Álgebra cuasi-Hopf

Un álgebra cuasi-Hopf es una generalización de un álgebra de Hopf , definida por el matemático ucraniano Vladimir Drinfeld en 1989.

Un álgebra cuasi-Hopf es una cuasi-bialgebra${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta,\varepsilon,\Phi)}$para los cuales existen${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}}$y un antihomomorfismo biyectivo S ( antípoda ) de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de tal manera que

${\displaystyle \sum _{i}S(b_{i})\alpha c_{i}=\varepsilon (a)\alpha }$

${\displaystyle \sum _{i}b_{i}\beta S(c_{i})=\varepsilon (a)\beta }$

a pesar de${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$y dónde

${\displaystyle \Delta (a)=\sum _{i}b_{i}\otimes c_{i}}$

y

${\displaystyle \sum _{i}X_{i}\beta S(Y_{i})\alpha Z_{i}=\mathbb {I} ,}$

${\displaystyle \sum _{j}S(P_{j})\alpha Q_{j}\beta S(R_{j})=\mathbb {I} .}$

donde las expansiones para las cantidades${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Phi ^{-1}}$son dados por

${\displaystyle \Phi =\sum _{i}X_{i}\otimes Y_{i}\otimes Z_{i}}$

y

${\displaystyle \Phi ^{-1}=\sum _{j}P_{j}\otimes Q_{j}\otimes R_{j}.}$

En cuanto a una cuasi-bialgebra , la propiedad de ser cuasi-Hopf se conserva bajo torsión .

Las álgebras cuasi-Hopf constituyen la base del estudio de las torsiones de Drinfeld y las representaciones en términos de matrices F asociadas con representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra afín cuántica . Las matrices F pueden utilizarse para factorizar la matriz R correspondiente . Esto conduce a aplicaciones en mecánica estadística , ya que las álgebras afines cuánticas y sus representaciones dan lugar a soluciones de la ecuación de Yang-Baxter , una condición de solubilidad para varios modelos estadísticos, lo que permite deducir las características del modelo a partir de su álgebra afín cuántica correspondiente. El estudio de las matrices F se ha aplicado a modelos como el modelo XXZ de Heisenberg en el marco del ansatz algebraico de Bethe . Proporciona un marco para resolver modelos integrables bidimensionales utilizando el método de dispersión inversa cuántica .

• Álgebra de Hopf cuasitriangular
• Álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf
• Álgebra de Hopf de cinta

• Vladimir Drinfeld , "Álgebras cuasi-Hopf", Leningrad Math J. 1 (1989), 1419-1457
• JM Maillet y J. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 201 , 2000