Campo cuasi-algebraicamente cerrado

En matemáticas , un cuerpo F se denomina cuasi-algebraicamente cerrado (o C ₁ ) si todo polinomio homogéneo no constante P sobre F tiene una raíz no trivial siempre que el número de sus variables sea mayor que su grado. La idea de los cuerpos cuasi-algebraicamente cerrados fue investigada por C. C. Tsen , alumno de Emmy Noether , en un artículo de 1936 ( Tsen 1936 ) ; y posteriormente por Serge Lang en su tesis doctoral de 1951 en la Universidad de Princeton y en su artículo de 1952 ( Lang 1952 ) . La idea en sí se atribuye al director de tesis de Lang, Emil Artin .

Formalmente, si P es un polinomio homogéneo no constante en variables

X ₁ , ..., X _N ,

y de grado d satisfactorio

d < N

entonces tiene un cero no trivial sobre F ; es decir, para algún x _i en F , no todos 0, tenemos

P ( x ₁ , ..., x _N ) = 0.

En lenguaje geométrico, la hipersuperficie definida por P , en un espacio proyectivo de grado N − 2 , tiene entonces un punto sobre F.

• Todo cuerpo algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado. De hecho, todo polinomio homogéneo en al menos dos variables sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tiene una raíz no trivial. ^{[ 1 ]}
• Cualquier cuerpo finito es cuasi-algebraicamente cerrado por el teorema de Chevalley-Warning . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}
• Los cuerpos de funciones algebraicas de dimensión 1 sobre cuerpos algebraicamente cerrados son cuasi-algebraicamente cerrados según el teorema de Tsen . ^{[ 3 ] [ 5 ]}
• La extensión máxima no ramificada de un cuerpo completo con una valuación discreta y un cuerpo residual perfecto es cuasi-algebraicamente cerrada. ^{[ 3 ]}
• Un cuerpo completo con una valuación discreta y un cuerpo residual algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado por un resultado de Lang. ^{[ 3 ] [ 6 ]}
• Un cuerpo pseudoalgebraicamente cerrado de característica cero es cuasi-algebraicamente cerrado. ^{[ 7 ]}

• Cualquier extensión algebraica de un cuerpo cuasi-algebraicamente cerrado es cuasi-algebraicamente cerrado.
• El grupo de Brauer de una extensión finita de un cuerpo cuasi-algebraicamente cerrado es trivial. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}
• Un cuerpo cuasi-algebraicamente cerrado tiene dimensión cohomológica como máximo 1. ^{[ 10 ]}

Los campos cuasi-algebraicamente cerrados también se denominan C ₁ . Un campo C _k , de forma más general, es aquel para el cual cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene una raíz no trivial, siempre que

d ^k < N ,

para k ≥ 1. ^{[ 11 ]} La condición fue introducida y estudiada por primera vez por Lang. ^{[ 10 ]} Si un cuerpo es C _i entonces también lo es una extensión finita. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Los cuerpos C ₀ son precisamente los cuerpos algebraicamente cerrados. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Lang y Nagata demostraron que si un cuerpo es C _k , entonces cualquier extensión de grado de trascendencia n es C _{k + n} . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} El k más pequeño tal que K es un cuerpo C _{k (}${\displaystyle \infty }$si no existe tal número), se denomina dimensión diofántica dd( K ) de K . ^{[ 13 ]}

• Teorema de Brauer sobre las formas
• Rango Tsen

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