QED

QED o QED es un acrónimo de la frase latina quod erat demonstrandum , que significa "aquello que debía demostrarse". Literalmente, indica "lo que debía demostrarse". ^[1] Tradicionalmente, la abreviatura se coloca al final de las pruebas matemáticas y los argumentos filosóficos en publicaciones impresas, para indicar que la prueba o el argumento están completos.

La frase quod erat demonstrandum es una traducción al latín del griego ὅπερ ἔδει δεῖξαι ( hoper edei deixai ; abreviado como ΟΕΔ ). El significado de la frase latina es "aquella [cosa] que debía demostrarse" (con demonstrandum en el gerundivo ). Sin embargo, traducir la frase griega ὅπερ ἔδει δεῖξαι puede producir un significado ligeramente diferente. En particular, dado que el verbo "δείκνυμι" significa tanto mostrar como probar , ^[2] una traducción diferente de la frase griega sería "La misma cosa que se requería haber demostrado". ^[3]

La frase griega fue utilizada por muchos de los primeros matemáticos griegos, incluidos Euclides ^[4] y Arquímedes .

La frase latina está atestiguada en una traducción de Euclides de 1501 de Giorgio Valla . ^[5] Su abreviatura qed es utilizada una vez en 1598 por Johannes Praetorius , ^[6] más en 1643 por Anton Deusing , ^[7] ampliamente en 1655 por Isaac Barrow en la forma QED , ^[8] y posteriormente por muchos matemáticos y filósofos postrenacentistas . [ ^9]

Durante el Renacimiento europeo, los eruditos solían escribir en latín y se utilizaban frases como QED para concluir las pruebas.

Tal vez el uso más famoso de la QED en un argumento filosófico se encuentra en la Ética de Baruch Spinoza , publicada póstumamente en 1677. ^[11] Escrita en latín, muchos la consideran la obra magna de Spinoza . El estilo y el sistema del libro están, como dice Spinoza, "demostrado en orden geométrico ", con axiomas y definiciones seguidos de proposiciones . Para Spinoza, esto es una mejora considerable respecto del estilo de escritura de René Descartes en las Meditaciones , que sigue la forma de un diario . ^[12]

Existe otra frase latina con un significado ligeramente diferente, generalmente abreviada de manera similar, pero que es menos común en su uso. Quod erat faciendum , que se origina del geómetra griego ὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( hoper edei poiēsai ), que significa "lo que tenía que hacerse". ^[13] Debido a la diferencia de significado, las dos frases no deben confundirse.

Euclides utilizó el original griego de Quod Erat Faciendum (QEF) para cerrar proposiciones que no eran pruebas de teoremas, sino construcciones de objetos geométricos. ^[14] Por ejemplo, la primera proposición de Euclides que muestra cómo construir un triángulo equilátero , dado un lado, se concluye de esta manera. ^[15]

No existe un equivalente formal común en inglés, aunque el final de una prueba puede anunciarse con una declaración simple como "así queda probado", "esto completa la prueba", "como se requiere", "como se desea", "como se esperaba", "por lo tanto probado", "ergo", "tan correcto" u otras frases similares.

Debido a la importancia primordial de las demostraciones en matemáticas , los matemáticos desde la época de Euclides han desarrollado convenciones para demarcar el comienzo y el final de las demostraciones. En los textos impresos en inglés, los enunciados formales de teoremas , lemas y proposiciones se escriben en cursiva por tradición. El comienzo de una demostración suele seguir inmediatamente después y se indica con la palabra "prueba" en negrita o cursiva. Por otro lado, existen varias convenciones simbólicas para indicar el final de una demostración.

Aunque algunos autores siguen utilizando la abreviatura clásica, QED, es relativamente poco común en los textos matemáticos modernos. Paul Halmos afirma haber sido pionero en el uso de un cuadrado (o rectángulo) negro sólido al final de una prueba como símbolo QED, ^[16] una práctica que se ha vuelto estándar, aunque no universal. Halmos señaló que adoptó este uso de un símbolo de las costumbres tipográficas de las revistas en las que se habían utilizado formas geométricas simples para indicar el final de un artículo, las llamadas marcas finales . ^{[17] [18]} Este símbolo fue llamado más tarde lápida , símbolo de Halmos o incluso halmos por los matemáticos. A menudo, el símbolo de Halmos se dibuja en la pizarra para señalar el final de una prueba durante una conferencia, aunque esta práctica no es tan común como su uso en el texto impreso.

El símbolo de lápida aparece en TeX como el carácter (cuadrado relleno, \blacksquare) y, a veces, como un (cuadrado hueco, \square o \Box). ^[19] En el entorno de teorema AMS para LaTeX , el cuadrado hueco es el símbolo predeterminado de fin de prueba. Unicode proporciona explícitamente el carácter de "fin de prueba", U+220E (∎). Algunos autores usan otros símbolos Unicode para indicar el final de una prueba, incluidos ▮ (U+25AE, un rectángulo vertical negro) y ‣ (U+2023, una bala triangular). Otros autores han adoptado dos barras diagonales (//, ) o cuatro barras diagonales (////, ). ^[20] En otros casos, los autores han optado por segregar las pruebas tipográficamente, mostrándolas como bloques sangrados. ^[21]${\displaystyle \cuadrado negro}$${\displaystyle \cuadrado}$${\estilo de visualización //}$${\estilo de visualización ////}$

En la novela de Joseph Heller de 1961, Catch-22 , el capellán , tras recibir instrucciones de examinar una carta falsificada supuestamente firmada por él (que sabía que no había firmado), verificó que su nombre estaba de hecho allí. Su investigador respondió: "Entonces la escribió usted. QED". El capellán dijo que no la escribió él y que no era su letra, a lo que el investigador respondió: "Entonces firmó su nombre con la letra de otra persona otra vez". ^[22]

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