Forma modular casi holomórfica

En matemáticas , las formas modulares casi holomorfas , también llamadas formas modulares casi holomorfas , son una generalización de las formas modulares que son polinomios en 1/Im(τ) con coeficientes que son funciones holomorfas de τ. Una forma cuasimodular es la parte holomorfa de una forma modular casi holomorfa. Una forma modular casi holomorfa está determinada por su parte holomorfa, por lo que la operación de tomar la parte holomorfa da un isomorfismo entre los espacios de formas modulares casi holomorfas y formas cuasimodulares. Los ejemplos arquetípicos de formas cuasimodulares son la serie de Eisenstein E ₂ (τ) (la parte holomorfa de la forma modular casi holomorfa E ₂ (τ) – 3/πIm(τ)), y las derivadas de formas modulares.

En términos de teoría de representación, las formas modulares corresponden aproximadamente a los vectores de mayor peso de ciertas representaciones de series discretas de SL ₂ ( R ), mientras que las formas casi holomorfas o cuasimodulares corresponden aproximadamente a otros vectores (no necesariamente de mayor peso) de estas representaciones.

Para simplificar la notación, esta sección trata el caso de nivel 1; la extensión a niveles superiores es sencilla.

Una forma modular casi holomorfa de nivel 1 es una función f en el semiplano superior con las propiedades:

• f se transforma como una forma modular: para algún entero k llamado peso , para cualesquiera elementos de SL ₂ ( Z ) (es decir: a, b, c, d son enteros con ad - bc = 1).${\displaystyle f((a\tau +b)/(c\tau +d))=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$
• En función de q =e ^{2π i τ} , f es un polinomio en 1/Im(τ) con coeficientes que son funciones holomorfas de q .

Una forma cuasimodular de nivel 1 se define como el término constante de una forma modular casi holomórfica (considerada como un polinomio en 1/Im(τ)).

El anillo de formas modulares casi holomorfas de nivel 1 es un anillo polinomial sobre los números complejos en los tres generadores . De manera similar, el anillo de formas cuasimodulares de nivel 1 es un anillo polinomial sobre los números complejos en los tres generadores . ${\displaystyle E_{2}(\tau )-3/\pi \Im (\tau ),E_{4}(\tau ),E_{6}(\tau )}$${\displaystyle E_{2}(\tau),E_{4}(\tau),E_{6}(\tau)}$

Las formas cuasimodulares pueden interpretarse como secciones de ciertos haces de chorros . ^[1]

Ramanujan observó que la derivada de cualquier forma cuasimodular es otra forma cuasimodular. ^[2] Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{2}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}^{2 }-E_{4}}{12}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{4}}{d\tau }}&={\frac { E_{2}E_{4}-E_{6}}{3}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{6}}{d\tau } }&={\frac {E_{2}E_{6}-E_{4}^{2}}{2}}\end{aligned}}}$

Como el campo generado por formas cuasimodulares de algún nivel tiene grado de trascendencia 3 sobre C , esto implica que cualquier forma cuasimodular satisface alguna ecuación diferencial no lineal de orden 3. Por ejemplo, la serie de Eisenstein E ₂ satisface la ecuación de Chazy (más o menos unas pocas constantes).

• Movasati, Hossein (2012), "Formas cuasimodulares unidas a curvas elípticas, I", Ann. Math. Blaise Pascal , 19 (2): 307–377, MR  3025138
• Zagier, Don (2008), "Formas modulares elípticas y sus aplicaciones", en Ranestad, Kristian (ed.), El 1-2-3 de las formas modulares. Conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid, Noruega, junio de 2004 , Universitext, con Bruinier, Jan Hendrik; van der Geer, Gerard; Harder, Günter, Berlín: Springer-Verlag , pp. 1–103, doi :10.1007/978-3-540-74119-0, ISBN 978-3-540-74117-6, MR  2409678, Zbl  1197.11047