Cuasi-bialgebra

En matemáticas , las cuasi-bialgebras son una generalización de las bialgebras : fueron definidas por primera vez por el matemático ucraniano Vladimir Drinfeld en 1990. Una cuasi-bialgebra se diferencia de una bialgebra en que la coasociatividad se reemplaza por un elemento invertible.${\displaystyle \Phi }$que controla la no coasociatividad . Una de sus propiedades clave es que la categoría correspondiente de módulos forma una categoría tensorial .

Una cuasi bialgebra${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta,\varepsilon,\Phi,l,r)}$es un álgebra${\displaystyle {\mathcal {A}}}$sobre un campo${\displaystyle \mathbb {F} }$equipado con morfismos de álgebras

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}}

${\displaystyle \varepsilon$ :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {F} }

junto con elementos invertibles${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}}$, y${\displaystyle r,l\in A}$de tal manera que se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle (id\otimes \Delta )\circ \Delta (a)=\Phi \lbrack (\Delta \otimes id)\circ \Delta (a)\rbrack \Phi ^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lbrack (id\otimes id\otimes \Delta )(\Phi )\rbrack \ \lbrack (\Delta \otimes id\otimes id)(\Phi )\rbrack =(1\otimes \Phi )\ \lbrack (id\otimes \Delta \otimes id)(\Phi )\rbrack \ (\Phi \otimes 1)}$

${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)(\Delta a)=l^{-1}al,\qquad (id\otimes \varepsilon )\circ \Delta =r^{-1}ar,\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle (id\otimes \varepsilon \otimes id)(\Phi )=r\otimes l^{-1}.}$

Dónde${\displaystyle \Delta }$y${\displaystyle \epsilon }$se denominan comultiplicación y counidad,${\displaystyle r}$y${\displaystyle l}$se denominan restricciones de unidad derecha e izquierda (respectivamente), y${\displaystyle \Phi }$a veces se le llama el asociador de Drinfeld . ^{[ 1 ] : 369–376} Esta definición está construida de manera que la categoría${\displaystyle {\mathcal {A}}-Mod}$es una categoría tensorial bajo el producto tensorial usual del espacio vectorial , y de hecho esto puede tomarse como la definición en lugar de la lista de identidades anteriores. ^{[ 1 ] : 368} Dado que muchas de las cuasi-bialgebras que aparecen "en la naturaleza" tienen restricciones de unidad triviales, es decir,${\displaystyle l=r=1}$La definición a veces puede darse con esto asumido. ^{[ 1 ] : 370} Nótese que una bialgebra es simplemente una cuasi-bialgebra con restricciones triviales de unidad y asociatividad:${\displaystyle l=r=1}$y${\displaystyle \Phi =1\otimes 1\otimes 1}$.

Una cuasi-bialgebra trenzada (también llamada cuasi-bialgebra cuasi-triangular ) es una cuasi-bialgebra cuya categoría tensorial correspondiente${\displaystyle {\mathcal {A}}-Mod}$está trenzada . De forma equivalente, por analogía con las bialgebras trenzadas , podemos construir una noción de matriz R universal que controla la no- cocomutatividad de una cuasi-bialgebra. La definición es la misma que en el caso de la bialgebra trenzada, salvo por las complicaciones adicionales en las fórmulas causadas por la adición del asociador.

Proposición: Una cuasi-bialgebra${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ,\epsilon ,\Phi ,l,r)}$Se considera trenzado si posee una matriz R universal , es decir, un elemento invertible.${\displaystyle R\in {\mathcal {A\otimes A}}}$de tal manera que se cumplan las siguientes 3 identidades:

${\displaystyle (\Delta ^{op})(a)=R\Delta (a)R^{-1}}$

${\displaystyle (id\otimes \Delta )(R)=(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}(\Phi _{213})^{-1}}$

${\displaystyle (\Delta \otimes id)(R)=(\Phi _{321})R_{13}(\Phi _{213})^{-1}R_{23}\Phi _{123}}$

Donde, por cada${\displaystyle a_{1}\otimes ...\otimes a_{k}\in {\mathcal {A}}^{\otimes k}}$,${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}}$es el monomio con${\displaystyle a_{j}}$en el${\displaystyle i_{j}}$el punto, donde cualquier número omitido corresponde a la identidad en ese punto. Finalmente, extendemos esto por linealidad a todos los${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\otimes k}}$. ^{[ 1 ] : 371}

Nuevamente, de forma similar al caso de la bialgebra trenzada , esta matriz R universal satisface (una versión no asociativa de) la ecuación de Yang-Baxter :

${\displaystyle R_{12}\Phi _{321}R_{13}(\Phi _{132})^{-1}R_{23}\Phi _{123}=\Phi _{321}R_{23}(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}}$^{[ 1 ] : 372}

Dada una cuasi-bialgebra, se pueden generar más cuasi-bialgebras mediante torsión (de ahora en adelante asumiremos${\displaystyle r=l=1}$) .

Si${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$es una cuasi bialgebra y${\displaystyle F\in {\mathcal {A\otimes A}}}$es un elemento invertible tal que${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$, colocar

${\displaystyle \Delta '(a)=F\Delta (a)F^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Phi '=(1\otimes F)\ ((id\otimes \Delta )F)\ \Phi \ ((\Delta \otimes id)F^{-1})\ (F^{-1}\otimes 1).}$

Luego, el conjunto${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')}$es también una cuasi bialgebra obtenida al torcer${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$por F , que se denomina transformación de torsión o de calibre . ^{[ 1 ] : 373} Si${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$era una cuasi bialgebra trenzada con matriz R universal${\displaystyle R}$, entonces también lo es${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')}$con matriz R universal${\displaystyle F_{21}RF^{-1}}$(utilizando la notación de la sección anterior). ^{[ 1 ] : 376} Sin embargo, la torsión de una bialgebra es solo en general una cuasi-bialgebra. Las torsiones cumplen muchas propiedades esperadas. Por ejemplo, la torsión por${\displaystyle F_{1}}$y luego${\displaystyle F_{2}}$es equivalente a torcer por${\displaystyle F_{2}F_{1}}$y retorciéndose por${\displaystyle F}$entonces${\displaystyle F^{-1}}$recupera la cuasi-bialgebra original.

Las torsiones tienen la importante propiedad de que inducen equivalencias categóricas en la categoría tensorial de módulos:

Teorema: Sea${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$,${\displaystyle {\mathcal {B_{A'}}}}$sean cuasi-bialgebras, sea${\displaystyle {\mathcal {B'_{A'}}}}$ser el retorcido de${\displaystyle {\mathcal {B_{A'}}}}$por${\displaystyle F}$y supongamos que existe un isomorfismo:${\displaystyle \alpha$ :{\mathcal {B_{A}}}\to {\mathcal {B'_{A'}}}} . Entonces el funtor tensorial inducido${\displaystyle (\alpha ^{*},id,\phi _{2}^{F})}$es una equivalencia de categoría tensorial entre${\displaystyle {\mathcal {A'}}-mod}$y${\displaystyle {\mathcal {A}}-mod}$. Dónde${\displaystyle \phi _{2}^{F}(v\otimes w)=F^{-1}(v\otimes w)}$. Además, si${\displaystyle \alpha }$es un isomorfismo de cuasi-bialgebras trenzadas, entonces el functor inducido anterior es una equivalencia de categoría tensorial trenzada. ^{[ 1 ] : 375–376}

Las cuasi-bialgebras constituyen la base del estudio de las cuasi-álgebras de Hopf y, posteriormente, del estudio de las torsiones de Drinfeld y las representaciones en términos de matrices F asociadas a representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra afín cuántica . Las matrices F pueden utilizarse para factorizar la matriz R correspondiente . Esto conduce a aplicaciones en mecánica estadística , ya que las álgebras afines cuánticas y sus representaciones dan lugar a soluciones de la ecuación de Yang-Baxter , una condición de solubilidad para diversos modelos estadísticos, lo que permite deducir las características del modelo a partir de su álgebra afín cuántica correspondiente. El estudio de las matrices F se ha aplicado a modelos como el XXZ en el marco del ansatz de Bethe algebraico .

• Biálgebra
• Álgebra de Hopf
• Álgebra cuasi-Hopf

• Vladimir Drinfeld , Álgebras cuasi-Hopf , Leningrad Math J. 1 (1989), 1419-1457
• JM Maillet y J. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 201 , 2000