Descripción de la función

En la teoría de sistemas de control , el método de la función descriptiva (DF), desarrollado por Nikolay Mitrofanovich Krylov y Nikolay Bogoliubov en la década de 1930, ^{[ 1 ] [ 2 ]} y extendido por Ralph Kochenburger ^{[ 3 ]} es un procedimiento aproximado para analizar ciertos problemas de control no lineal . Se basa en la cuasilinealización , que es la aproximación del sistema no lineal bajo investigación mediante una función de transferencia lineal invariante en el tiempo (LTI) que depende de la amplitud de la forma de onda de entrada. Por definición, una función de transferencia de un sistema LTI verdadero no puede depender de la amplitud de la función de entrada porque un sistema LTI es lineal . Por lo tanto, esta dependencia de la amplitud genera una familia de sistemas lineales que se combinan en un intento de capturar características sobresalientes del comportamiento del sistema no lineal. La función descriptiva es uno de los pocos métodos ampliamente aplicables para el diseño de sistemas no lineales, y se utiliza ampliamente como una herramienta matemática estándar para analizar ciclos límite en controladores de lazo cerrado , como controles de procesos industriales, servomecanismos y osciladores electrónicos .

Consideremos la retroalimentación alrededor de una no linealidad discontinua (pero continua por partes) (por ejemplo, un amplificador con saturación o un elemento con efectos de banda muerta ) en cascada con un sistema lineal lento y estable. La región continua en la que se presenta la retroalimentación a la no linealidad depende de la amplitud de la salida del sistema lineal. A medida que la amplitud de salida del sistema lineal disminuye, la no linealidad puede pasar a una región continua diferente. Este cambio de una región continua a otra puede generar oscilaciones periódicas . El método de la función descriptiva intenta predecir las características de esas oscilaciones (por ejemplo, su frecuencia fundamental) asumiendo que el sistema lento actúa como un filtro de paso bajo o de paso de banda que concentra toda la energía alrededor de una sola frecuencia. Incluso si la forma de onda de salida tiene varios modos, el método aún puede proporcionar intuición sobre propiedades como la frecuencia y posiblemente la amplitud; en este caso, el método de la función descriptiva puede considerarse como la descripción del modo deslizante del sistema de retroalimentación.

Utilizando esta suposición de paso bajo, la respuesta del sistema puede describirse mediante una de una familia de formas de onda sinusoidales ; en este caso, el sistema se caracterizaría por una función descriptiva de entrada sinusoidal (SIDF).${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$dar respuesta al sistema ante una entrada que consiste en una onda sinusoidal de amplitud A y frecuencia${\displaystyle \omega }$Este SIDF es una modificación de la función de transferencia .${\displaystyle H(j\omega )}$Se utiliza para caracterizar sistemas lineales. En un sistema cuasilineal, cuando la entrada es una onda sinusoidal, la salida será una onda sinusoidal de la misma frecuencia pero con una amplitud escalada y una fase desplazada según lo dado por${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$Muchos sistemas son aproximadamente cuasilineales en el sentido de que, aunque la respuesta a una onda sinusoidal no es una onda sinusoidal pura, la mayor parte de la energía en la salida está de hecho a la misma frecuencia.${\displaystyle \omega }$como entrada. Esto se debe a que dichos sistemas pueden poseer características intrínsecas de paso bajo o paso banda , de modo que los armónicos se atenúan naturalmente, o porque se agregan filtros externos para este propósito. Una aplicación importante de la técnica SIDF es estimar la amplitud de oscilación en osciladores electrónicos sinusoidales .

Otros tipos de funciones descriptivas que se han utilizado son las DF para entradas de nivel y para entradas de ruido gaussiano. Si bien no constituyen una descripción completa del sistema, las DF suelen ser suficientes para responder preguntas específicas sobre control y estabilidad. Los métodos DF son más adecuados para analizar sistemas con no linealidades relativamente débiles. Además, las funciones descriptivas de entrada sinusoidal de orden superior (HOSIDF) describen la respuesta de una clase de sistemas no lineales en los armónicos de la frecuencia de entrada de una señal sinusoidal. Las HOSIDF son una extensión de las SIDF para sistemas donde las no linealidades son significativas en la respuesta.

Aunque el método de la función descriptiva puede producir resultados razonablemente precisos para una amplia clase de sistemas, puede fallar estrepitosamente para otros. Por ejemplo, el método puede fallar si el sistema enfatiza los armónicos superiores de la no linealidad. Tzypkin ha presentado ejemplos de este tipo para sistemas bang - bang . ^{[ 4 ]} Un ejemplo bastante similar es un oscilador de lazo cerrado que consta de un disparador Schmitt no inversor seguido de un integrador inversor que realimenta su salida a la entrada del disparador Schmitt. La salida del disparador Schmitt será una forma de onda cuadrada , mientras que la del integrador (que le sigue) tendrá una forma de onda triangular con picos que coinciden con las transiciones de la onda cuadrada. Cada una de estas dos etapas del oscilador retrasa la señal exactamente 90 grados (en relación con su entrada). Si se realizara un análisis DF en este circuito, la onda triangular en la entrada del disparador Schmitt sería reemplazada por su fundamental (onda sinusoidal), la cual, al pasar por el disparador, causaría un desfase de menos de 90 grados (porque la onda sinusoidal lo activaría antes que la onda triangular), por lo que el sistema no parecería oscilar de la misma manera (sencilla). ^{[ 5 ]}

Además, en el caso de que se cumplan las condiciones de las conjeturas de Aizerman o Kalman , no existen soluciones periódicas mediante el método de la función descriptiva, ^{[ 6 ] [ 7 ]} pero se conocen contraejemplos con atractores periódicos ocultos . Se pueden construir contraejemplos al método de la función descriptiva para sistemas dinámicos discontinuos cuando un segmento de reposo destruye los ciclos límite predichos. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, la aplicación del método de la función descriptiva requiere una justificación adicional. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• Electrical Engineering Encyclopedia: Describing Functions