Impulso cristalino

En física del estado sólido , el momento cristalino o cuasimomento es un vector similar al momento asociado con los electrones en una red cristalina . ^{[ 2 ]} Se define por los vectores de onda asociados.${\displaystyle \mathbf {k} }$de esta red, según $${\displaystyle \mathbf {p} _{\text{cristal}}\equiv \hbar \mathbf {k} }$$ (dónde${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ). ^{[ 3 ] : 139} En sistemas con simetría de traslación discreta , el momento cristalino se conserva como el momento mecánico, lo que lo hace útil para los físicos y los científicos de materiales como una herramienta analítica.

Un método común para modelar la estructura y el comportamiento de los cristales consiste en considerar a los electrones como partículas cuánticas que viajan a través de un potencial periódico infinito fijo.${\displaystyle V(x)}$de tal manera que $${\displaystyle V(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=V(\mathbf {x} ),}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {a} }$es un vector de red arbitrario . Este modelo es sensato porque los iones cristalinos que forman la estructura de la red suelen ser decenas de miles de veces más masivos que los electrones, ^{[ 4 ]} lo que permite reemplazarlos con seguridad por una estructura de potencial fijo, y las dimensiones macroscópicas de un cristal suelen ser mucho mayores que un solo espaciado de red, lo que hace que los efectos de borde sean despreciables. Una consecuencia de esta función de energía potencial es que es posible desplazar la posición inicial de un electrón en cualquier vector de red.${\displaystyle \mathbf {a} }$sin cambiar ningún aspecto del problema, definiendo así una simetría discreta . Técnicamente, un potencial periódico infinito implica que el operador de traslación de la red${\displaystyle T(a)}$conmuta con el hamiltoniano , asumiendo una forma simple cinética más potencial. ^{[ 3 ] : 134}

Estas condiciones implican el teorema de Bloch , que establece: $${\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {x} ),\qquad u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=u_ {n\mathbf {k} }(\mathbf {x} ),}$$ o que un electrón en una red, que puede modelarse como una función de onda de partícula única${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$encuentra sus soluciones de estado estacionario en forma de una onda plana multiplicada por una función periódica.${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$El teorema surge como consecuencia directa del hecho mencionado anteriormente de que el operador de traslación de simetría de la red conmuta con el hamiltoniano del sistema. ^{[ 3 ] : 261–266 [ 5 ]}

Uno de los aspectos notables del teorema de Bloch es que muestra directamente que las soluciones de estado estacionario pueden identificarse con un vector de onda.${\displaystyle \mathbf {k} }$, lo que significa que este número cuántico permanece como una constante de movimiento. El momento cristalino se define entonces convencionalmente multiplicando este vector de onda por la constante de Planck: $${\displaystyle \mathbf {p} _{\text{cristal}}=\hbar \mathbf {k} .}$$

Si bien esto es, de hecho, idéntico a la definición que se podría dar para el momento regular (por ejemplo, al tratar los efectos del operador de traslación por los efectos de una partícula en el espacio libre ^{[ 6 ]} ), existen importantes diferencias teóricas. Por ejemplo, mientras que el momento regular se conserva completamente, el momento cristalino solo se conserva dentro de un vector de red. Por ejemplo, un electrón puede describirse no solo por el vector de onda.${\displaystyle \mathbf {k} }$pero también con cualquier otro vector de onda${\displaystyle \mathbf {k} '}$de tal manera que $${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K},}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {K} }$es un vector de red recíproca arbitrario. ^{[ 3 ] : 218} Esto es consecuencia del hecho de que la simetría de la red es discreta en lugar de continua, y por lo tanto su ley de conservación asociada no puede derivarse utilizando el teorema de Noether .

La modulación de fase del estado de Bloch${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$es lo mismo que el de una partícula libre con momento${\displaystyle \hbar k}$, es decir${\displaystyle k}$Esto proporciona la periodicidad del estado, que no es la misma que la de la red. Esta modulación contribuye a la energía cinética de la partícula (mientras que la modulación es totalmente responsable de la energía cinética de una partícula libre).

En las regiones donde la banda es aproximadamente parabólica, el momento del cristal es igual al momento de una partícula libre con momento${\displaystyle \hbar k}$si asignamos a la partícula una masa efectiva que esté relacionada con la curvatura de la parábola.

Relación con la velocidad

El momento cristalino corresponde al concepto de velocidad físicamente medible según ^{[ 3 ] : 141}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}(\mathbf {k} ).}$$ Esta es la misma fórmula que la velocidad de grupo de una onda . Más específicamente, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón en un cristal no puede tener simultáneamente un momento k definido con exactitud y una posición exacta en el cristal. Sin embargo, puede formar un paquete de ondas centrado en el momento k (con una ligera incertidumbre) y centrado en una posición determinada (también con una ligera incertidumbre). La posición central de este paquete de ondas cambia a medida que la onda se propaga, moviéndose a través del cristal a la velocidad v dada por la fórmula anterior. En un cristal real, un electrón se mueve de esta manera —viajando en una dirección determinada a una velocidad determinada— solo durante un breve período de tiempo, antes de colisionar con una imperfección en el cristal que provoca que se mueva en una dirección diferente y aleatoria. Estas colisiones, denominadas dispersión de electrones , suelen ser causadas por defectos cristalográficos , la superficie del cristal y vibraciones térmicas aleatorias de los átomos en el cristal ( fonones ). ^{[ 3 ] : 216}