Acción grupal de mentiras

En geometría diferencial , una acción de grupo de Lie es una acción de grupo adaptada al entorno suave:${\displaystyle G}$es un grupo mentiroso ,${\displaystyle M}$es una variedad diferenciable y el mapa de acciones es diferenciable .

Dejar${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$ser una acción grupal (izquierda) de un grupo de mentiras${\displaystyle G}$en un colector liso${\displaystyle M}$; se denomina acción de grupo de mentira (o acción suave) si el mapa${\displaystyle \sigma }$es diferenciable. Equivalentemente, una acción de grupo de Lie de${\displaystyle G}$en${\displaystyle M}$consiste en un homomorfismo de grupo de Lie${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$. Una variedad suave dotada de una acción de grupo de Lie también se denomina${\displaystyle G}$-múltiple .

Para cada grupo de mentiras${\displaystyle G}$Las siguientes son acciones del grupo Lie:

• la acción trivial de${\displaystyle G}$en cualquier colector;
• la acción de${\displaystyle G}$sobre sí mismo por multiplicación izquierda, multiplicación derecha o conjugación ;
• la acción de cualquier subgrupo de Mentira${\displaystyle H\subseteg G}$en${\displaystyle G}$por multiplicación izquierda, multiplicación derecha o conjugación;

• la acción adjunta de${\displaystyle G}$en su álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Otros ejemplos de acciones del grupo Lie incluyen:

• la acción de${\displaystyle \mathbb {R} }$en${\displaystyle M}$dado por el flujo de cualquier campo vectorial completo ;
• las acciones del grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$y de sus subgrupos de Lie${\displaystyle G\subseteq \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$mediante multiplicación de matrices;
• más generalmente, cualquier representación de grupo de Lie en un espacio vectorial ;
• cualquier acción de grupo hamiltoniano en una variedad simpléctica ;
• la acción transitiva subyacente a cualquier espacio homogéneo ;
• En términos más generales, la acción grupal subyacente a cualquier conjunto principal .

Siguiendo el espíritu de la correspondencia entre grupos de Lie y álgebra de Lie , las acciones de grupos de Lie también pueden estudiarse desde el punto de vista infinitesimal. De hecho, cualquier acción de grupo de Lie${\displaystyle \sigma :G\times M\to M}$induce una acción infinitesimal de álgebra de Lie sobre${\displaystyle M}$, es decir, un homomorfismo de álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$Intuitivamente, esto se obtiene diferenciando en la identidad el homomorfismo de grupos de Lie.${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$y la interpretación del conjunto de campos vectoriales${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$como el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita)${\displaystyle \mathrm {Diff} (M)}$.

Más precisamente, arreglar cualquier${\displaystyle x\in M}$, el mapa orbital${\displaystyle \sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x}$es diferenciable y se puede calcular su diferencial en la identidad.${\displaystyle e\in G}$. Si${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, luego su imagen debajo${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$es un vector tangente en${\displaystyle x}$y variables${\displaystyle x}$uno obtiene un campo vectorial en${\displaystyle M}$. El negativo de este campo vectorial, denotado por${\displaystyle X^{\#}}$, también se denomina campo vectorial fundamental asociado con${\displaystyle X}$(el signo menos garantiza que${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}}$es un homomorfismo de álgebra de Lie ).

Por el contrario, según el teorema de Lie-Palais , cualquier acción infinitesimal abstracta de un álgebra de Lie (de dimensión finita) sobre una variedad compacta puede integrarse a una acción de grupo de Lie. ^{[ 1 ]}

Una clase importante (y común) de acciones de grupos de Lie es la de las acciones propias . De hecho, tal condición topológica implica que

• los estabilizadores${\displaystyle G_{x}\subsetequ G}$son compactos
• las órbitas${\displaystyle G\cdot x\subsetequ M}$son subvariedades incrustadas
• el espacio orbital${\displaystyle M/G}$es Hausdorff

En general, si un grupo de mentiras${\displaystyle G}$es compacto, cualquier liso${\displaystyle G}$La acción es automáticamente apropiada. Un ejemplo de acción apropiada por un grupo de Lie no necesariamente compacto viene dado por la acción de un subgrupo de Lie.${\displaystyle H\subseteg G}$en${\displaystyle G}$.

Dado un grupo de acciones de mentiras${\displaystyle G}$en${\displaystyle M}$, el espacio orbital${\displaystyle M/G}$no admite en general una estructura múltiple. Sin embargo, si la acción es libre y propia, entonces${\displaystyle M/G}$tiene una estructura suave única tal que la proyección${\displaystyle M\to M/G}$es una inmersión (de hecho,${\displaystyle M\to M/G}$es un director${\displaystyle G}$-paquete). ^{[ 2 ]}

El hecho de que${\displaystyle M/G}$Hausdorff depende únicamente de la propiedad de la acción (como se discutió anteriormente); el resto de la afirmación requiere libertad y es una consecuencia del teorema de la rebanada . Si la condición de "acción libre" (es decir, "tener cero estabilizadores") se relaja a "tener estabilizadores finitos",${\displaystyle M/G}$se convierte en cambio en un orbifold (o pila de cocientes ).

• acción de grupo hamiltoniana
• Forma diferencial equivariante
• Representación de la isotropía

• Michele Audin, Acciones de toro en variedades simplécticas , Birkhauser, 2004
• John Lee, Introducción a las variedades diferenciables , capítulo 9, ISBN 978-1-4419-9981-8
• Frank Warner, Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , capítulo 3, ISBN 978-0-387-90894-6