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Límite de velocidad cuántica

En mecánica cuántica , un límite de velocidad cuántica ( LCQ ) es una limitación del tiempo mínimo para que un sistema cuántico evolucione entre dos estados distinguibles (ortog...

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En mecánica cuántica , un límite de velocidad cuántica ( LCQ ) es una limitación del tiempo mínimo para que un sistema cuántico evolucione entre dos estados distinguibles (ortogonales). [ 1 ] Los teoremas de LCQ están estrechamente relacionados con las relaciones de incertidumbre tiempo-energía. En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre tiempo-energía que limita la velocidad de evolución en términos de la dispersión de energía. [ 2 ] Más de medio siglo después, Norman Margolus y Lev Levitin demostraron que la velocidad de evolución no puede exceder la energía media, [ 3 ] un resultado conocido como el teorema de Margolus-Levitin. Los sistemas físicos realistas en contacto con un entorno se conocen como sistemas cuánticos abiertos y su evolución también está sujeta a LCQ. [ 4 ] [ 5 ] De manera bastante notable, se demostró que los efectos ambientales, como la dinámica no markoviana, pueden acelerar los procesos cuánticos, [ 6 ] lo cual se verificó en un experimento de QED de cavidad. [ 7 ]

Los QSL se han utilizado para explorar los límites de la computación [ 8 ] [ 9 ] y la complejidad. En 2017, se estudiaron los QSL en un oscilador cuántico a alta temperatura. [ 10 ] En 2018, se demostró que los QSL no están restringidos al dominio cuántico y que límites similares se cumplen en sistemas clásicos. [ 11 ] [ 12 ] En 2021, los límites de QSL de Mandelstam-Tamm y Margolus-Levitin se probaron simultáneamente en un solo experimento [ 13 ] que indicó que hay "dos regímenes diferentes: uno donde el límite de Mandelstam-Tamm restringe la evolución en todo momento, y un segundo donde se produce un cruce al límite de Margolus-Levitin en tiempos más largos".

En la detección cuántica , los QSL imponen restricciones fundamentales a la resolución temporal máxima alcanzable de los sensores cuánticos. Estos límites se derivan del requisito de que los estados cuánticos deben evolucionar a estados ortogonales para extraer información precisa. Por ejemplo, en aplicaciones como la interferometría de Ramsey , el QSL determina el tiempo mínimo requerido para la acumulación de fase durante las secuencias de control, lo que impacta directamente en la resolución temporal y la sensibilidad del sensor . [ 14 ]

Definiciones preliminares

Los teoremas de límite de velocidad pueden enunciarse para estados puros y para estados mixtos ; adoptan una forma más simple para estados puros. Un estado puro arbitrario puede escribirse como una combinación lineal de autoestados de energía:

|ψ⟩=∑nortedonorte|minorte⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _ {n}c_ {n}|E_ {n}\rangle .}

La tarea consiste en proporcionar un límite inferior para el intervalo de tiempo.t⊥{\displaystyle t_{\perp }}requerido para el estado inicial|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }evolucionar hacia un estado ortogonal a|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }La evolución temporal de un estado puro viene dada por la ecuación de Schrödinger :

|ψt⟩=∑nortedonortemiitminorte/ℏ|minorte⟩.{\displaystyle |\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .}

La ortogonalidad se obtiene cuando

⟨ψ0|ψt⟩=0{\displaystyle \langle \psi _ {0}|\ psi _ {t}\rangle =0}

y el intervalo de tiempo mínimot=t⊥{\displaystyle t=t_{\perp }}El tiempo necesario para lograr esta condición se denomina intervalo de ortogonalización [ 2 ] o tiempo de ortogonalización. [ 15 ]

Límite de Mandelstam-Tamm

Para estados puros, el teorema de Mandelstam-Tamm establece que el tiempo mínimot⊥{\displaystyle t_{\perp }}El requisito para que un estado evolucione a un estado ortogonal está acotado a continuación:

t⊥≥πℏ2δmi=h4δmi{\displaystyle t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}},

dónde

(δmi)2=⟨ψ|H2|ψ⟩−(⟨ψ|H|ψ⟩)2=12∑norte,metro|donorte|2|dometro|2(minorte−mimetro)2{\displaystyle (\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _ {n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}},

es la varianza de la energía del sistema yH{\displaystyle H}es el operador hamiltoniano . La evolución cuántica es independiente del hamiltoniano particular utilizado para transportar el sistema cuántico a lo largo de una curva dada en el espacio de Hilbert proyectivo ; la distancia a lo largo de esta curva se mide mediante la métrica de Fubini-Study . [ 16 ] A esto se le llama a veces ángulo cuántico , ya que puede entenderse como el arcocoseno del producto interno de los estados inicial y final.

Para estados mixtos

El límite de Mandelstam-Tamm también puede enunciarse para estados mixtos y para hamiltonianos que varían con el tiempo. En este caso, debe emplearse la métrica de Bures en lugar de la métrica de Fubini-Study. Un estado mixto puede entenderse como una suma sobre estados puros, ponderada por probabilidades clásicas ; asimismo, la métrica de Bures es una suma ponderada de la métrica de Fubini-Study. Para un hamiltoniano que varía con el tiempoHt{\displaystyle H_{t}}y matriz de densidad variable en el tiempoρt,{\displaystyle \rho _{t},}La varianza de la energía viene dada por

σH2(t)=|tr(ρtHt2)|−|tr(ρtHt)|2{\displaystyle \sigma _{H}^{2}(t)=|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t}^{2})|-|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|^{2}}

El límite de Mandelstam-Tamm toma entonces la forma

∫0τσH(t)dt≥ℏDB(ρ0,ρτ){\displaystyle \int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })},

dóndeDB{\displaystyle D_{B}}es la distancia de Bures entre los estados inicial y final. La distancia de Bures es geodésica , lo que proporciona la distancia más corta posible de cualquier curva continua que conecte dos puntos, conσH(t){\displaystyle \sigma _{H}(t)}entendido como una longitud de trayectoria infinitesimal a lo largo de una curva parametrizada port.{\displaystyle t.}De forma equivalente, el tiempoτ{\displaystyle \tau }tomado para evolucionar desdeρ{\displaystyle \rho }aρ′{\displaystyle \rho '}está limitado como

τ≥ℏσ¯HDB(ρ,ρ′){\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')}

dónde

σ¯H=1τ∫0τσH(t)dt{\displaystyle {\overline {\sigma }}_{H}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}

es la incertidumbre promedio en el tiempo de la energía. Para un estado puro que evoluciona bajo un hamiltoniano variable en el tiempo, el tiempoτ{\displaystyle \tau }Se considera que evoluciona de un estado puro a otro estado puro ortogonal a él, y está acotado como [ 17 ].

τ≥ℏσ¯Hπ2{\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}{\frac {\pi }{2}}}

De ello se deduce que, para un estado puro, se tiene la matriz de densidadρt=|ψt⟩⟨ψt|.{\displaystyle \rho _ {t}=|\psi _ {t}\rangle \langle \psi _ {t}|.}El ángulo cuántico (distancia de Fubini-Study) es entoncesDB(ρ0,ρt)=arcos⁡|⟨ψ0|ψt⟩|{\displaystyle D_{B}(\rho _{0},\rho _{t})=\arccos |\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle |}y así se concluyeDB=arcos⁡0=π/2{\displaystyle D_{B}=\arccos 0=\pi /2}cuando los estados inicial y final son ortogonales.

Límite de Margolus-Levitina

Para el caso de un estado puro, Margolus y Levitin [ 3 ] obtienen un límite diferente, que

τ⊥≥h4⟨mi⟩,{\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},}

dónde⟨mi⟩{\displaystyle \langle E\rangle }es la energía promedio, ⟨mi⟩=mipromedio=⟨ψ|H|ψ⟩=∑norte|donorte|2minorte.{\displaystyle \langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _ {n}|c_ {n}|^{2}E_ {n}.} Esta forma se aplica cuando el hamiltoniano no depende del tiempo y la energía del estado fundamental se define como cero.

Para estados que varían con el tiempo

El teorema de Margolus-Levitin también puede generalizarse al caso en que el hamiltoniano varía con el tiempo y el sistema se describe mediante un estado mixto . [ 17 ] En esta forma, viene dado por

∫0τ|tr(ρtHt)|dt≥ℏDB(ρ0,ρτ){\displaystyle \int _{0}^{\tau }|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}

con el estado fundamental definido de manera que tenga energía cero en todo momento.

Esto proporciona un resultado para estados que varían con el tiempo. Aunque también proporciona una cota para estados mixtos, la cota (para estados mixtos) puede ser tan imprecisa que resulta poco informativa. [ 18 ] El teorema de Margolus-Levitin aún no se ha establecido experimentalmente en sistemas cuánticos dependientes del tiempo, cuyos hamiltonianosHt{\displaystyle H_{t}}están impulsados ​​por parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, excepto en el caso adiabático. [ 19 ]

Límite dual de Margolus-Levitin

Además del límite original de Margolus-Levitin, existe un límite dual para sistemas cuánticos con un espectro de energía acotado. Este límite dual, también conocido como límite de Ness-Alberti-Sagi o límite de Ness, depende de la diferencia entre la energía media del estado y la energía del autoestado ocupado más alto. En sistemas acotados, el tiempo mínimoτ⊥{\displaystyle \tau _{\perp }}requerido para que un estado evolucione a un estado ortogonal está limitado por

τ⊥≥h4(mimáximo−⟨mi⟩),{\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4(E_{\max }-\langle E\rangle )}},}

dóndemimáximo{\displaystyle E_{\max }}es la energía del autoestado ocupado más alto y⟨mi⟩{\displaystyle \langle E\rangle }es la energía media del estado. Este límite complementa el límite original de Margolus-Levitin y el límite de Mandelstam-Tamm, formando un trío de restricciones sobre la velocidad de la evolución cuántica. [ 20 ]

Límite de Levitin-Toffoli

Un resultado de 2009 de Lev B. Levitin y Tommaso Toffoli afirma que el límite preciso para el teorema de Mandelstam-Tamm se alcanza solo para un estado de cúbit . [ 15 ] Este es un estado de dos niveles en una superposición igual.

|ψq⟩=12(|mi0⟩+miiφ|mi1⟩){\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)}

para los autoestados de energíami0=0{\displaystyle E_{0}=0}ymi1=±πℏ/Δt{\displaystyle E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t}Los estados|mi0⟩{\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle }y|mi1⟩{\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }son únicos hasta la degeneración del nivel de energíami1{\displaystyle E_{1}}y un factor de fase arbitrarioφ.{\displaystyle \varphi .}Este resultado es preciso, ya que este estado también satisface la cota de Margolus-Levitin, en el sentido de quemipromedio=δmi{\displaystyle E_{\text{avg}}=\delta E}y entoncest⊥=ℏπ/2mipromedio=ℏπ/2δmi.{\displaystyle t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.}Este resultado demuestra que los límites combinados son estrictos:

t⊥≥máximo(πℏ2δmi,πℏ2mipromedio){\displaystyle t_{\perp }\geq \max \left({\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}\;,\;{\frac {\pi \hbar }{2\,E_{\text{avg}}}}\right)}

Levitin y Toffoli también proporcionan un límite para la energía promedio en términos del máximo. Para cualquier estado puro|ψ⟩,{\displaystyle \left|\psi \right\rangle ,}La energía promedio está limitada como

mimáximo4≤mipromedio≤mimáximo2{\displaystyle {\frac {E_{\text{max}}}{4}}\leq E_{\text{avg}}\leq {\frac {E_{\text{max}}}{2}}}

dóndemimáximo{\displaystyle E_{\text{max}}}es el valor propio de energía máxima que aparece en|ψ⟩.{\displaystyle \left|\psi \right\rangle .}(Este es el teorema de la esfera un cuarto pellizcada disfrazado, transportado al espacio proyectivo complejo ). Por lo tanto, se tiene el límite

πℏmimáximo≤t⊥≤2πℏmimáximo{\displaystyle {\frac {\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}\leq t_{\perp }\leq {\frac {2\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}}

El límite inferior estrictomimáximot⊥=πℏ{\displaystyle E_{\text{max}}t_{\perp }=\pi \hbar }se alcanza nuevamente para el estado del cúbit |ψq⟩{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle }conmimáximo=mi1{\displaystyle E_{\text{max}}=E_{1}}.

Límite de Bremermann

Los límites de velocidad cuántica establecen un límite superior en el que se puede realizar la computación . La maquinaria computacional se construye a partir de materia física que sigue la mecánica cuántica, y cada operación, para que sea inequívoca, debe ser una transición del sistema de un estado a un estado ortogonal. Supongamos que la maquinaria computacional es un sistema físico que evoluciona bajo un hamiltoniano que no cambia con el tiempo. Entonces, según el teorema de Margolus-Levitin, el número de operaciones por unidad de tiempo y por unidad de energía está limitado superiormente por

2ℏπ=6×1033s−1⋅J−1{\displaystyle {\frac {2}{\hbar \pi }}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}}

Esto establece un límite superior estricto en la cantidad de cálculos que puede realizar la materia física. La tasa de procesamiento de todas las formas de computación no puede ser superior a aproximadamente 6 × 10³³ operaciones por segundo por julio de energía. Esto incluye las computadoras "clásicas", ya que incluso estas están hechas de materia que sigue las leyes de la mecánica cuántica. [ 21 ] [ 22 ]

Este límite no es meramente una hipótesis: tiene implicaciones prácticas para la criptografía resistente a la computación cuántica . Si imaginamos un ordenador operando en este límite, una búsqueda por fuerza bruta para descifrar una clave de cifrado de 128 bits requeriría recursos modestos. Descifrar una clave de 256 bits requeriría ordenadores de escala planetaria, mientras que una búsqueda por fuerza bruta de claves de 512 bits es prácticamente inalcanzable durante la vida del universo, incluso si se aplicaran ordenadores de tamaño galáctico al problema.

El límite de Bekenstein restringe la cantidad de información que se puede almacenar en un volumen de espacio. La tasa máxima de cambio de información dentro de ese volumen de espacio viene dada por el límite de velocidad cuántica. Este producto de límites se denomina a veces límite de Bremermann-Bekenstein ; se satura con la radiación de Hawking . [ 1 ] Es decir, la radiación de Hawking se emite a la tasa máxima permitida por estos límites.

Referencias

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  2. 1 2 Mandelshtam, LI; Tamm, IE (1945). "La relación de incertidumbre entre energía y tiempo en mecánica cuántica no relativista". J. Phys. (URSS) . 9 : 249–254 .Reimpreso como Mandelstam, L.; Tamm, Ig. (1991). «La relación de incertidumbre entre energía y tiempo en la mecánica cuántica no relativista». En Bolotovskii, Boris M.; Frenkel, Victor Ya.; Peierls, Rudolf (eds.). Artículos seleccionados . Berlín, Heidelberg: Springer. pp. 115–123 . doi : 10.1007/978-3-642-74626-0_8 . ISBN  978-3-642-74628-4. Consultado el 6 de abril de 2024 .
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Lecturas adicionales

  • Jordan, Stephen P. (2017). "Computación cuántica rápida a energía arbitrariamente baja". Physical Review A. 95 ( 3) 032305. arXiv : 1701.01175 . Bibcode : 2017PhRvA..95c2305J . doi : 10.1103/PhysRevA.95.032305 . S2CID 118953874 . 
  • Sinitsyn, Nikolai A. (2018). "¿Existe un límite cuántico en la velocidad de computación?". Physics Letters A. 382 ( 7): 477– 481. arXiv : 1701.05550 . Bibcode : 2018PhLA..382..477S . doi : 10.1016/j.physleta.2017.12.042 . S2CID 55887738 .