Impulso

Una colisión elástica es aquella en la que no se transforma energía cinética en calor ni en ninguna otra forma de energía. Las colisiones perfectamente elásticas pueden ocurrir cuando los objetos no se tocan, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear, donde la repulsión eléctrica los mantiene separados. Una maniobra de asistencia gravitatoria de un satélite alrededor de un planeta también puede considerarse una colisión perfectamente elástica. Una colisión entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de una colisión casi totalmente elástica, debido a su alta rigidez , pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay cierta disipación . ^{[ 9 ]}

Una colisión elástica frontal entre dos cuerpos puede representarse mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa a través de los cuerpos. Si las velocidades son v _A1 y v _B1 antes de la colisión y v _A2 y v _B2 después, las ecuaciones que expresan la conservación del momento lineal y la energía cinética son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

Un cambio de sistema de referencia puede simplificar el análisis de una colisión. Por ejemplo, supongamos que hay dos cuerpos de igual masa m , uno estacionario y otro que se acerca al otro a una velocidad v (como en la figura). El centro de masa se mueve a una velocidad v / 2 y ambos cuerpos se mueven hacia él a una velocidad v / 2 . Debido a la simetría, después de la colisión ambos deben alejarse del centro de masa a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masa a ambas, encontramos que el cuerpo que se movía ahora está detenido y el otro se aleja a una velocidad v . Los cuerpos han intercambiado sus velocidades. Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al sistema de referencia del centro de masa nos lleva a la misma conclusión. Por lo tanto, las velocidades finales vienen dadas por ^{[ 4 ].}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

En general, cuando se conocen las velocidades iniciales, las velocidades finales vienen dadas por ^{[ 10 ].}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo tiene mucha más masa que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética de los cuerpos que colisionan se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido ). Algunos ejemplos son las colisiones de tráfico , ^{[ 11 ]} en las que el efecto de la pérdida de energía cinética se puede observar en los daños a los vehículos; los electrones que pierden parte de su energía en los átomos (como en el experimento de Franck-Hertz ); ^{[ 12 ]} y los aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.

En una colisión perfectamente inelástica (como la de un insecto contra un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión frontal inelástica entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son v _A1 y v _B1 antes de la colisión, entonces en una colisión perfectamente inelástica ambos cuerpos se moverán con una velocidad v ₂ después de la colisión. La ecuación que expresa la conservación del momento lineal es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo está inmóvil al principio (por ejemplo${\displaystyle v_{B1}=0}$), la ecuación para la conservación del momento es

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

entonces

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

En una situación diferente, si el sistema de referencia se mueve a la velocidad final tal que${\displaystyle v_{2}=0}$En este caso, los objetos se detendrían mediante una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convertiría en otras formas de energía. En tal caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o bien los cuerpos tendrían que carecer de masa.

Una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución C _R , definido como la relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. Al aplicar esta medida a una pelota que rebota en una superficie sólida, se puede calcular fácilmente utilizando la siguiente fórmula: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

Las ecuaciones de momento y energía también se aplican a los movimientos de objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también utilizan la conservación del momento: el propulsor se impulsa hacia afuera, ganando momento, y se le imparte al cohete un momento igual y opuesto. ^{[ 14 ]}

En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos , no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que, en cada punto, existe una partícula o porción de fluido a la que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo t y la posición r . El momento por unidad de volumen es ρv . ^{[ 31 ]}

Consideremos una columna de agua en equilibrio hidrostático . Todas las fuerzas sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua, dos fuerzas están en equilibrio. La primera es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula en su interior. La fuerza gravitatoria por unidad de volumen es ρ g , donde g es la aceleración gravitatoria . La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba en la cantidad justa para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p . La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

Si las fuerzas no están equilibradas, la gota acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial ⁠ ∂ v / ∂ t ⁠ porque el fluido en un volumen dado cambia con el tiempo. En cambio, se necesita la derivada material : ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

Aplicada a cualquier magnitud física, la derivada material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección a medida que el fluido pasa por ese punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio del momento lineal es igual a ρ ⁠ D v / D t ⁠ . Esto equivale a la fuerza neta sobre la gota.

Las fuerzas que pueden cambiar el momento de una gota incluyen el gradiente de presión y la gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, una tensión cortante τ , ejercida por una fuerza paralela a la superficie de la gota, es proporcional a la tasa de deformación o tasa de deformación . Dicha tensión cortante se produce si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido en un lado que en el otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z , la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

donde μ es la viscosidad . Esto también es un flujo , o caudal por unidad de área, de momento en x a través de la superficie. ^{[ 34 ]}

Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de balance de momento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son:

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

Estas se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes . ^{[ 35 ]}

Las ecuaciones de balance de momento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con normal en la dirección i y fuerza en la dirección j , existe un componente de tensión σ _{i j} . Los nueve componentes conforman el tensor de tensiones de Cauchy σ , que incluye tanto la presión como la tensión cortante. La conservación local del momento se expresa mediante la ecuación de momento de Cauchy :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

donde f es la fuerza del cuerpo . ^{[ 36 ]}

La ecuación de momento de Cauchy es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la velocidad de deformación depende de las propiedades del material (véase Tipos de viscosidad ).

Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones, u ondas , que se propagan desde su fuente. En un fluido, los pequeños cambios de presión p a menudo pueden describirse mediante la ecuación de onda acústica :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

donde c es la velocidad del sonido . En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de la presión ( ondas P ) y la cizalladura ( ondas S ). ^{[ 37 ]}

El flujo, o transporte por unidad de área, de un componente de momento ρ v _j por una velocidad v _i es igual a ρ v _j v _j . En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio temporal de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. ^{[ 38 ]} Es posible que se produzca un flujo de momento incluso si la onda en sí misma no tiene un momento medio. ^{[ 39 ]}

En las ecuaciones de Maxwell , las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética ( fuerza de Lorentz ) sobre una partícula con carga q debido a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

(en unidades SI ). ^{[ 40 ] : 2} Tiene un potencial eléctrico φ ( r , t ) y un potencial vectorial magnético A ( r , t ) . ^{[ 22 ]} En el régimen no relativista, su momento generalizado es

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

La cantidad V = q A se denomina a veces momento potencial . ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} Es el momento debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial U = q φ , que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un cuadrivector, por lo que la analogía es consistente; además, el concepto de momento potencial es importante para explicar el llamado momento oculto de los campos electromagnéticos. ^{[ 44 ]}

En mecánica newtoniana, la ley de conservación del momento lineal se deriva de la ley de acción y reacción , que establece que toda fuerza tiene una fuerza recíproca igual y opuesta. En ciertas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. ^{[ 45 ]} Sin embargo, el momento lineal combinado de las partículas y el campo electromagnético se conserva.

La física newtoniana presupone que el tiempo y el espacio absolutos existen fuera de cualquier observador; esto da lugar a la invariancia galileana . También conlleva la predicción de que la velocidad de la luz puede variar de un sistema de referencia a otro. Esto es contrario a lo observado. En la teoría especial de la relatividad , Einstein mantiene el postulado de que las ecuaciones de movimiento no dependen del sistema de referencia, pero supone que la velocidad de la luz c es invariante. Como resultado, la posición y el tiempo en dos sistemas de referencia se relacionan mediante la transformación de Lorentz en lugar de la transformación galileana . ^{[ 51 ]}

Consideremos, por ejemplo, un sistema de referencia que se mueve con respecto a otro a una velocidad v en la dirección x . La transformación galileana da las coordenadas del sistema de referencia móvil como

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

mientras que la transformación de Lorentz da ^{[ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

donde γ es el factor de Lorentz :

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$$

La segunda ley de Newton, con la masa fija, no es invariante bajo una transformación de Lorentz. Sin embargo, puede hacerse invariante al convertir la masa inercial m de un objeto en función de su velocidad:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀ es la masa invariante del objeto. ^{[ 53 ]}

El momento modificado,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

obedece la segunda ley de Newton:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

Dentro del dominio de la mecánica clásica, el momento relativista se aproxima mucho al momento newtoniano: a baja velocidad, γ m ₀ v es aproximadamente igual a m ₀ v , la expresión newtoniana para el momento.

En la teoría de la relatividad especial, las cantidades físicas se expresan en términos de cuadrivectores que incluyen el tiempo como una cuarta coordenada junto con las tres coordenadas espaciales. Estos vectores generalmente se representan con letras mayúsculas, por ejemplo R para la posición. La expresión para el cuadrimomento depende de cómo se expresan las coordenadas. El tiempo puede darse en sus unidades normales o multiplicado por la velocidad de la luz de modo que todos los componentes del cuadrivector tengan dimensiones de longitud. Si se utiliza esta última escala, un intervalo de tiempo propio , τ , definido por ^{[ 54 ]}

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

es invariante bajo transformaciones de Lorentz (en esta expresión y en lo que sigue se ha utilizado la signatura métrica (+ − − −) , diferentes autores utilizan diferentes convenciones). Matemáticamente, esta invariancia se puede asegurar de dos maneras: tratando los cuadrivectores como vectores euclidianos y multiplicando el tiempo por √ −1 ; o manteniendo el tiempo como una cantidad real e incrustando los vectores en un espacio de Minkowski . ^{[ 55 ]} En un espacio de Minkowski, el producto escalar de dos cuadrivectores U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) y V = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ ) se define como

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

En todos los sistemas de coordenadas, la cuadrivelocidad relativista ( contravariante ) se define por

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

y el cuadrimomento (contravariante) es

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}$$

donde m ₀ es la masa invariante. Si R = ( c t , x , y , z ) (en el espacio de Minkowski), entonces

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

Utilizando la equivalencia masa-energía de Einstein , E = m c ² , esto se puede reescribir como

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

Por lo tanto, la conservación del cuadrimomento es invariante de Lorentz e implica la conservación tanto de la masa como de la energía.

La magnitud del cuadrivector de momento es igual a m ₀ c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

y es invariante en todos los sistemas de referencia.

La relación energía-momento relativista se cumple incluso para partículas sin masa como los fotones; al establecer m ₀ = 0 se deduce que

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

En un juego de "billar" relativista, si una partícula estacionaria es golpeada por una partícula en movimiento en una colisión elástica, las trayectorias que formen posteriormente formarán un ángulo agudo. Esto difiere del caso no relativista, donde se desplazan en ángulo recto. ^{[ 56 ]}

El cuadrimomento de una onda plana se puede relacionar con un cuadrivector de onda ^{[ 57 ].}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

Para una partícula, la relación entre componentes temporales, E = ħ ω , es la relación de Planck-Einstein , y la relación entre componentes espaciales, p = ħ k , describe una onda de materia de De Broglie .

Hacia el año 530 d. C., Juan Filopono desarrolló el concepto de momento lineal en su obra Sobre la física , un comentario a la Física de Aristóteles . Aristóteles afirmaba que todo lo que se mueve debe mantenerse en movimiento por algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento por las fuerzas del aire. Filopono señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es impulsado por el mismo aire que se opone a su paso. En cambio, propuso que se le impartía un impulso al objeto en el acto de lanzarlo. ^{[ 58 ]}

En 1020, Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado, Avicena) leyó a Filopono y publicó su propia teoría del movimiento en El Libro de la Curación . Coincidió en que el lanzador imparte un impulso a un proyectil; pero a diferencia de Filopono, quien creía que era una virtud temporal que se disiparía incluso en el vacío, él la consideraba persistente, requiriendo fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparla. ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}

En los siglos XIII y XIV, Peter Olivi y Jean Buridan leyeron y perfeccionaron la obra de Filopono, y posiblemente la de Ibn Sīnā. ^{[ 61 ]} Buridan, quien hacia 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a que el ímpetu era proporcional al peso multiplicado por la velocidad. Además, la teoría de Buridan se diferenciaba de la de su predecesor en que no consideraba que el ímpetu se disipara por sí mismo, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su ímpetu. ^{[ 62 ] [ 63 ]}

En los Principios de Filosofía ( Principia Philosophiae ) de 1644, el filósofo francés René Descartes definió la "cantidad de movimiento" ( en latín : quantitas motus ) como el producto del tamaño y la velocidad, ^{[ 64 ]} y afirmó que la cantidad total de movimiento en el universo se conserva. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

Si x es el doble de grande que y, y se mueve a la mitad de velocidad, entonces hay la misma cantidad de movimiento en cada uno.

[Dios] creó la materia, junto con su movimiento... simplemente dejando que las cosas sigan su curso, conserva la misma cantidad de movimiento... que puso allí al principio.

Esto no debe interpretarse como una declaración de la ley moderna de conservación del momento , ya que Descartes no tenía el concepto de masa como distinto del peso y el tamaño. (El concepto de masa, como distinto del peso, fue introducido por Newton en 1686). ^{[ 66 ]} Más importante aún, creía que es la rapidez, y no la velocidad, la que se conserva. Así, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su rapidez, no habría cambio en su cantidad de movimiento. ^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]} Galileo , en sus Dos nuevas ciencias (publicadas en 1638), utilizó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.

En el siglo XVII, Christiaan Huygens concluyó muy pronto que las leyes de Descartes para la colisión elástica de dos cuerpos debían ser erróneas, y formuló las leyes correctas. ^{[ 70 ]} Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. ^{[ 71 ]} Sus ideas tardaron muchos años en difundirse. Las transmitió personalmente a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. ^{[ 72 ]} Lo que Spinoza escribió a Henry Oldenburg sobre ellas, en 1666 durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa , fue reservado. ^{[ 73 ]} Huygens las había desarrollado en un manuscrito, De motu corporum ex percussione, en el período 1652-1656. La guerra terminó en 1667, y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669. ^{[ 74 ]}

En 1670, John Wallis , en Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus , enunció la ley de conservación del momento: «el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá» y «Si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento». ^{[ 75 ]} Wallis utilizó el término momento para la cantidad de movimiento y vis para la fuerza.

En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz , en su Discurso sobre la metafísica , argumentó en contra de la construcción cartesiana de la conservación de la "cantidad de movimiento" utilizando el ejemplo de dejar caer bloques de diferentes tamaños desde diferentes distancias. Señaló que la fuerza se conserva, pero la cantidad de movimiento, entendida como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto, no se conserva. ^{[ 76 ]}

En 1687, Isaac Newton , en Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , al igual que Wallis, mostró una búsqueda similar de palabras para describir el momento matemático. Su Definición II define quantitas motus , "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que lo identifica como momento. ^{[ 77 ]} Por lo tanto, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus , "cambio de movimiento", siendo proporcional a la fuerza aplicada, generalmente se entiende que se refiere al momento y no al movimiento. ^{[ 78 ]}

En 1721, John Jennings publicó Miscellanea , donde se atestigua el momento en su sentido matemático actual, cinco años antes de la edición final de los Principia Mathematica de Newton . El momento M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo", el producto de Q y V , donde Q es "cantidad de materia" y ^{V es} " velocidad", s / t . [ 79 ^]

En 1728, la Enciclopedia afirma:

El momento , ímpetu o cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es el factum [es decir, el producto] de su velocidad (o el espacio que recorre en un tiempo determinado, véase Movimiento ) multiplicado por su masa.