo tanto, nada parece implicar que alguna órbita periódica en particular para un valor propio dado pueda tener un papel significativo en comparación con otras órbitas periódicas. Sin embargo, el marcado cuántico demuestra que esta suposición es errónea. El marcado fue observado por primera vez en 1983 por SW McDonald en su tesis sobre el billar de estadio como una interesante observación numérica. ^{[ 9 ]} No se veían bien en su figura porque eran gráficos de "cascada" bastante toscos. Este hallazgo no se informó completamente en la discusión del artículo sobre las funciones de onda y los espectros de espaciamiento de nivel de vecinos más cercanos para el billar de estadio. ^{[ 10 ]} Un año después, Eric J. Heller publicó los primeros ejemplos de funciones propias cicatrizadas junto con una explicación teórica de su existencia. ^{[ 2 ]} Los resultados revelaron grandes huellas de órbitas periódicas individuales que influyen en algunos estados propios del estadio Bunimovich caótico clásico, denominados cicatrices por Heller.

Un análisis de paquetes de ondas fue clave para probar la existencia de las cicatrices, y sigue siendo una herramienta valiosa para comprenderlas. En el trabajo original de Heller, ^{[ 2 ]} el espectro cuántico se extrae propagando un paquete de ondas gaussiano a lo largo de una órbita periódica. Hoy en día, esta idea seminal se conoce como la teoría lineal de las cicatrices. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 11 ] [ 12 ]} Las cicatrices destacan a simple vista en algunos autoestados de sistemas caóticos clásicos, pero se cuantifican mediante la proyección de los autoestados sobre ciertos estados de prueba, a menudo gaussianos, que tienen tanto posición promedio como momento promedio a lo largo de la órbita periódica. Estos estados de prueba dan un espectro estructurado demostrablemente que revela la necesidad de las cicatrices. ^{[ 13 ]} Sin embargo, no existe una medida universal de las cicatrices; la relación exacta del exponente de estabilidad${\displaystyle \chi }$La fuerza de la cicatrización es una cuestión de definición. No obstante, existe una regla general : ^{[ 3 ] [ 7 ]} la cicatrización cuántica es significativa cuando${\displaystyle \chi <2\pi }$y la fuerza aumenta como${\displaystyle \chi ^{-1}}$Por lo tanto, las cicatrices cuánticas intensas se asocian, en general, con órbitas periódicas moderadamente inestables y relativamente cortas. La teoría predice el aumento de la cicatriz a lo largo de una órbita periódica clásica, pero no puede determinar con precisión qué estados específicos presentan cicatrices ni en qué medida. Más bien, solo se puede afirmar que algunos estados presentan cicatrices dentro de ciertas zonas de energía, y al menos en cierto grado.

La teoría de cicatrización lineal descrita anteriormente se ha extendido posteriormente para incluir efectos no lineales que tienen lugar después de que el paquete de ondas abandona el dominio de la dinámica lineal alrededor de la órbita periódica. ^{[ 12 ]} A tiempos largos, el efecto no lineal puede contribuir a la cicatrización. Esto se debe a recurrencias no lineales asociadas con órbitas homoclinas. Se obtuvo una comprensión más profunda de la cicatrización con un enfoque en el espacio real por EB Bogomolny ^{[ 14 ]} y una alternativa en el espacio de fases por Michael V. Berry ^{[ 15 ]} complementando los métodos del paquete de ondas y del espacio de Hussimi utilizados por Heller y L. Kaplan. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 12 ]}

Además de no existir una medida universal para el nivel de cicatrización, tampoco existe una definición generalmente aceptada del mismo. Originalmente, se afirmó ^{[ 2 ]} que se ha demostrado que ciertas órbitas periódicas inestables dejan cicatrices permanentes en algunas funciones propias cuánticas, como${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$, en el sentido de que la densidad adicional rodea la región de la órbita periódica. Sin embargo, una definición más formal de cicatrización sería la siguiente: ^{[ 3 ]} Un autoestado cuántico de un sistema caótico clásico está marcado por una periodicidad si su densidad en las variedades invariantes clásicas cerca y a lo largo de esa periodicidad se ve sistemáticamente incrementada por encima de la densidad clásica, estadísticamente esperada a lo largo de esa órbita.

La mayor parte de la investigación sobre cicatrices cuánticas se ha restringido a sistemas cuánticos no relativistas descritos por la ecuación de Schrödinger , donde la dependencia de la energía de la partícula con respecto al momento es cuadrática. Sin embargo, la formación de cicatrices puede ocurrir en sistemas cuánticos relativistas descritos por la ecuación de Dirac , donde la relación energía-momento es lineal. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} Heurísticamente, estas cicatrices relativistas son consecuencia del hecho de que ambos componentes espinoriales satisfacen la ecuación de Helmholtz , en analogía con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por lo tanto, las cicatrices relativistas tienen el mismo origen que la formación de cicatrices convencional ^{[ 2 ]} introducida por EJ Heller. No obstante, existe una diferencia en términos de la recurrencia con respecto a la variación de energía. Además, se demostró que los estados con cicatrices pueden conducir a fuertes fluctuaciones de conductancia en los puntos cuánticos abiertos correspondientes a través del mecanismo de transmisión resonante. ^{[ 16 ]}

Las primeras confirmaciones experimentales de cicatrices se obtuvieron en billares de microondas a principios de la década de 1990. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Posteriormente, se ha aportado más evidencia experimental de cicatrices mediante observaciones en, por ejemplo, pozos cuánticos, ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} cavidades ópticas ^{[ 24 ] [ 25 ]} y el átomo de hidrógeno. ^{[ 26 ]} A principios de la década de 2000, se lograron las primeras observaciones en un billar elíptico. ^{[ 27 ]} Muchas trayectorias clásicas convergen en este sistema y dan lugar a cicatrices pronunciadas en los focos, comúnmente llamadas espejismos cuánticos. ^{[ 28 ]} Además, resultados numéricos recientes indicaron la existencia de cicatrices cuánticas en gases atómicos ultrafríos. ^{[ 29 ]} Aparte de estas cicatrices analógicas en experimentos de ondas clásicas, la verificación de este fenómeno había permanecido esquiva en sistemas cuánticos verdaderos, hasta el reciente logro de utilizar la microscopía de efecto túnel de barrido para visualizar directamente cicatrices cuánticas (relativistas) en un punto cuántico con forma de estadio, basado en grafeno. ^{[ 30 ]}

Además de las cicatrices descritas anteriormente, existen varios fenómenos similares, conectados por teoría o apariencia. En primer lugar, cuando las cicatrices se identifican visualmente, algunos de los estados pueden recordar el movimiento clásico de " bola que rebota " , excluido de las cicatrices cuánticas y clasificado en su propia categoría. Por ejemplo, una mesa de billar de estadio soporta estos autoestados altamente no ergódicos, que reflejan un movimiento de rebote atrapado entre las paredes rectas. ^{[ 3 ]} Se ha demostrado que los estados de rebote persisten en el límite${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$, pero al mismo tiempo este resultado sugiere un porcentaje decreciente de todos los estados en acuerdo con los teoremas de ergodicidad cuántica de Alexander Schnirelman, Yves Colin de Verdière y Steven Zelditch . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} En segundo lugar, la cicatrización no debe confundirse con fluctuaciones estadísticas. Estructuras similares de una densidad de probabilidad mejorada ocurren incluso como superposiciones aleatorias de ondas planas, ^{[ 31 ]} en el sentido de la conjetura de Berry. ^{[ 32 ] [ 33 ]} Además, hay un género de cicatrices, no causadas por órbitas periódicas reales, sino por sus remanentes, conocidos como fantasmas . Se refieren a órbitas periódicas que se encuentran en un sistema cercano en el sentido de algún parámetro del sistema externo y ajustable. ^{[ 34 ] [ 35 ]} La cicatrización de este tipo se ha asociado a órbitas casi periódicas. ^{[ 36 ]} Otra subclase de fantasmas surge de órbitas periódicas complejas que existen en las proximidades de los puntos de bifurcación. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Se descubrió una nueva clase de cicatrices cuánticas en nanoestructuras bidimensionales desordenadas. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 1 ] [ 41 ] [ 42 ]} Aunque similares en apariencia a las cicatrices cuánticas ordinarias descritas anteriormente, estas cicatrices tienen un origen fundamentalmente diferente. En este caso, el desorden que surge de pequeñas perturbaciones (ver puntos rojos en la figura) es suficiente para destruir la estabilidad clásica a largo plazo. Por lo tanto, no hay una órbita periódica moderadamente inestable en la contraparte clásica a la que una cicatriz correspondería en la teoría de cicatrices ordinaria. En cambio, las cicatrices se forman alrededor de órbitas periódicas del sistema no perturbado correspondiente . La teoría de cicatrices ordinaria queda además excluida por el comportamiento de las cicatrices en función de la intensidad del desorden. Cuando los picos de potencial se hacen más fuertes mientras se mantienen sin cambios en lo demás, las cicatrices se hacen más fuertes y luego se desvanecen sin cambiar su orientación. Por el contrario, una cicatriz causada por la teoría convencional debería debilitarse rápidamente debido al aumento del exponente de estabilidad de una órbita periódica con el aumento del desorden. Además, al comparar las cicatrices a diferentes energías, se observa que solo aparecen en unas pocas orientaciones distintas, lo que también contradice las predicciones de la teoría de las cicatrices convencional.

El área de las cicatrices cuánticas de muchos cuerpos es objeto de investigación activa. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Se han producido cicatrices en investigaciones sobre posibles aplicaciones de los estados de Rydberg a la computación cuántica , específicamente actuando como cúbits para la simulación cuántica . ^{[ 45 ] [ 46 ]} Las partículas del sistema en una configuración alternada de estado fundamental -estado de Rydberg se entrelazaban y desenredaban continuamente en lugar de permanecer entrelazadas y sufrir termalización . ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]} Los sistemas de los mismos átomos preparados con otros estados iniciales sí se termalizaron como se esperaba. ^{[ 46 ] [ 47 ]} Los investigadores denominaron al fenómeno "cicatrización cuántica de muchos cuerpos". ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Las causas de las cicatrices cuánticas no se comprenden bien. ^{[ 45 ]} Una posible explicación propuesta es que las cicatrices cuánticas representan sistemas integrables , o casi, y esto podría impedir que se produzca la termalización . ^{[ 50 ]} Esto ha generado críticas que argumentan que un hamiltoniano no integrable subyace a la teoría. ^{[ 51 ]} Recientemente, una serie de trabajos ^{[ 52 ] [ 53 ]} ha relacionado la existencia de cicatrices cuánticas con una estructura algebraica conocida como simetrías dinámicas . ^{[ 54 ] [ 55 ]}

Se buscan computadoras cuánticas tolerantes a fallos , ya que cualquier perturbación en los estados de los cúbits puede provocar su termalización, lo que conlleva la pérdida de información cuántica . ^{[ 45 ]} El marcado de estados de cúbits se considera una forma potencial de protegerlos de perturbaciones externas que provocan decoherencia y pérdida de información.

Una consecuencia fascinante de la cicatrización cuántica es su contraparte dual: la anticicatrización, ^{[ 3 ]} que se refiere a una depresión sistemática de la densidad de probabilidad en los estados cuánticos a lo largo de la trayectoria de la órbita periódica generadora de la cicatriz. La existencia de anticicatrización se confirma mediante un teorema general de apilamiento: ^{[ 56 ]} la densidad de probabilidad acumulada de los autoestados se vuelve uniforme cuando la ventana de energía de los autoestados sumados es mayor que la escala de energía asociada con la órbita periódica más corta en el sistema. Dado que puede haber estados fuertemente cicatrizados entre los autoestados, la necesidad de un promedio uniforme sobre un gran número de estados requiere la existencia de estados anticicatrizados con baja probabilidad en la región de cicatrices "regulares" . Este efecto se ha demostrado en el contexto de la cicatrización variacional, donde se promueve por la fuerza y ​​la orientación similar de las cicatrices dentro de una ventana de energía moderada. ^{[ 56 ]} Además, se ha observado ^{[ 57 ]} que algunos procesos de desintegración tienen estados anticicatrizados con tiempos de escape anómalamente largos.

Una característica distintiva de la ergodicidad clásica es la pérdida total de la memoria de las condiciones iniciales, resultado de la exploración uniforme del espacio de fases. Sin embargo, en un sistema cuántico, el comportamiento ergódico clásico puede fallar, como lo demuestra la presencia de cicatrices cuánticas. El concepto de marca de nacimiento cuántica ^{[ 58 ]} conecta los efectos a corto plazo, como los causados ​​por las cicatrices, con las predicciones a largo plazo de la teoría de matrices aleatorias. Al ir más allá de las cicatrices cuánticas, las marcas de nacimiento cuánticas ofrecen un nuevo paradigma para comprender la esquiva naturaleza cuántica de la ergodicidad.

La figura muestra dos marcas de nacimiento reveladas dentro de la densidad de probabilidad promediada en el tiempo de un paquete de ondas lanzado bajo diferentes condiciones iniciales (indicadas por las flechas negras) en el estadio. El gráfico superior muestra el resultado para un paquete de ondas liberado verticalmente desde el centro a lo largo de una órbita de pelota que rebota; mientras que el gráfico inferior muestra un paquete de ondas preparado fuera del centro en un ángulo arbitrario, correspondiente a un estado inicial genérico. Cabe destacar que las marcas de nacimiento cuánticas en cada caso respetan las dos simetrías de reflexión del estadio. Estos dos casos demuestran claramente que un sistema cuántico puede violar la suposición clásica de ergodicidad en el sentido de que la densidad de probabilidad se vuelve uniforme incluso en tiempo infinito. Por lo tanto, las cicatrices cuánticas presentan una nueva forma de ruptura débil de la ergodicidad, más allá de la cicatrización cuántica que tiene lugar a nivel de autoestado. Si bien cualquier estado inicial y su comportamiento a corto plazo serán memorizados por un sistema cuántico, ^{[ 58 ]} la fuerza de la marca de nacimiento correspondiente depende de los detalles dinámicos del lugar de nacimiento, particularmente este efecto de memoria cuántica se ve potenciado en presencia de cicatrización.

• Caos cuántico