Solución en forma de producto

En teoría de la probabilidad , una solución en forma de producto es una forma de solución particularmente eficiente para determinar alguna métrica de un sistema con subcomponentes distintos, donde la métrica para el conjunto de componentes se puede escribir como un producto de la métrica de los diferentes componentes. Usando la notación Pi mayúscula, una solución en forma de producto tiene forma algebraica

${\displaystyle {\text{P}}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})=B\prod _{i=1}^{n}{\text{P}}(x_{i})}$

donde B es una constante. Las soluciones de esta forma son de interés porque su evaluación es computacionalmente económica para valores grandes de n . Dichas soluciones en redes de colas son importantes para encontrar métricas de rendimiento en modelos de sistemas informáticos multiprogramados y de tiempo compartido.

Las primeras soluciones en forma de producto se encontraron para distribuciones de equilibrio de cadenas de Markov . De manera trivial, los modelos compuestos por dos o más subcomponentes independientes exhiben una solución en forma de producto por definición de independencia. Inicialmente, el término se usó en redes de colas donde los subcomponentes serían colas individuales. Por ejemplo, el teorema de Jackson da la distribución de equilibrio conjunta de una red de colas abierta como el producto de las distribuciones de equilibrio de las colas individuales. ^{[ 1 ]} Después de numerosas extensiones, principalmente la red BCMP, se pensó que el equilibrio local era un requisito para una solución en forma de producto. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El modelo de red G de Gelenbe fue el primero en demostrar que esto no es así. Motivado por la necesidad de modelar neuronas biológicas que tienen un comportamiento de picos similar a un proceso puntual, introdujo el precursor de las redes G, llamándolo red neuronal aleatoria . ^{[ 4 ]} Al introducir "clientes negativos" que pueden destruir o eliminar a otros clientes, generalizó la familia de redes de forma de producto. ^{[ 5 ]} Luego, esto se extendió aún más en varios pasos, primero por los "disparadores" de Gelenbe que son clientes que tienen el poder de mover a otros clientes de una cola a otra. ^{[ 6 ]} Otra nueva forma de cliente que también condujo a la forma de producto fue la "eliminación de lotes" de Gelenbe. ^{[ 7 ]} Esto fue ampliado posteriormente por Erol Gelenbe y Jean-Michel Fourneau con tipos de clientes llamados "resets" que pueden modelar la reparación de fallos: cuando una cola alcanza el estado vacío, que representa (por ejemplo) un fallo, la longitud de la cola puede retroceder o ser "restablecida" a su distribución de estado estable por un cliente de reinicio que llega, lo que representa una reparación. Todos estos tipos de clientes anteriores en G-Networks pueden existir en la misma red, incluso con múltiples clases, y todos juntos siguen dando como resultado la solución en forma de producto, llevándonos mucho más allá de las redes reversibles que se habían considerado anteriormente. ^{[ 8 ]}

Las soluciones en forma de producto a veces se describen como "las estaciones son independientes en equilibrio". ^{[ 9 ]} Las soluciones en forma de producto también existen en redes de colas masivas . ^{[ 10 ]}

JM Harrison y RJ Williams señalan que "prácticamente todos los modelos que se han analizado con éxito en la teoría clásica de redes de colas son modelos que tienen una distribución estacionaria denominada de forma de producto" ^{[ 9 ]} Más recientemente, se han publicado soluciones de forma de producto para álgebras de procesos de Markov (por ejemplo, RCAT en PEPA ^{[ 11 ] [ 12 ]} ) y redes de Petri estocásticas . ^{[ 13 ] [ 14 ]} El teorema de deficiencia cero de Martin Feinberg proporciona una condición suficiente para que las redes de reacciones químicas exhiban una distribución estacionaria de forma de producto. ^{[ 15 ]}

El trabajo de Gelenbe también muestra que las redes G en forma de producto pueden usarse para modelar redes neuronales aleatorias de picos , y además que dichas redes pueden usarse para aproximar funciones reales acotadas y continuas. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

El término forma de producto también se ha utilizado para referirse a la distribución del tiempo de permanencia en un sistema de colas cíclico, donde el tiempo que pasan los trabajos en M nodos se da como el producto del tiempo que pasan en cada nodo. ^{[ 18 ]} En 1957 Reich mostró el resultado para dos colas M/M/1 en tándem, ^{[ 19 ]} extendiéndolo posteriormente a n colas M/M/1 en tándem ^{[ 20 ]} y se ha demostrado que se aplica a rutas sin adelantamiento en redes de Jackson . ^{[ 21 ]} Walrand y Varaiya sugieren que la no adelantamiento (donde los clientes no pueden adelantar a otros clientes tomando una ruta diferente a través de la red) puede ser una condición necesaria para que el resultado se cumpla. ^{[ 21 ]} Mitrani ofrece soluciones exactas para algunas redes simples con adelantamiento, mostrando que ninguna de ellas exhibe distribuciones de tiempo de permanencia en forma de producto. ^{[ 22 ]}

Para redes cerradas, Chow demostró que un resultado se cumplía para dos nodos de servicio, ^{[ 23 ]} que luego se generalizó a un ciclo de colas ^{[ 24 ]} y a rutas libres de adelantamiento en redes Gordon-Newell . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

• Las soluciones aproximadas en forma de producto se calculan asumiendo distribuciones marginales independientes, lo que puede proporcionar una buena aproximación a la distribución estacionaria bajo ciertas condiciones. ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• Las soluciones en forma de semiproducto son soluciones donde una distribución puede escribirse como un producto cuyos términos tienen una dependencia funcional limitada del espacio de estados global, que puede aproximarse. ^{[ 29 ]}
• Las soluciones en forma de cuasi-producto son o
  • soluciones que no son el producto de densidades marginales, sino que las densidades marginales describen la distribución de manera tipo producto ^{[ 30 ]} o
  • forma aproximada para distribuciones de probabilidad transitorias que permite aproximar momentos transitorios. ^{[ 31 ]}