Mapeo cuasiconforme

En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme es un homeomorfismo (débilmente diferenciable) entre dominios planos que, en primer orden, transforma círculos pequeños en elipses pequeñas de excentricidad acotada . Las aplicaciones cuasiconformes son una generalización de las aplicaciones conformes que permiten la distorsión acotada de ángulos localmente. Las aplicaciones cuasiconformes fueron introducidas por Grötzsch (1928) y nombradas por Ahlfors (1935) .

Intuitivamente, sea f  : D  → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , es K -cuasiconforme si, en cada punto, su derivada transforma círculos en elipses con la razón entre el eje mayor y el eje menor acotada por K. 

Supongamos que f  : D  → D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Existen diversas definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconforme siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami 

para algún valor complejo de Lebesgue medible μ que satisfaga${\displaystyle \sup |\mu |<1}$( Bers 1977 ) . Esta ecuación admite una interpretación geométrica. Equipemos D con el tensor métrico.

${\displaystyle ds^{2}=\Omega (z)^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},}$

donde Ω( z )  >  0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando es una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ -conforme . Más generalmente, la diferenciabilidad continua de f puede ser reemplazada por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W ^1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distribucionales de primer orden están en L ² ( D ) . En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero casi en todas partes, cualquier homeomorfismo en W ^1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.

Sin recurrir a una métrica auxiliar, consideremos el efecto de la reducción bajo f de la métrica euclidiana usual. La métrica resultante viene dada por

${\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}$

que, en relación con la métrica euclidiana de fondo${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$, tiene valores propios

${\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2},\qquad (1-|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}.}$

Los autovalores representan, respectivamente, la longitud al cuadrado del eje mayor y menor de la elipse obtenida al retroceder a lo largo del círculo unitario en el plano tangente.

En consecuencia, la dilatación de f en un punto z se define por

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

El supremo (esencial) de K ( z ) viene dado por

${\displaystyle K=\sup _ {z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}$

y se llama dilatación de f . Si f es K -cuasiconforme para algún K finito , entonces f es cuasiconforme. 

Una definición basada en la noción de longitud extremal es la siguiente. Si existe un K finito tal que para cada conjunto Γ de curvas en D la longitud extremal de Γ es como máximo K veces la longitud extremal de { f  o  γ  :  γ  ∈ Γ }, entonces f es K -cuasiconforme. 

Si K > 1 , entonces las aplicaciones x + iy ↦ Kx + iy y x + iy ↦ x + iKy son ambas cuasiconformes y tienen una dilatación constante K.

Si s > −1 entonces el mapa${\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}$es cuasiconforme (donde z es un número complejo ) y tiene dilatación constante.${\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}$Cuando s ≠ 0, se trata de un ejemplo de homeomorfismo cuasiconforme que no es suave. Si s = 0, se trata simplemente de la aplicación identidad.

Un homeomorfismo es 1-cuasiconforme si y solo si es conforme. Si f  : D → D ′ es K -cuasiconforme y g  : D ′ → D ′′ es K ′-cuasiconforme, entonces g  o f es KK ′-cuasiconforme. El inverso de un homeomorfismo K -cuasiconforme es K -cuasiconforme. Dado que las aplicaciones K -cuasiconformes se conservan bajo composición con aplicaciones conformes, se puede extender la noción de aplicaciones K -cuasiconformes a superficies de Riemann generales . 

El espacio de aplicaciones K-cuasiconformes del plano complejo sobre sí mismo que mapean tres puntos distintos a tres puntos dados es compacto.

De importancia central en la teoría de las aplicaciones cuasiconformes en dos dimensiones es el teorema de la aplicación de Riemann medible , demostrado por Lars Ahlfors y Lipman Bers. El teorema generaliza el teorema de la aplicación de Riemann de homeomorfismos conformes a cuasiconformes, y se enuncia de la siguiente manera. Supongamos que D es un dominio simplemente conexo en C que no es igual a C , y supongamos que μ  : D → C es medible de Lebesgue y satisface${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$. Entonces hay un homeomorfismo cuasiconforme f de D al disco unitario que está en el espacio de Sobolev W ^1,2 ( D ) y satisface la ecuación de Beltrami correspondiente ( 1 ) en el sentido distribucional . Al igual que con el teorema de mapeo de Riemann, este f es único salvo 3 parámetros reales.

Recientemente, la geometría cuasiconforme ha atraído la atención de diversos campos, como las matemáticas aplicadas, la visión por computadora y la imagen médica. Se ha desarrollado la geometría cuasiconforme computacional, que extiende la teoría cuasiconforme a un entorno discreto. Ha encontrado diversas aplicaciones importantes en el análisis de imágenes médicas, la visión por computadora y los gráficos. ^{[ 1 ]}

• Coordenadas isotérmicas
• Mapa cuasiregular
• función pseudoanalítica
• Espacio Teichmüller
• La indicatriz de Tissot

• Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (en alemán), 65 (1): 157– 194, doi : 10.1007/BF02420945 , ISSN 0001-5962 , JFM 61.0365.03 , Zbl 0012.17204   .
• Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings , University Lecture Series, vol.  38 (2.ª  ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3644-6, MR 2241787 , Zbl 1103.30001  , (reseñas de la primera edición: MR 0200442 , Zbl 1103.30001 ).  
• Bers, Lipman (1977), "Aplicaciones cuasiconformes, con aplicaciones a ecuaciones diferenciales, teoría de funciones y topología", Bulletin of the American Mathematical Society , 83 (6): 1083–1100 , doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14390-5 , MR 0463433 .
• Caraman, Petru (1974) [1968],n –Mapeos dimensionales cuasiconformales (QCf) (edición revisada  ), București / Tunbridge Wells, Kent : Editura Academiei / Abacus Press, p.  553, ISBN 0-85626-005-3, MR 0357782 , Zbl 0342.30015  .
• Grötzsch, Herbert (1928), "Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (en alemán), 80 : 367– 376, 497– 502, JFM 54.0378.01 .
• Heinonen, Juha (diciembre de 2006), "¿Qué es... una aplicación cuasiconforme?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (11): 1334–1335 , MR 2268390 , Zbl 1142.30322  .
• Jones, Gareth Wyn; Mahadevan, L. (2013), "Morfometría planar, cizallamiento y mapeos cuasiconformes óptimos", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 469 (2153) 20120653, Bibcode : 2013RSPSA.46920653J , doi : 10.1098/rspa.2012.0653 , ISSN 1364-5021 .
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Mapeos cuasiconformes en el plano , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.  126 (2ª  ed.), Berlín–Heidelberg–Nueva York: Springer Verlag , págs.  VIII+258, ISBN 3-540-03303-3, MR 0344463 , Zbl 0267.30016  (también disponible como ISBN) 0-387-03303-3).
• Morrey, Charles B. Jr. (1938), "Sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales", Transactions of the American Mathematical Society , 43 (1): 126– 166, doi : 10.2307/1989904 , JFM 62.0565.02 , JSTOR 1989904 , MR 1501936 , Zbl 0018.40501    .
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826 . 
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2524085 . 
• Weber, Ofir; Myles, Ashish; Zorin, Denis (2012), "Cálculo de mapas cuasiconformes extremales", Computer Graphics Forum , 31 (5), Wiley : 1679–1689 , doi : 10.1111/j.1467-8659.2012.03173.x
• Zorich, VA (2001) [1994], "Mapeo cuasiconforme" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.