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Diseño cuántico en T

Un diseño t cuántico es una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos puros u operadores unitarios que puede reproducir propiedades de la distribución de probabilidad...

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Un diseño t cuántico es una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos puros u operadores unitarios que puede reproducir propiedades de la distribución de probabilidad sobre la medida de Haar para polinomios de grado t o menor. Específicamente, el promedio de cualquier función polinómica de grado t sobre el diseño es exactamente igual al promedio sobre la medida de Haar. Aquí, la medida de Haar es una distribución de probabilidad uniforme sobre todos los estados cuánticos o sobre todos los operadores unitarios. Los diseños t cuánticos se denominan así porque son análogos a los diseños t en estadística clásica, que surgieron históricamente en relación con el problema del diseño de experimentos . Dos tipos particularmente importantes de diseños t en mecánica cuántica son los diseños t proyectivos y unitarios. [ 1 ]

Un diseño esférico es un conjunto de puntos en la esfera unitaria sobre los cuales se pueden promediar polinomios de grado acotado para obtener el mismo valor que se obtiene al integrar sobre la medida de superficie en la esfera. Los diseños t esféricos y proyectivos derivan sus nombres de los trabajos de Delsarte, Goethals y Seidel a finales de la década de 1970, pero estos objetos desempeñaron un papel importante anteriormente en varias ramas de las matemáticas, incluyendo la integración numérica y la teoría de números . Ejemplos particulares de estos objetos se han utilizado en la teoría de la información cuántica , [ 2 ] la criptografía cuántica y otros campos relacionados.

Los diseños t unitarios son análogos a los diseños esféricos en que reproducen todo el grupo unitario a través de una colección finita de matrices unitarias . [ 1 ] La teoría de los 2-diseños unitarios se desarrolló en 2006 [ 1 ] específicamente para lograr un medio práctico de evaluación comparativa aleatoria eficiente y escalable [ 3 ] para evaluar los errores en las operaciones de computación cuántica, llamadas puertas. Desde entonces, los diseños t unitarios han resultado útiles en otras áreas de la computación cuántica y, más ampliamente, en la teoría de la información cuántica y se han aplicado a problemas tan trascendentales como la paradoja de la información del agujero negro . [ 4 ] Los diseños t unitarios son especialmente relevantes para las tareas de aleatorización en la computación cuántica ya que las operaciones ideales suelen estar representadas por operadores unitarios.

Motivación

En un espacio de Hilbert de dimensión d, al promediar sobre todos los estados cuánticos puros, el grupo natural es SU(d), el grupo unitario especial de dimensión d. La medida de Haar es, por definición, la única medida invariante de grupo, por lo que se utiliza para promediar propiedades que no son unitariamente invariantes sobre todos los estados o sobre todos los unitarios.

Un ejemplo particularmente utilizado de esto es el spin.12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}sistema. Para este sistema, el grupo relevante es SU(2), que es el grupo de todos los operadores unitarios 2x2 con determinante 1. Dado que cada operador en SU(2) es una rotación de la esfera de Bloch , la medida de Haar para partículas de espín 1/2 es invariante bajo todas las rotaciones de la esfera de Bloch. Esto implica que la medida de Haar es la medida invariante bajo rotaciones en la esfera de Bloch, que puede considerarse como una distribución de densidad constante sobre la superficie de la esfera.

Una clase importante de diseños t proyectivos complejos son las medidas de valor de operador positivo simétricas e informacionalmente completas ( POVM ), que son diseños 2 proyectivos complejos. Dado que tales diseños 2 deben tener al menosd2{\displaystyle d^{2}}elementos, un SIC-POVM es un diseño proyectivo complejo de tamaño mínimo de 2 dimensiones. [ 5 ]

Diseños esféricos en forma de T

Los t-diseños proyectivos complejos se han estudiado en la teoría de la información cuántica como t-diseños cuánticos. [ 6 ] Estos están estrechamente relacionados con los 2t-diseños esféricos de vectores en la esfera unitaria enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}que cuando está incrustado de forma natural endod{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}dan lugar a diseños t proyectivos complejos. [ 7 ]

Formalmente, definimos una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos.(pagi,|ϕi⟩){\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}ser un [ 6 ] diseño t proyectivo complejo si

∑ipagi(|ϕi⟩⟨ϕi|)⊗t=∫ψ(|ψ⟩⟨ψ|)⊗tdψ{\displaystyle \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}=\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }

Aquí, la integral sobre los estados se toma sobre la medida de Haar en la esfera unitaria endod{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}

Los diseños t exactos sobre estados cuánticos no se pueden distinguir de la distribución de probabilidad uniforme sobre todos los estados cuando se utilizan t copias de un estado a partir de la distribución de probabilidad. Sin embargo, en la práctica, incluso los diseños t pueden ser difíciles de calcular. Por esta razón, los diseños t aproximados resultan útiles.

Los diseños t aproximados son los más útiles debido a su capacidad de ser implementados de manera eficiente. Es decir, es posible generar un estado cuántico.|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }distribuido según la distribución de probabilidadpagi|ϕi⟩{\displaystyle p_{i}|\phi _{i}\rangle }enO(registrodo⁡d){\displaystyle O(\log ^{c}d)}tiempo. Esta construcción eficiente también implica que el POVM de los operadoresnortepagi|ϕi⟩⟨ϕi|{\displaystyle Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}se puede implementar enO(registrodo⁡d){\displaystyle O(\log ^{c}d)}tiempo.

La definición técnica de un diseño en T aproximado es:

Si∑ipagi|ϕi⟩⟨ϕi|=∫ψ|ψ⟩⟨ψ|dψ{\displaystyle \sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi }

y(1−ϵ)∫ψ(|ψ⟩⟨ψ|)⊗tdψ≤∑ipagi(|ϕi⟩⟨ϕi|)⊗t≤(1+ϵ)∫ψ(|ψ⟩⟨ψ|)⊗tdψ{\displaystyle (1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }

entonces(pagi,|ϕi⟩){\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}es unϵ{\displaystyle \epsilon }-diseño t aproximado.

Es posible, aunque quizás ineficiente, encontrar unϵ{\displaystyle \epsilon }-Diseño t aproximado que consiste en estados cuánticos puros para un t fijo.

Construcción

Para mayor comodidad, se supone que d es una potencia de 2.

Utilizando el hecho de que para cualquier d existe un conjunto denorted{\displaystyle N^{d}}funciones {0,...,d-1}→{\displaystyle \rightarrow }{0,...,d-1} tal que para cualquier distintok1,...,knorte∈{\displaystyle k_{1},...,k_{N}\in }{0,...,d-1} la imagen bajo f, donde f se elige al azar de S, es exactamente la distribución uniforme sobre tuplas de N elementos de {0,...,d-1}.

Dejar|ψ⟩=∑i=1dαi|i⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle }ser extraído de la medida Haar. SeaPAGd{\displaystyle P_{d}}sea ​​la distribución de probabilidad deα1{\displaystyle \alpha _{1}}y dejarPAG=límited→∞dPAGd{\displaystyle P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}}Finalmente, deja que...α{\displaystyle \alpha }ser extraído de P. Si definimosincógnita=|α|{\displaystyle X=|\alpha |}con probabilidad12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}yincógnita=−|α|{\displaystyle X=-|\alpha |}con probabilidad12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}entonces: mi[incógnitaj]=0{\displaystyle E[X^{j}]=0}para j impar ymi[incógnitaj]=(j2)¡{\displaystyle E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!}para incluso j.

Utilizando esto y la cuadratura gaussiana podemos construirpagF,gramo=∑i=1daF,i2|S1||S2|{\displaystyle p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}}de modo quepagF,gramo|ψF,gramo⟩{\displaystyle p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle }es un diseño en t aproximado.

Diseños t unitarios

Los diseños t unitarios son análogos a los diseños esféricos en que reproducen todo el grupo unitario a través de una colección finita de matrices unitarias . [ 1 ] La teoría de los 2-diseños unitarios se desarrolló en 2006 [ 1 ] específicamente para lograr un medio práctico de evaluación comparativa aleatoria eficiente y escalable [ 3 ] para evaluar los errores en las operaciones de computación cuántica, llamadas puertas. Desde entonces, los diseños t unitarios se han encontrado útiles en otras áreas de la computación cuántica y más ampliamente en la teoría de la información cuántica y en campos tan amplios como la física de agujeros negros. [ 4 ] Los diseños t unitarios son especialmente relevantes para las tareas de aleatorización en computación cuántica ya que las operaciones ideales generalmente se representan mediante operadores unitarios.

Los elementos de un diseño t unitario son elementos del grupo unitario, U(d), el grupo ded×d{\displaystyle d\times d}matrices unitarias. Un diseño t de operadores unitarios generará un diseño t de estados.

SuponerUk{\displaystyle {U_{k}}}es un diseño t unitario (es decir, un conjunto de operadores unitarios). Entonces, para cualquier estado puro|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }dejar|ψk⟩=Uk|ψ⟩{\displaystyle |\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle }. Entonces|ψk⟩{\displaystyle {|\psi _{k}\rangle }}Siempre habrá un diseño en forma de T para los estados.

Defina formalmente un diseño t unitario , X, si

1|incógnita|∑U∈incógnitaU⊗t⊗(U∗)⊗t=∫U(d)U⊗t⊗(U∗)⊗tdU{\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU}

Obsérvese que el espacio está linealmente generado por las matricesU⊗r⊗(U∗)⊗sdU{\displaystyle U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU}sobre todas las opciones de U es idéntico a la restricciónU∈incógnita{\displaystyle U\in X}yr+s=t{\displaystyle r+s=t}Esta observación lleva a una conclusión sobre la dualidad entre diseños unitarios y códigos unitarios.

Utilizando los mapas de permutación es posible [ 6 ] verificar directamente que un conjunto de matrices unitarias forma un diseño t. [ 8 ]

Una consecuencia directa de esto es que para cualquier finitoincógnita⊆U(d){\displaystyle X\subseteq U(d)}

1|incógnita|2∑U,V∈incógnita|tr⁡(U∗V)|2t≥∫U(d)|tr⁡(U∗V)|2tdU{\displaystyle {\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}dU}

Con igualdad si y solo si X es un diseño t.

Se han examinado con cierto detalle los diseños 1 y 2, y se han derivado límites absolutos para la dimensión de X, |X|. [ 9 ]

Límites para diseños unitarios

DefinirInicio⁡(U(d),t,t){\displaystyle \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}como el conjunto de funciones homogéneas de grado t enU{\displaystyle U}y homogéneo de grado t enU∗{\displaystyle U^{*}}, entonces si para cadaF∈Inicio⁡(U(d),t,t){\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}:

1|incógnita|∑U∈incógnitaF(U)=∫U(d)F(U)dU{\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU}

entonces X es un diseño t unitario.

Además, definimos el producto interno para funciones.F{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}enU(d){\displaystyle U(d)}como el valor promedio deF¯gramo{\displaystyle {\bar {f}}g}como:

⟨F,gramo⟩:=∫U(d)F(U)¯gramo(U)dincógnita{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX}

y⟨F,gramo⟩incógnita{\displaystyle \langle f,g\rangle _{X}}como el valor promedio deF¯gramo{\displaystyle {\bar {f}}g}sobre cualquier subconjunto finitoincógnita⊂U(d){\displaystyle X\subset U(d)}.

De ello se deduce que X es un diseño t unitario si y solo si⟨1,F⟩incógnita=⟨1,F⟩∀F{\displaystyle \langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f}.

De lo anterior se puede demostrar que si X es un diseño t, entonces|incógnita|≥oscuro⁡(Inicio⁡(U(d),⌈t2⌉,⌊t2⌋)){\displaystyle |X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))}es un límite absoluto para el diseño. Esto impone un límite superior al tamaño de un diseño unitario. Este límite es absoluto, lo que significa que depende únicamente de la robustez del diseño o del grado del código, y no de las distancias en el subconjunto X. [ 10 ]

Un código unitario es un subconjunto finito del grupo unitario en el que aparecen algunos valores de producto interno entre elementos. Específicamente, un código unitario se define como un subconjunto finitoincógnita⊂U(d){\displaystyle X\subset U(d)}si para todosU≠METRO{\displaystyle U\neq M}en X|tr⁡(U∗METRO)|2{\displaystyle |\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}}solo acepta valores distintos.

Resulta que|incógnita|≤oscuro⁡(Inicio⁡(U(d),s,s)){\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))}y si U y M son ortogonales:|incógnita|≤oscuro⁡(Inicio⁡(U(d),s,s−1)){\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 Dankert, Christoph; Cleve, Richard; Emerson, Joseph; Livine, Etera (2009-07-06). "Diseños unitarios 2 exactos y aproximados y su aplicación a la estimación de fidelidad". Physical Review A . 80 (1) 012304. arXiv : quant-ph/0606161 . Bibcode : 2009PhRvA..80a2304D . doi : 10.1103/physreva.80.012304 . ISSN 1050-2947 . S2CID 46914367 .  
  2. ↑ Hayashi, A.; Hashimoto, T.; Horibe, M. (2005-09-21). "Reexamination of optimal quantum state estimation of pure states". Physical Review A . 72 (3) 032325. arXiv : quant-ph/0410207 . Bibcode : 2005PhRvA..72c2325H . doi : 10.1103/physreva.72.032325 . ISSN 1050-2947 . S2CID 115394183 .  
  3. 1 2 Emerson, Joseph; Alicki, Robert; Życzkowski, Karol (2005-09-21). "Estimación de ruido escalable con operadores unitarios aleatorios". Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics . 7 (10). IOP Publishing: S347– S352. arXiv : quant-ph/0503243 . Bibcode : 2005JOptB...7S.347E . doi : 10.1088/1464-4266/7/10/021 . ISSN 1464-4266 . S2CID 17729419 .  
  4. 1 2 Hayden, Patrick; Preskill, John (2007-09-26). "Agujeros negros como espejos: información cuántica en subsistemas aleatorios". Journal of High Energy Physics . 2007 (9): 120. arXiv : 0708.4025 . Bibcode : 2007JHEP...09..120H . doi : 10.1088/1126-6708/2007/09/120 . ISSN 1029-8479 . S2CID 15261400 .  
  5. ↑ Renes, Joseph M.; Blume-Kohout, Robin; Scott, AJ; Caves, Carlton M. (junio de 2004). "Mediciones cuánticas simétricas e informacionalmente completas". Journal of Mathematical Physics . 45 (6): 2171– 2180. arXiv : quant-ph/0310075 . Bibcode : 2004JMP....45.2171R . doi : 10.1063/1.1737053 . hdl : 10072/21107 . ISSN 0022-2488 . S2CID 17371881 .  
  6. 1 2 3 Ambainis, Andris; Emerson, Joseph (2007). "Diseños t cuánticos: independencia T-wise en el mundo cuántico". arXiv : quant-ph/0701126 .
  7. ↑ Bajnok, Béla (1998-06-05). "Construcciones de diseños esféricos de 3 dimensiones" . Graphs and Combinatorics . 14 (2): 97– 107. arXiv : 2404.15544 . doi : 10.1007/PL00007220 . ISSN 0911-0119 . 
  8. ↑ Collins, Benoît; Śniady, Piotr (22 de marzo de 2006). "Integración con respecto a la medida de Haar en un grupo unitario, ortogonal y simpléctico". Communications in Mathematical Physics . 264 (3). Springer Science and Business Media LLC: 773– 795. arXiv : math-ph/0402073 . Bibcode : 2006CMaPh.264..773C . doi : 10.1007/s00220-006-1554-3 . ISSN 0010-3616 . S2CID 16122807 .  
  9. ↑ Gross, D.; Audenaert, K.; Eisert, J. (2007). "Unitarios distribuidos uniformemente: Sobre la estructura de los diseños unitarios". Journal of Mathematical Physics . 48 (5): 052104. arXiv : quant-ph/0611002 . Bibcode : 2007JMP....48e2104G . doi : 10.1063/1.2716992 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119572194 .  
  10. ↑ Aidan Roy; AJ Scott (2009). "Diseños y códigos unitarios". Diseños, códigos y criptografía . 53 : 13–31 . arXiv : 0809.3813 . doi : 10.1007/s10623-009-9290-2 . S2CID 19010867 .