Cuasilinealización

En matemáticas , la cuasilinealización es una técnica que reemplaza una ecuación diferencial no lineal o una ecuación de operador (o un sistema de dichas ecuaciones) con una secuencia de problemas lineales, que se presumen más sencillos y cuyas soluciones aproximan la solución del problema no lineal original con una precisión creciente. Es una generalización del método de Newton ; el término "cuasilinealización" se usa comúnmente cuando la ecuación diferencial es un problema de valores en la frontera . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La cuasilinealización reemplaza un operador no lineal N dado por un operador lineal que, al ser más simple, puede usarse de forma iterativa para resolver aproximadamente ecuaciones que contienen el operador no lineal original. Esto se realiza típicamente al intentar resolver una ecuación como N(y) = 0 junto con ciertas condiciones de contorno B para las cuales la ecuación tiene una solución y . Esta solución a veces se denomina "solución de referencia". Para que la cuasilinealización funcione, la solución de referencia debe existir de forma única (al menos localmente). El proceso comienza con una aproximación inicial _y₀ que satisface las condiciones de contorno y es "suficientemente cercana" a la solución de referencia y en un sentido que se definirá con mayor precisión más adelante. El primer paso es tomar la derivada de Fréchet del operador no lineal N en esa aproximación inicial, para encontrar el operador lineal L(y₀ ₎ que mejor aproxima N(y)-N(y₀ ₎ localmente . La ecuación no lineal puede aproximarse entonces como N ( y ) = N(y _k ) + L(y _k )( y - y _k ) + O( yy _k ) ² , tomando k=0 . Igualando esta ecuación a cero e imponiendo condiciones de contorno nulas e ignorando los términos de orden superior se obtiene la ecuación lineal L(y _k )( y - y _k ) = - N(y _k ) . La solución de esta ecuación lineal (con condiciones de contorno nulas) podría llamarse y _k+1 . El cálculo de y _k para k =1, 2, 3, ... resolviendo estas ecuaciones lineales en secuencia es análogo a la iteración de Newton para una sola ecuación, y requiere el recálculo de la derivada de Fréchet en cada y _k . El proceso puede converger cuadráticamente a la solución de referencia, bajo las condiciones adecuadas. Sin embargo, al igual que con el método de Newton para ecuaciones algebraicas no lineales, pueden surgir dificultades: por ejemplo, la ecuación no lineal original puede no tener solución, o tener más de una solución, o múltiples soluciones, en cuyo caso la iteración puede converger muy lentamente, no converger en absoluto o converger a la solución incorrecta .

La prueba práctica del significado de la frase "suficientemente cerca" radica precisamente en que la iteración converja a la solución correcta. Al igual que en el método de Newton, existen teoremas que establecen las condiciones para saber de antemano cuándo la aproximación inicial es "suficientemente cercana".

En su lugar, se podría discretizar el operador no lineal original y generar un conjunto (generalmente grande) de ecuaciones algebraicas no lineales para las incógnitas, y luego aplicar el método de Newton a este sistema de ecuaciones. En general, el comportamiento de convergencia es similar: una aproximación inicial igualmente buena producirá soluciones discretas aproximadas igualmente buenas. Sin embargo, el enfoque de cuasilinealización (linealizar la ecuación del operador en lugar de las ecuaciones discretizadas) parece más sencillo de comprender y ha permitido el uso de técnicas como las mallas espaciales adaptativas a medida que avanza la iteración. ^{[ 3 ]}

Como ejemplo para ilustrar el proceso de cuasilinealización, podemos resolver aproximadamente el problema de valores en la frontera de dos puntos para el nodo no lineal. $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y(x)=y^{2}(x),}$$ donde las condiciones de contorno son${\displaystyle y(-1)=1}$y${\displaystyle y(1)=1}$La solución exacta de la ecuación diferencial se puede expresar utilizando la función elíptica de Weierstrass ℘ , de la siguiente manera:${\displaystyle y(x)=6\wp (x-\alpha |0,\beta )}$donde la notación de barra vertical significa que los invariantes son${\displaystyle g_{2}=0}$y${\displaystyle g_{3}=\beta }$. Encontrar los valores de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Para que se satisfagan las condiciones de contorno, es necesario resolver dos ecuaciones no lineales simultáneas para las dos incógnitas.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$, es decir${\displaystyle 6\wp (-1-\alpha |0,\beta )=1}$y${\displaystyle 6\wp (1-\alpha |0,\beta )=1}$Esto se puede hacer, en un entorno donde ℘ y sus derivados estén disponibles, por ejemplo, mediante el método de Newton. ^{[ a ]}

Aplicando en cambio la técnica de cuasilinealización, se encuentra tomando la derivada de Fréchet en una aproximación desconocida${\displaystyle y_{k}(x)}$que el operador lineal es $${\displaystyle L(\varepsilon )={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varepsilon (x)-2y_{k}(x)\varepsilon (x).}$$ Si la aproximación inicial es${\displaystyle y_{0}(x)=1}$idénticamente en el intervalo${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$, entonces la primera iteración (al menos) se puede resolver exactamente, pero ya es algo complicado. En cambio, una solución numérica, por ejemplo, mediante un método espectral de Chebyshev utilizando${\displaystyle n=21}$Chebyshev — Puntos de Lobatto${\displaystyle x_{k}=\cos(\pi (n-1-k)/(n-1))}$para${\displaystyle k=0,1,\cdots ,n-1}$proporciona una solución con un residuo menor que${\displaystyle 5\cdot 10^{-9}}$después de tres iteraciones; es decir,${\displaystyle y_{3}(x)}$es la solución exacta para${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y(x)-y^{2}(x)=5\cdot 10^{-9}v(x)}$, donde el valor máximo de${\displaystyle |v(x)|}$es menor que 1 en el intervalo${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$. Esta solución aproximada (llamémosla${\displaystyle u_{1}}$) está de acuerdo con la solución exacta${\displaystyle 6\cdot \wp (x-\alpha |0,\beta )}$con $${\displaystyle \{\alpha \approx 3.524459420,\beta \approx 0.006691372637\}.}$$

Otros valores de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$dar otras soluciones continuas a este problema de valores en la frontera de dos puntos no lineal para EDO, tales como: $${\displaystyle \{\alpha \approx 2.55347391110,\beta \approx -1.24923895273\}.}$$ La solución correspondiente a estos valores representados en la figura se llama${\displaystyle u_{2}}$. Sin embargo, otros valores de los parámetros pueden dar soluciones discontinuas porque ℘ tiene un polo doble en cero y por lo tanto${\displaystyle y(x)}$tiene un poste doble en${\displaystyle x=\alpha }$. Encontrar otras soluciones continuas mediante cuasilinealización requiere aproximaciones iniciales diferentes a las utilizadas aquí. La aproximación inicial${\displaystyle y_{0}=5x^{2}-4}$se aproxima a la solución exacta${\displaystyle u_{2}}$y puede utilizarse para generar una secuencia de aproximaciones que convergen a${\displaystyle u_{2}}$Ambas aproximaciones se representan gráficamente en la figura adjunta.

• Descripción de la función

• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quasi-linearization Archivado el 6 de julio de 2024 en Wayback Machine