ecuación cuártica

Si el término constante a ₄  =  0, entonces una de las raíces es x  =  0, y las otras raíces se pueden encontrar dividiendo por x y resolviendo la ecuación cúbica resultante .

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Llamemos a nuestro polinomio cuártico Q ( x ) . Dado que 1 elevado a cualquier potencia es 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Por lo tanto, si${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$Q (1) = 0 y por lo tantox= 1 es una raíz de Q ( x ). De manera similar se puede demostrar que si${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$x = − 1 es una raíz.

En ambos casos, el cuártico completo se puede dividir por el factor ( x − 1) o ( x + 1) respectivamente, lo que produce un nuevo polinomio cúbico , que se puede resolver para encontrar las otras raíces del cuártico.

Si${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$y${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$entonces${\displaystyle \ x=-k\ }$es una raíz de la ecuación. La ecuación cuártica completa se puede factorizar de esta manera:

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

Alternativamente, si${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$y${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$Entonces x = 0 y x = − k se convierten en dos raíces conocidas. Q ( x ) dividido por x ( x + k ) es un polinomio cuadrático.

Una ecuación de cuarto grado donde a ₃ y a ₁ son iguales a 0 toma la forma

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

y por lo tanto es una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver: sea${\displaystyle z=x^{2}}$, por lo que nuestra ecuación se convierte en

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

que es una ecuación cuadrática simple, cuyas soluciones se encuentran fácilmente utilizando la fórmula cuadrática:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Cuando lo hayamos resuelto (es decir, cuando hayamos encontrado estos dos valores de z ), podremos extraer x de ellos.

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Si alguna de las soluciones de z fuera un número negativo o complejo, entonces algunas de las soluciones de x serían números complejos.

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Pasos:

1. Divide entre x  ² .
2. Utilice la variable de cambio z = x + m / x .
3. Entonces, z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m .

Esto conduce a:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+(a_{2}-2ma_{0})=0}$(una ecuación cuadrática en z = x + m / x )

Si la ecuación de cuarto grado tiene una raíz doble , se puede hallar calculando el máximo común divisor del polinomio y su derivada. Luego, se dividen ambas raíces y se resuelve la ecuación cuadrática resultante.

En general, existen solo cuatro casos posibles de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples, que se enumeran a continuación: ^{[ 3 ]}

1. Multiplicidad-4 (M4): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$, para algún número real${\displaystyle l}$Este caso siempre se puede reducir a una ecuación bicuadrática.
2. Multiplicidad-3 (M3): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$, dónde${\displaystyle l}$ y${\displaystyle m}$ son dos números reales diferentes. Este es el único caso que nunca se puede reducir a una ecuación bicuadrática.
3. Doble Multiplicidad-2 (DM2): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$, dónde${\displaystyle l}$ y${\displaystyle m}$ son dos números reales distintos o un par de números complejos conjugados no reales. Este caso también se puede reducir siempre a una ecuación bicuadrática.
4. Multiplicidad simple-2 (SM2): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$, dónde${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, y${\displaystyle n}$ son tres números reales diferentes o${\displaystyle l}$es un número real y${\displaystyle m}$ y${\displaystyle n}$son un par de números complejos conjugados no reales. Este caso se divide en dos subcasos: aquellos que se pueden reducir a una ecuación bicuadrática y aquellos que no.

Consideremos el caso en el que los tres coeficientes no mónicos de la ecuación cuártica deprimida,${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$, puede expresarse en términos de los cinco coeficientes de la ecuación cuártica general de la siguiente manera:

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$,

A continuación se muestran los criterios para identificar a priori cada caso de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples y sus respectivas soluciones.

• M4. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que${\displaystyle p=q=r=0}$, por lo tanto, las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$.

• M3. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$y${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$, por lo tanto, las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

De lo contrario, si${\displaystyle q\leq 0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• DM2. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$, por lo tanto, las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• SM2 bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que${\displaystyle p\neq q=r=0}$, por lo tanto, las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ 

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• SM2 no bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$, por lo tanto, las cuatro raíces de esta ecuación vienen dadas por la siguiente fórmula: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$,

dónde:

${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$

${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$

${\displaystyle \xi =\pm 1}$.

Dejar

Sea la ecuación cuártica general que se desea resolver. Divida ambos lados por A ,

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

El primer paso, si B no es ya cero, debería ser eliminar el término x ^3. Para ello, cambie las variables de x a u , de modo que

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

Entonces

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Al expandir las potencias de los binomios se obtiene

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Recolectar las mismas potencias de u produce

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

Ahora renombra los coeficientes de u . Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

La ecuación resultante es

que es una ecuación cuártica reducida .

Si${\displaystyle \ b=0\ }$Luego tenemos el caso especial de una ecuación bicuadrática , que se resuelve fácilmente, como se explicó anteriormente. Tenga en cuenta que la solución general, que se presenta a continuación, no funcionará para el caso especial.${\displaystyle \ b=0\ .}$La ecuación debe resolverse como una ecuación bicuadrática.

En cualquier caso, una vez que se resuelve la cuártica deprimida para u , sustituyendo esos valores en

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

produce los valores de x que resuelven la ecuación cuártica original.

Después de convertirlo en una ecuación cuártica reducida

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

y excluyendo el caso especial b = 0, que se resuelve como una ecuación bicuadrática, asumimos de aquí en adelante que b ≠ 0.

Separaremos los términos izquierda y derecha como

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

y añade términos a ambos lados que los conviertan en cuadrados perfectos .

Sea y cualquier solución de esta ecuación cúbica :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Entonces (ya que b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

para que podamos dividir por él, dando

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Entonces

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Restando, obtenemos la diferencia de dos cuadrados , que es el producto de la suma y la diferencia de sus raíces.

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

que se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática a cada uno de los dos factores. Por lo tanto, los posibles valores de u son:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$o

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Utilizar otra y de entre las tres raíces de la ecuación cúbica simplemente hace que estos mismos cuatro valores de u aparezcan en un orden diferente. Las soluciones de la ecuación cúbica son:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

utilizando cualquiera de las tres posibles raíces cúbicas. Una estrategia inteligente es elegir el signo de la raíz cuadrada que haga que el valor absoluto de w sea lo más grande posible.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

De lo contrario, la cuártica deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . Una vez obtenida la cuártica deprimida, el siguiente paso es añadir la identidad válida.

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

a la ecuación ( 1 ), obteniendo

El efecto ha sido plegar el término u ⁴ en un cuadrado perfecto : ( u ²  +  a) ² . El segundo término, au ² , no desapareció, pero su signo cambió y se movió al lado derecho.

El siguiente paso es insertar una variable y en el cuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación ( ² ) , y una 2y correspondiente en el coeficiente de u2 del lado derecho. Para realizar estas inserciones, se agregarán las siguientes fórmulas válidas a la ecuación ( 2 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Estas dos fórmulas, sumadas, producen

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

lo cual, sumado a la ecuación ( 2 ), produce

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Esto es equivalente a

El objetivo ahora es elegir un valor para y tal que el lado derecho de la ecuación ( 3 ) se convierta en un cuadrado perfecto. Esto se puede lograr haciendo que el discriminante de la función cuadrática sea cero. Para explicar esto, primero desarrollemos un cuadrado perfecto de manera que sea igual a una función cuadrática:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

La función cuadrática del lado derecho tiene tres coeficientes. Se puede comprobar que al elevar al cuadrado el segundo coeficiente y luego restar cuatro veces el producto del primer y tercer coeficiente se obtiene cero:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Por lo tanto, para convertir el lado derecho de la ecuación ( 3 ) en un cuadrado perfecto, se debe resolver la siguiente ecuación:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Multiplica el binomio por el polinomio,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Divide ambos lados por −4 y mueve el − b ² /4 hacia la derecha,

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Divide ambos lados por 2,

Esta es una ecuación cúbica en y . Resuelva para y utilizando cualquier método para resolver este tipo de ecuaciones (por ejemplo, conversión a una ecuación cúbica reducida y aplicación de la fórmula de Cardano ). Cualquiera de las tres raíces posibles servirá.

Si los coeficientes de la ecuación cuártica son reales, entonces la ecuación cúbica deprimida anidada ( 5 ) también tiene coeficientes reales, por lo tanto tiene al menos una raíz real.

Además, la función cúbica

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

donde P y Q están dados por ( 5 ) tiene las propiedades que

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$y

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$ dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$están dados por ( 1 ).

Esto significa que ( 5 ) tiene una raíz real mayor que${\displaystyle a \over 3}$y por lo tanto que ( 4 ) tiene una raíz real mayor que${\displaystyle -a \over 2}$.

Usando esta raíz el término${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$en ( 6 ) siempre es real, lo que garantiza que las dos ecuaciones cuadráticas ( 6 ) tengan coeficientes reales. ^{[ 5 ]}

Podría suceder que solo se obtenga una solución mediante las fórmulas anteriores, porque no se prueban los cuatro patrones de signos para obtener las cuatro soluciones, y la solución obtenida es compleja . También puede darse el caso de que solo se busque una solución real. Sea${\displaystyle x}$₁ denota la solución compleja. Si todos los coeficientes originales${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$y${\displaystyle E}$son reales —lo cual debería ser así cuando uno desea solo soluciones reales— entonces hay otra solución compleja${\displaystyle x}$₂ que es el conjugado complejo de${\displaystyle x}$_1. Si las otras dos raíces se denotan como${\displaystyle x}$₃ y${\displaystyle x}$_4. Entonces, la ecuación cuártica se puede expresar como

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

pero esta ecuación cuártica es equivalente al producto de dos ecuaciones cuadráticas:

y

Desde

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Dejar

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

de modo que la ecuación ( 9 ) se convierte en

Además, sean variables (desconocidas) w y v tales que la ecuación ( 10 ) se convierte en

Multiplicando las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) se obtiene

Comparando la ecuación ( 13 ) con la ecuación cuártica original, se puede observar que

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

y

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Por lo tanto

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

La ecuación ( 12 ) se puede resolver para x obteniendo

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Una de estas dos soluciones debería ser la solución real deseada.

La ecuación cúbica resolvente muestra cómo se puede usar una ecuación cúbica resolvente para encontrar las raíces de una ecuación cuártica deprimida mónica al encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. La tercera definición es particularmente simple. Sea

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+c\,x^{2}+d\,x+e&=(x^{2}+p\,x+q)\,(x^{2}-p\,x+s)\\&=x^{4}+(s+q-p^{2})\,x^{2}+p\,(s-q)\,x+q\,s\quad \Rightarrow \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle p^{2}+c=s+q\quad \quad {\frac {d}{p}}=s-q\quad \quad e=q\,s\quad \Rightarrow }$$

$${\displaystyle (p^{2}+c)^{2}-\left({\frac {d}{p}}\right)^{2}=4\,e}$$

Esta ecuación cúbica en${\displaystyle p^{2}}$se conoce como la Resolvente de Descartes ^{[ 6 ] [ 7 ]} . Hay tres maneras de particionar las cuatro raíces de la ecuación cuártica en dos pares de raíces y luego dos maneras para cada una de ordenar las cuadráticas (${\displaystyle \pm p}$). Suma y resta las dos primeras ecuaciones de coeficientes para obtener q y s.

Una transformación de Möbius adecuadamente elegida puede transformar una ecuación cuártica en una ecuación cuadrática en la nueva variable al cuadrado. Este es un método conocido. ^{[ 8 ]}

Encontrar dicha transformación de Möbius implica resolver una ecuación cúbica y, por lo tanto, simplifica el problema. Por ejemplo, comience con la ecuación cuártica deprimida con coeficiente principal unitario y sin${\displaystyle a_{1}}$ni${\displaystyle a_{0}}$igual a cero:

$${\displaystyle x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

y realiza la transformación de Möbius:

$${\displaystyle x={\frac {A+By}{1+y}}}$$

Establezca los coeficientes de primer y tercer orden de la ecuación cuártica resultante en${\displaystyle y}$a cero. Después de algo de álgebra, se encuentra${\displaystyle A+B}$se obtiene a partir de la ecuación cúbica

$${\displaystyle a_{1}(A+B)^{3}+(4a_{0}-2a_{1}a_{2}-{a_{2}}^{2})(A+B)^{2}-2a_{1}a_{2}(A+B)-{a_{1}}^{2}=0}$$

y, con respecto a${\displaystyle A+B}$como se sabe,${\displaystyle A}$se obtiene a partir de la ecuación cuadrática

$${\displaystyle 2(A+B)A^{2}-2(A+B)^{2}A-a_{2}(A+B)-a_{1}=0}$$

Resolviendo la ecuación cuadrática resultante para${\displaystyle y^{2}}$da dos valores para${\displaystyle y^{2}}$y cada raíz cuadrada de${\displaystyle y^{2}}$tiene dos valores, lo que da un total de cuatro soluciones, como era de esperar.

La ecuación cúbica en${\displaystyle {\textbf {A}}+{\textbf {B}}}$dado anteriormente es lo mismo que${\displaystyle P^{2}-Q(A+B)^{2}=0}$, dónde

$${\displaystyle P\equiv {\frac {b_{1}-b_{3}}{2(A-B)}}=2\,A\,B\,(A+B)+a_{2}(A+B)+a_{1}}$$

$${\displaystyle Q\equiv {\frac {B\,b_{1}-A\,b_{3}}{A-B}}=4A^{2}B^{2}-a_{1}(A+B)-4a_{0}=0}$$

Aquí b _i son los coeficientes del polinomio de cuarto grado en y. Esto muestra cómo se obtuvo esta ecuación.

El grupo simétrico S ₄ sobre cuatro elementos tiene al grupo de Klein de cuatro elementos como un subgrupo normal . Esto sugiere el uso de una resolvente cuyas raíces pueden describirse de diversas maneras como una transformada discreta de Fourier o una transformada matricial de Hadamard de las raíces. Supongamos que r _i para i de 0 a 3 son raíces de

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Si ahora establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

Entonces, dado que la transformación es una involución , podemos expresar las raíces en términos de los cuatro s _i exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = − b /2, realmente solo necesitamos los valores para s ₁ , s ₂ y s ₃ . Estos podemos encontrarlos expandiendo el polinomio

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

que si hacemos la suposición simplificadora de que b  =  0, es igual a

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Este polinomio es de grado seis, pero solo de grado tres en z² ^, por lo que la ecuación correspondiente tiene solución. Mediante prueba y error podemos determinar cuáles son las tres raíces correctas y, por lo tanto, hallar las soluciones de la ecuación de cuarto grado.

Podemos eliminar cualquier requisito de prueba utilizando una raíz del mismo polinomio resolvente para factorizar; si w es cualquier raíz de (3), y si

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación de cuarto grado despejando w y luego calculando las raíces de los dos factores utilizando la fórmula cuadrática.

Los métodos descritos anteriormente son, en principio, métodos exactos para encontrar raíces. También es posible utilizar métodos de aproximación sucesiva que convergen iterativamente hacia las raíces, como el método de Durand-Kerner .