Cuasirreversibilidad

En la teoría de colas ^, una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , la cuasirreversibilidad (a veces QR ) es una propiedad de algunas colas. El concepto fue identificado por primera vez por Richard R. Muntz ^{[ 1 ]} y desarrollado posteriormente por Frank Kelly ^{[ 2 , 3 ]} . La cuasirreversibilidad se diferencia de la reversibilidad en que se impone una condición más estricta a las tasas de llegada y una condición más débil a los flujos de probabilidad. Por ejemplo, una cola M/M/1 con tasas de llegada y tiempos de servicio dependientes del estado es reversible, pero no cuasirreversible ^{[ 4 ] .}

Una red de colas, de tal forma que cada cola individual considerada de manera aislada es cuasirreversible, siempre tiene una distribución estacionaria en forma de producto . ^{[ 5 ]} Se había conjeturado que la cuasirreversibilidad era una condición necesaria para una solución en forma de producto en una red de colas, pero se demostró que esto no era así. Chao et al. exhibieron una red en forma de producto donde no se cumplía la cuasirreversibilidad. ^{[ 6 ]}

Una cola con distribución estacionaria${\displaystyle \pi }$es cuasirreversible si su estado en el tiempo t , x (t) es independiente de

• los tiempos de llegada para cada clase de cliente con posterioridad al tiempo t ,
• los horarios de salida para cada clase de cliente antes de la hora t

para todas las clases de clientes. ^{[ 7 ]}

La cuasirreversibilidad es equivalente a una forma particular de equilibrio parcial . Primero, definimos las tasas de inversión q'( x , x' ) mediante

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} )q'(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\pi (\mathbf {x'} )q(\mathbf {x'} ,\mathbf {x} )}$

Entonces, considerando solo a los clientes de una clase particular, los procesos de llegada y salida son el mismo proceso de Poisson (con parámetro${\displaystyle \alpha }$), entonces

${\displaystyle \alpha =\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q'(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$

donde M _x es un conjunto tal que${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}}$significa que el estado x' representa una única llegada de la clase particular de cliente al estado x .

• El teorema de Burke muestra que un sistema de colas M/M/m es cuasirreversible. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}
• Kelly demostró que cada estación de una red BCMP es cuasirreversible cuando se observa de forma aislada. ^{[ 11 ]}
• Las colas G en las redes G son cuasirreversibles. ^{[ 12 ]}

• Reversibilidad temporal