Truco de Rabinowitsch

En matemáticas , el truco de Rabinowitsch , introducido por JL Rabinowitsch (1929) , ^{[ 1 ]} es una forma corta de demostrar el caso general del Nullstellensatz de Hilbert a partir de un caso especial más sencillo (el llamado Nullstellensatz débil ), introduciendo una variable adicional.

El truco de Rabinowitsch es el siguiente.${\displaystyle K}$sea ​​un cuerpo algebraicamente cerrado . Supongamos que el polinomio${\displaystyle f}$en${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$desaparece siempre que todos los polinomios${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$desaparecen. Entonces los polinomios${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m},1-x_{0}f}$no tienen ceros comunes (donde hemos introducido una nueva variable)${\displaystyle x_{0}}$), por lo tanto, por el teorema de Nullstellensatz débil para${\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]}$generan el ideal de unidad de${\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]}$Dicho de otra manera, esto significa que hay polinomios.${\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$de tal manera que

${\displaystyle 1=g_{0}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})(1-x_{0}f(x_{1},\dots ,x_{n}))+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

como una igualdad de elementos del anillo polinomial${\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Desde${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$son variables libres , esta igualdad continúa manteniéndose si se sustituyen expresiones por algunas de las variables; en particular, se deduce de la sustitución${\displaystyle x_{0}=1/f(x_{1},\dots ,x_{n})}$eso

${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

como elementos del campo de las funciones racionales${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}$, el campo de fracciones del anillo polinomial${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$Además, las únicas expresiones que aparecen en los denominadores del lado derecho son:${\displaystyle f}$y poderes de${\displaystyle f}$, por lo que reescribir ese lado derecho para tener un denominador común da como resultado una igualdad en la forma

${\displaystyle 1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}}$

para algún número natural${\displaystyle r}$y polinomios${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Por eso

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

lo cual literalmente afirma que${\displaystyle f^{r}}$reside en el ideal generado por${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$Esta es la versión completa del Nullstellensatz para${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$.

• Brownawell, W. Dale (2001) [1994], "Rabinowitsch trick" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Rabinowitsch, JL (1929), "Zum Hilbertschen Nullstellensatz", Matemáticas. Ana. (en alemán), 102 (1): 520, doi : 10.1007/BF01782361 , SEÑOR 1512592