espacio proyectivo cuaterniónico

El espacio${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$, definido como la unión de todos los elementos finitos${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$'s bajo inclusión, es el espacio de clasificación BS ³ . Los grupos de homotopía de${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$son dados por${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$Se sabe que estos grupos son muy complejos y, en particular, son distintos de cero para infinitos valores de${\displaystyle i}$Sin embargo, tenemos eso.

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

De ello se deduce que racionalmente, es decir, después de la localización de un espacio ,${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$es un espacio de Eilenberg-Maclane${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$. Eso es${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$(cf. el ejemplo K(Z,2) ). Véase la teoría de la homotopía racional .

En general,${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$tiene una estructura celular con una célula en cada dimensión que es un múltiplo de 4, hasta${\displaystyle 4n}$. En consecuencia, su anillo de cohomología es${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$, dónde${\displaystyle v}$es un generador de 4 dimensiones. Esto es análogo al espacio proyectivo complejo. También se deduce de la teoría de la homotopía racional que${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$tiene grupos homotópicos infinitos solo en dimensiones 4 y${\displaystyle 4n+3}$.

Desde${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$Su fibrado tangente es establemente trivial. Los fibrados tangentes del resto tienen clases de Stiefel-Whitney y Pontryagin no triviales . Las clases totales vienen dadas por las siguientes fórmulas:

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

dónde${\displaystyle v}$es el generador de${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$y${\displaystyle u}$es su reducción módulo 2. ^{[ 2 ]}

El espacio proyectivo unidimensional sobre${\displaystyle \mathbb {H} }$Se denomina "línea proyectiva" en generalización de la línea proyectiva compleja . Por ejemplo, fue utilizada (implícitamente) en 1947 por P.G. Gormley para extender el grupo de Möbius al contexto de los cuaterniones con transformaciones fraccionarias lineales . Para las transformaciones fraccionarias lineales de un anillo asociativo con 1, véase línea proyectiva sobre un anillo y el grupo de homografía GL(2, A ).

Desde el punto de vista topológico, la línea proyectiva cuaterniónica es la 4-esfera, y de hecho estas son variedades difeomorfas . La fibración mencionada anteriormente proviene de la 7-esfera y es un ejemplo de fibración de Hopf .

Las expresiones explícitas para las coordenadas de la 4-esfera se pueden encontrar en el artículo sobre la métrica de Fubini-Study .

El sistema de 8 dimensiones${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$tiene una acción circular , por el grupo de escalares complejos de valor absoluto 1 que actúan en el otro lado (es decir, a la derecha, como la convención para la acción de c anterior es a la izquierda). Por lo tanto, la variedad cociente

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

puede tomarse, escribiendo U(1) para el grupo circular . Se ha demostrado que este cociente es la 7- esfera , un resultado de Vladimir Arnold de 1996, redescubierto posteriormente por Edward Witten y Michael Atiyah .