Campo pseudoalgebraicamente cerrado

En matemáticas , un campo es pseudoalgebraicamente cerrado si satisface ciertas propiedades que son válidas para campos algebraicamente cerrados . El concepto fue introducido por James Ax en 1967. ^[1]${\estilo de visualización K}$

Un campo K es pseudoalgebraicamente cerrado (generalmente abreviado como PAC ^[2] ) si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Cada variedad absolutamente irreducible definida sobre tiene un punto racional .${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$
• Para cada polinomio absolutamente irreducible con y para cada distinto de cero existe tal que y .${\displaystyle f\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r},X]}$${\displaystyle {\frac {\parcial f}{\parcial X}}\no = 0}$${\displaystyle g\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r}]}$${\displaystyle ({\textbf {a}},b)\en K^{r+1}}$${\displaystyle f({\textbf {a}},b)=0}$${\displaystyle g({\textbf {a}})\no = 0}$
• Cada polinomio absolutamente irreducible tiene infinitos puntos -racionales.${\displaystyle f\en K[T,X]}$${\estilo de visualización K}$
• Si es un dominio integral finitamente generado sobre con cuerpo cociente que es regular sobre , entonces existe un homomorfismo tal que para cada .${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$ ${\displaystyle h:R\to K}$${\displaystyle h(a)=a}$${\displaystyle a\en K}$

• Los campos algebraicamente cerrados y los campos separablemente cerrados son siempre PAC.
• Los campos pseudofinitos y los campos hiperfinitos son PAC.
• Un ultraproducto no principal de campos finitos distintos es (pseudofinito y por lo tanto ^[3] ) PAC. ^[2] Ax deduce esto de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos . ^[1]
• Las extensiones algebraicas infinitas de campos finitos son PAC. ^[4]
• El PAC Nullstellensatz . El grupo de Galois absoluto de un cuerpo es profinito , por lo tanto compacto y, por lo tanto, equipado con una medida de Haar normalizada . Sea un cuerpo hilbertiano numerable y sea un entero positivo . Entonces, para casi todas las -tuplas , el cuerpo fijo del subgrupo generado por los automorfismos es PAC. Aquí la frase "casi todos" significa "todos excepto un conjunto de medida cero". ^[5] (Este resultado es una consecuencia del teorema de irreducibilidad de Hilbert).${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización e}$${\displaystyle (\sigma _ {1},...,\sigma _ {e})\in G^{e}}$
• Sea K la extensión de Galois máxima totalmente real de los números racionales e i la raíz cuadrada de −1. Entonces K ( i ) es PAC.

• El grupo de Brauer de un campo PAC es trivial, ^[6] ya que cualquier variedad de Severi-Brauer tiene un punto racional. ^[7]
• El grupo de Galois absoluto de un cuerpo PAC es un grupo profinito proyectivo ; equivalentemente, tiene dimensión cohomológica como máximo 1. ^[7]
• Un campo PAC de característica cero es C1 . ^[8]

• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9.Zbl 1145.12001  .