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Ergodicidad cuántica

El modo propio de un sistema clásicamente integrable (por ejemplo, la cavidad circular de la izquierda) puede estar muy confinado incluso para números de modo elevados. Por el c...

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El modo propio de un sistema clásicamente integrable (por ejemplo, la cavidad circular de la izquierda) puede estar muy confinado incluso para números de modo elevados. Por el contrario, los modos propios de un sistema clásicamente caótico (por ejemplo, la cavidad con forma de estadio de la derecha) tienden a volverse gradualmente más uniformes a medida que aumenta el número de modo.

En el caos cuántico , una rama de la física matemática , la ergodicidad cuántica es una propiedad de la cuantización de sistemas mecánicos clásicos que son caóticos en el sentido de sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales. La ergodicidad cuántica establece, a grandes rasgos, que en el límite de alta energía, las distribuciones de probabilidad asociadas a los autoestados de energía de un hamiltoniano ergódico cuantizado tienden a una distribución uniforme en el espacio de fases clásico . Esto es consistente con la intuición de que los flujos de los sistemas ergódicos están equidistribuidos en el espacio de fases. Por el contrario, los sistemas clásicos completamente integrables generalmente tienen órbitas periódicas en el espacio de fases, y esto se manifiesta de diversas maneras en el límite de alta energía de los autoestados: típicamente, se produce alguna forma de concentración en el límite semiclasico.ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}.

El caso modelo de un hamiltoniano es el hamiltoniano geodésico en el fibrado cotangente de una variedad riemanniana compacta . La cuantización del flujo geodésico viene dada por la solución fundamental de la ecuación de Schrödinger.

Ut=exp⁡(itΔ){\displaystyle U_{t}=\exp(it{\sqrt {\Delta }})}

dóndeΔ{\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}es la raíz cuadrada del operador de Laplace-Beltrami . El teorema de ergodicidad cuántica de Shnirelman 1974, Zelditch y Yves Colin de Verdière establece que una variedad riemanniana compacta cuyo fibrado tangente unitario es ergódico bajo el flujo geodésico también es ergódico en el sentido de que la densidad de probabilidad asociada a la n -ésima autofunción del laplaciano tiende débilmente a la distribución uniforme en el fibrado cotangente unitario cuando n → ∞ en un subconjunto de los números naturales de densidad natural igual a uno. La ergodicidad cuántica puede formularse como un análogo no conmutativo de la ergodicidad clásica ( T. Sunada ).  

Una cicatriz en una mesa de billar de estadio (panel superior) y en un punto cuántico desordenado (panel inferior) son ejemplos de autoestados no ergódicos permitidos por el teorema de ergodicidad cuántica. En ambos casos, la densidad de probabilidad de los autoestados se concentra a lo largo de una órbita periódica de la contraparte clásica (línea azul continua). Aunque de apariencia similar, el mecanismo de nacimiento de las cicatrices en la mesa de billar y en el punto cuántico perturbado por picos de potencial (puntos rojos) es diferente: la primera se explica mediante la teoría convencional de cicatrices, [ 1 ] [ 2 ] mientras que la segunda se conoce como cicatrización inducida por perturbación [ 3 ] [ 4 ] (para más información, véase Cicatriz cuántica ).

Dado que un sistema caótico clásico también es ergódico, casi todas sus trayectorias exploran finalmente de forma uniforme todo el espacio de fases accesible. Por lo tanto, al trasladar el concepto de ergodicidad al ámbito cuántico, es natural suponer que los autoestados del sistema caótico cuántico llenarían el espacio de fases cuántico de manera uniforme (salvo fluctuaciones aleatorias) en el límite semiclasico.ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}Los teoremas de ergodicidad cuántica de Shnirelman, Zelditch e Yves Colin de Verdière demuestran que el valor esperado de un operador converge en el límite semicásico al promedio clásico microcanónico correspondiente. Sin embargo, el teorema de ergodicidad cuántica deja abierta la posibilidad de que las autofunciones se vuelvan dispersas con agujeros importantes.ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}, dejando grandes pero no macroscópicas brechas en las variedades de energía en el espacio de fases. En particular, el teorema permite la existencia de un subconjunto de estados macroscópicamente no ergódicos que, por otro lado, deben aproximarse a medida cero, es decir, la contribución de este conjunto tiende a cero por ciento de todos los autoestados cuando ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}. [ 5 ]

Por ejemplo, el teorema no excluye la cicatriz cuántica, ya que el volumen del espacio de fase de las cicatrices también se desvanece gradualmente en este límite. [ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 2 ] Un autoestado cuántico es cicatrizado por una órbita periódica si su densidad de probabilidad en las variedades invariantes clásicas cerca y a lo largo de esa órbita periódica se ve sistemáticamente mejorada por encima de la densidad clásica, estadísticamente esperada a lo largo de esa órbita. [ 5 ] De manera simplificada, una cicatriz cuántica se refiere a un autoestado cuya densidad de probabilidad se ve mejorada en la vecindad de una órbita periódica clásica cuando el sistema clásico correspondiente es caótico. En la cicatrización convencional, la órbita periódica de respuesta es inestable. [ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 2 ] La inestabilidad es un punto decisivo que separa las cicatrices cuánticas de un hallazgo más trivial de que la densidad de probabilidad se ve mejorada cerca de órbitas periódicas estables debido al principio de correspondencia de Bohr . Este último puede verse como un fenómeno puramente clásico, mientras que en el primero la interferencia cuántica es importante. Por otro lado, en la cicatriz cuántica inducida por perturbación, [ 3 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 4 ] algunos de los autoestados de alta energía de un punto cuántico perturbado localmente contienen cicatrices de órbitas periódicas cortas del sistema no perturbado correspondiente. Aunque similares en apariencia a las cicatrices cuánticas ordinarias, estas cicatrices tienen un origen fundamentalmente diferente, [ 3 ] [ 7 ] [ 4 ] En este tipo de cicatriz, no hay órbitas periódicas en la contraparte clásica perturbada o son demasiado inestables para causar una cicatriz en el sentido convencional. Las cicatrices convencionales e inducidas por perturbación son un ejemplo visual sorprendente de correspondencia clásico-cuántica y de una supresión cuántica del caos (véase la figura). En particular, las cicatrices son una corrección significativa a la suposición de que los autoestados correspondientes de un hamiltoniano caótico clásico son solo sin características y aleatorios. En cierto sentido, las cicatrices pueden considerarse como una contraparte de autoestado del teorema de ergodicidad cuántica sobre cómo las órbitas periódicas cortas proporcionan correcciones a las estadísticas de autovalores de la teoría universal de matrices aleatorias .

Véase también

  • Teorema de Shnirelman, artículo de Scholarpedia

Referencias

  1. 1 2 3 Heller, Eric J. (1984-10-15). "Autofunciones de estados ligados de sistemas hamiltonianos clásicamente caóticos: cicatrices de órbitas periódicas" . Physical Review Letters . 53 (16): 1515– 1518. Bibcode : 1984PhRvL..53.1515H . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1515 .
  2. 1 2 3 Kaplan, L.; Heller, EJ (1998-04-10). "Teoría lineal y no lineal de las cicatrices de autofunciones" . Annals of Physics . 264 (2): 171– 206. arXiv : chao-dyn/9809011 . Bibcode : 1998AnPhy.264..171K . doi : 10.1006/aphy.1997.5773 . ISSN 0003-4916 . S2CID 120635994 .  
  3. ^ Keski- Rahkonen , J .; Ruhanen, A.; Heller, EJ; Räsänen, E. (21 de noviembre de 2019). "Cicatrices cuánticas de Lissajous" . Cartas de revisión física . 123 (21) 214101. arXiv : 1911.09729 . Código Bib : 2019PhRvL.123u4101K . doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101 . PMID 31809168 . S2CID 208248295 .  
  4. ^ Keski -Rahkonen, Joonas (2020) . Caos cuántico en nanoestructuras bidimensionales desordenadas . Universidad de Tampere. ISBN 978-952-03-1699-0.
  5. 1 2 3 4 Heller, Eric Johnson (2018). El enfoque semiclasico para la dinámica y la espectroscopia . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-9029-3OCLC 1034625177​​ 
  6. 1 2 Kaplan, L (1999-01-01). "Cicatrices en funciones de onda caóticas cuánticas". Nonlinearity . 12 (2): R1– R40. arXiv : chao-dyn/9810013 . doi : 10.1088/0951-7715/12/2/009 . ISSN 0951-7715 . S2CID 250793219 .  
  7. 1 2 Luukko, Perttu JJ; Drury, Byron; Klales, Anna; Kaplan, Lev; Heller, Eric J.; Räsänen, Esa (28 de noviembre de 2016). "Fuertes cicatrices cuánticas por impurezas locales" . Informes científicos . 6 (1) 37656. arXiv : 1511.04198 . Código Bib : 2016NatSR...637656L . doi : 10.1038/srep37656 . ISSN 2045-2322 . PMC 5124902 . PMID 27892510 .   
  8. ^ Keski-Rahkonen, J.; Luukko, PJJ; Kaplan, L.; Heller, EJ; Räsänen, E. (20 de septiembre de 2017). "Cicatrices cuánticas controlables en puntos cuánticos de semiconductores" . Revisión física B. 96 (9) 094204. arXiv : 1710.00585 . Código Bib : 2017PhRvB..96i4204K . doi : 10.1103/PhysRevB.96.094204 . S2CID 119083672 . 
  9. ^ Keski-Rahkonen, J; Luukko, PJJ; Åberg, S; Räsänen, E (21 de enero de 2019). "Efectos de las cicatrices sobre el caos cuántico en pozos cuánticos desordenados". Revista de Física: Materia Condensada . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Código Bib : 2019JPCM...31j5301K . doi : 10.1088/1361-648x/aaf9fb . ISSN 0953-8984 . PMID 30566927 . S2CID 51693305 .   
  • Shnirelman, AI (1974), Propiedades ergódicas de las autofunciones , vol.  29(6(180)), Uspekhi Mat. Nauk, Moscú, pp . 181–182 
  • Zelditch, S (2006), "Ergodicidad cuántica y mezcla de autofunciones", en Françoise, Jean-Pierre; Naber, Gregory L.; Tsun, Tsou Sheung (eds.), Enciclopedia de física matemática. Vol. 1, 2, 3, 4, 5 , Academic Press/Elsevier Science, Oxford, ISBN 978-0-12-512660-1, MR 2238867 
  • Sunada, T (1997), "Ergodicidad cuántica", Trend in Mathematics , Birkhauser Verlag, Basilea, pp . 175–196