El teorema de los ceros de Hilbert

En matemáticas , el Nullstellensatz de Hilbert (en alemán, "teorema de los ceros" o, más literalmente, "teorema del lugar geométrico de los ceros") es un teorema que establece una relación fundamental entre la geometría y el álgebra . Fue demostrado por David Hilbert en su segundo artículo importante sobre teoría de invariantes en 1893 (tras su artículo fundamental de 1890 en el que demostró el teorema de la base de Hilbert ) y se convirtió en un resultado fundamental de la geometría algebraica .

Existen varias formulaciones del Nullstellensatz, la más elemental de las cuales trata sobre las condiciones para la existencia de soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas multivariables sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (como los números complejos).${\displaystyle \mathbb {C} }$). El Nullstellensatz débil es un corolario (o un lema , dependiendo de cuál se demuestre primero) del Nullstellensatz que se puede enunciar de la siguiente manera. ^{[ 1 ]} Consideremos un sistema de ecuaciones polinómicas

$${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\end{cases}}}$$

en las variables${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, dónde${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$son polinomios multivariados sobre un cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle K}$Si el sistema no tiene una solución${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$, entonces hay una "razón algebraica" para esta situación: a saber, esto ocurre precisamente cuando existen polinomios${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$de tal manera que

$${\displaystyle g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}=1.}$$

Dado que la expresión del lado izquierdo debe evaluarse a 0 en cualquier${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$Si se cumple esta condición, resulta obvio, a partir de la inconsistencia, que no puede existir ninguna solución. De manera informal, el teorema de la solución nula (débil) afirma que, en ausencia de dicha inconsistencia, debe existir una solución para el sistema de ecuaciones.

El Nullstellensatz completo es el siguiente refinamiento: Si${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$es un polinomio tal que cada solución del sistema de ecuaciones es también una solución de

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}$$

Entonces hay un tipo similar de "razón algebraica" para este suceso: esto ocurre precisamente cuando existe un número natural${\displaystyle r}$y polinomios${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$de tal manera que

$${\displaystyle f^{r}=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}.}$$

Sea k un cuerpo (como los números racionales ) y K una extensión de cuerpo algebraicamente cerrada de k (como los números complejos ). Consideremos el anillo de polinomios.${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y sea J un ideal en este anillo. El conjunto algebraico${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$definido por este ideal consiste en todas las n -tuplas${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$en${\displaystyle K^{n}}$de tal manera que${\displaystyle f(a)=0}$a pesar de${\displaystyle f\in J}$El teorema de los ceros de Hilbert establece que si p es un polinomio en${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$que se desvanece en el conjunto algebraico${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$, es decir,${\displaystyle p(a)=0}$a pesar de${\displaystyle a\in \mathrm {V} (J)}$, entonces existe un número natural${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle p^{r}\in J}$. ^{[ 2 ]}

Con la notación común en geometría algebraica, el Nullstellensatz se puede formular como

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

para cada J ideal en${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$con K algebraicamente cerrado. Aquí,${\displaystyle {\sqrt {J}}}$denota el radical de J (${\displaystyle p\in {\sqrt {J}}}$si y solo si${\displaystyle \exists r\in \mathbb {N} ,\ p^{r}\in J}$),${\displaystyle \mathrm {I} (U)}$es el ideal evanescente de U (el conjunto de polinomios que se anulan en los puntos de U ), y${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$es el lugar geométrico cero de J (el conjunto de puntos en los que los polinomios en J se anulan). La afirmación de que${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))\subseteq {\sqrt {J}}}$es equivalente a la primera formulación anterior con k = K algebraicamente cerrado, mientras que la inclusión opuesta es una consecuencia directa de las definiciones.

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil : Si J es un ideal propio en${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, entonces${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$no es vacío, es decir, para toda extensión algebraicamente cerrada${\displaystyle K\supseteq k}$, existe un cero común en${\displaystyle K^{n}}$para todos los polinomios en el ideal J. ^{[ 3} ] Esta es la razón del nombre del teorema, cuya versión completa se puede demostrar fácilmente a partir de la forma 'débil' utilizando el truco de Rabinowitsch ^. La suposición de considerar ceros comunes en un cuerpo algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo, los elementos del ideal propio.${\displaystyle (X^{2}+1)}$en${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$no tienen un cero común en${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Especializarse al caso de un solo polinomio cuando${\displaystyle K=\mathbb {C} }$y${\displaystyle n=1}$, se recupera inmediatamente una reformulación del teorema fundamental del álgebra : Un polinomio P en${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$tiene raíz en${\displaystyle \mathbb {C} }$si y solo si${\displaystyle \deg P\neq 0}$Por esta razón, el Nullstellensatz (débil) se aplica a${\displaystyle K=\mathbb {C} }$puede considerarse como una generalización del teorema fundamental del álgebra a sistemas de ecuaciones polinómicas multivariables. ^{[ 4 ]}

Tomando K como algebraicamente cerrado, el Nullstellensatz establece una correspondencia biyectiva de orden inverso entre los conjuntos algebraicos en${\displaystyle K^{n}}$y los ideales radicales de${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$De hecho, de forma más general, existe una conexión de Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde " cierre de Zariski " y "radical del ideal generado" son los operadores de cierre .

Como ejemplo particular, consideremos un conjunto algebraico que consta de un solo punto.${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$. Entonces${\displaystyle \mathrm {I} (\{a\})=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$es un ideal maximal. Recíprocamente, todo ideal maximal del anillo polinomial${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$(tenga en cuenta que${\displaystyle K}$es algebraicamente cerrado) es de la forma${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$para algunos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$Esta caracterización de ideales maximales de anillos polinomiales sobre cuerpos algebraicamente cerrados es otra formulación común del Nullstellensatz débil. Como otro ejemplo de esta correspondencia y una consecuencia del Nullstellensatz, se puede demostrar que un subconjunto algebraico W en${\displaystyle K^{n}}$es irreducible (en la topología de Zariski) si y solo si${\displaystyle \mathrm {I} (W)}$es un ideal primordial .

De manera más general, para cualquier J ideal en${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$,

${\displaystyle {\sqrt {J}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\supseteq J}{\mathfrak {m}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathrm {V} (J)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}),}$

donde la primera intersección se toma sobre ideales maximales${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq K[X_{1},...,X_{n}]}$Esta relación es otra formulación común del Nullstellensatz. (La primera igualdad se cumple para ideales en cualquier anillo de Jacobson , incluyendo cualquier álgebra finitamente generada sobre un cuerpo, mientras que la segunda igualdad se cumple para K algebraicamente cerrado ).

Existen numerosas demostraciones conocidas del teorema. Algunas son no constructivas , como la primera. Otras son constructivas, basadas en algoritmos para expresar 1 o p ^r como una combinación lineal de los generadores del ideal.

El Nullstellensatz está subsumido en un desarrollo sistemático de la teoría de los anillos de Jacobson , que son aquellos anillos en los que cada ideal radical es una intersección de ideales maximales. Dado el lema de Zariski, demostrar el Nullstellensatz equivale a demostrar que si k es un cuerpo, entonces toda k -álgebra finitamente generada R (necesariamente de la forma${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$) es Jacobson. De forma más general, se tiene el siguiente teorema:

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo Jacobson. Si${\displaystyle S}$es un álgebra R finitamente generada , entonces${\displaystyle S}$es un anillo Jacobson. Además, si${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$es un ideal máximo, entonces${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$es un ideal máximo de${\textstyle R}$, y${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$es una extensión finita de${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. ^{[ 8 ]}

Otras generalizaciones proceden de considerar el Nullstellensatz en términos de teoría de esquemas como decir que para cualquier campo k y k -álgebra R finitamente generada no nula , el morfismo${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$admite una sección étale-localmente (equivalentemente, después del cambio de base a lo largo de${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$para alguna extensión de campo finita${\textstyle L/k}$). En este sentido, se tiene el siguiente teorema:

Cualquier morfismo fielmente plano de esquemas${\textstyle f:Y\to X}$localmente de presentación finita admite una cuasi-sección , en el sentido de que existe un morfismo fielmente plano y localmente cuasi-finito.${\textstyle g:X'\to X}$localmente de presentación finita tal que el cambio de base${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$de${\textstyle f}$a lo largo de${\textstyle g}$admite una sección. ^{[ 9 ]} Además, si${\textstyle X}$es cuasicompacto (respectivamente, cuasicompacto y cuasiseparado ), entonces se puede tomar${\textstyle X'}$ser afín (resp.${\textstyle X'}$afín y${\textstyle g}$cuasifinito), y si${\textstyle f}$es suave sobreyectiva, entonces se puede tomar${\textstyle g}$ser étale . ^{[ 10 ]}

Serge Lang extendió el Nullstellensatz al caso de infinitos generadores:

Dejar${\textstyle \kappa }$sea ​​un cardinal infinito y deje que${\textstyle K}$sea ​​un cuerpo algebraicamente cerrado cuyo grado de trascendencia sobre su subcuerpo primo es estrictamente mayor que${\displaystyle \kappa }$. Entonces, para cualquier conjunto${\textstyle S}$de cardinalidad${\textstyle \kappa }$, el anillo de polinomios${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$satisface el Nullstellensatz, es decir, para cualquier ideal${\textstyle J\subset A}$tenemos eso${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$. ^{[ 11 ]}

En todas sus variantes, el Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertenece o no a un ideal generado, digamos, por f ₁ , ..., f _k ; tenemos g = f ^r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o la no existencia de polinomios g ₁ , ..., g _k tales que g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Las demostraciones usuales del Nullstellensatz no son constructivas, no efectivas, en el sentido de que no dan ninguna manera de calcular el g _i .

Por lo tanto, es bastante natural preguntarse si existe una forma efectiva de calcular g _i (y el exponente r en su forma fuerte) o de demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar una cota superior para el grado total de g _i : dicha cota reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que puede resolverse mediante técnicas habituales de álgebra lineal . Cualquier cota superior de este tipo se denomina teorema de Nullstellensatz efectivo .

Un problema relacionado es el problema de pertenencia a ideales , que consiste en comprobar si un polinomio pertenece a un ideal. Para este problema también, una cota superior del grado de g _i proporciona una solución . Una solución general del problema de pertenencia a ideales proporciona un Nullstellensatz efectivo, al menos para la formulación débil.

En 1925, Grete Hermann proporcionó una cota superior para el problema de pertenencia ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo donde los g _i tienen un grado que es al menos doblemente exponencial, demostrando que toda cota superior general para el problema de pertenencia ideal es doblemente exponencial en el número de variables.

Dado que la mayoría de los matemáticos de la época asumían que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la pertenencia a un ideal, pocos buscaron una cota mejor que la doble exponencial. Sin embargo, en 1987, W. Dale Brownawell dio una cota superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. ^{[ 12 ]} La demostración de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas solo en característica 0, pero, un año después, János Kollár dio una demostración puramente algebraica, válida en cualquier característica, de una cota ligeramente mejor.

En el caso del Nullstellensatz débil, la cota de Kollár es la siguiente: ^{[ 13 ]}

Sean f ₁ , ..., f _s polinomios en n ≥ 2 variables, de grado total d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Si existen polinomios g _i tales que f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , entonces se pueden elegir de tal manera que

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Este límite es óptimo si todos los grados son mayores que 2.

Si d es el máximo de los grados de f _i , esta cota puede simplificarse a

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

Una mejora debida a M. Sombra es ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Su límite mejora el de Kollár tan pronto como al menos dos de los grados involucrados sean menores que  3.

Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyectivo, llamada Nullstellensatz proyectivo , que es análoga a la afín. Para ello, introducimos algunas notaciones. Sea${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$El ideal homogéneo,

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

se denomina ideal homogéneo maximal (véase también ideal irrelevante ). Como en el caso afín, definimos: para un subconjunto${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$y un ideal homogéneo I de R ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

Por${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$queremos decir: para cada coordenada homogénea${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$de un punto S tenemos${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$. Esto implica que las componentes homogéneas de f también son cero en S y por lo tanto que${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$es un ideal homogéneo. Equivalentemente,${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$es el ideal homogéneo generado por polinomios homogéneos f que se anulan en S. Ahora bien, para cualquier ideal homogéneo${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$, por el teorema de Nullstellensatz habitual, tenemos:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

y así, como en el caso afín, tenemos: ^{[ 15 ]}

Existe una correspondencia biunívoca que invierte el orden entre los ideales radicales homogéneos propios de R y los subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$de la forma${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$La correspondencia se da por${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$y${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

El Nullstellensatz también es válido para los gérmenes de funciones holomorfas en un punto del espacio complejo n-dimensional .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Precisamente, para cada subconjunto abierto${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$denotemos el anillo de funciones holomorfas en U ; entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$es un haz en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$El tallo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$Por ejemplo, se puede demostrar que el origen es un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único .

Si${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$es un germen representado por una función holomorfa${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$, entonces deja${\displaystyle V_{0}(f)}$sea ​​la clase de equivalencia del conjunto

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

donde dos subconjuntos${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$se consideran equivalentes si${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$para algún vecindario U de 0. Nota${\displaystyle V_{0}(f)}$es independiente de la elección del representante${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$Para cada ideal${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$dejar${\displaystyle V_{0}(I)}$denotar${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$para algunos generadores${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$de I. Está bien definido; es decir, es independiente de la elección de los generadores.

Para cada subconjunto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$, dejar

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Es fácil ver que${\displaystyle I_{0}(X)}$es un ideal de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$y eso${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$si${\displaystyle X\sim Y}$en el sentido expuesto anteriormente.

El Nullstellensatz analítico establece entonces: ^{[ 16 ]} para cada ideal${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$,

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

donde el lado izquierdo es el radical de I.

En geometría algebraica clásica, la operación de lugar cero ('variedad') (V) se aplica a subconjuntos del anillo de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, mientras que la operación de ideal evanescente (I) se aplica a subconjuntos del espacio afín n- dimensional, cuyos puntos están en correspondencia biunívoca con los ideales maximales del anillo de polinomios mediante el teorema de Nullstellensatz débil (véase más arriba). En teoría de esquemas , V e I se generalizan y redefinen de manera que puedan aplicarse a subconjuntos de anillos conmutativos (unitarios) arbitrarios y sus espectros primos , respectivamente. En particular, para cualquier anillo conmutativo A , su conjunto de ideales primos ( espectro primo )${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$y subconjuntos${\displaystyle S\subset A}$y${\displaystyle X\subset \mathrm {Spec} \ A}$, establecimos

${\displaystyle \mathbb {V} (S)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A\mid {\mathfrak {p}}\supset S\}}$y${\displaystyle \mathbb {I} (X)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}{\mathfrak {p}}.}$

Entonces, para cualquier ideal${\displaystyle J\triangleleft A}$, un análogo formal del Nullstellensatz de Hilbert sostiene:

${\displaystyle \mathbb {I} (\mathbb {V} (J))=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {V} (J)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A,\ {\mathfrak {p}}\supset J}{\mathfrak {p}}={\sqrt {J}},}$

donde la última igualdad se deduce de una propiedad estándar de los ideales primos del álgebra conmutativa. ^{[ 17 ]} En analogía con los lugares de cero en la teoría clásica, el${\displaystyle \mathbb {V} (S)}$se utilizan para definir los conjuntos cerrados en la topología de Zariski de${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$. ^{[ 6 ]}

• Lema de Artin-Tate
• Nullstellensatz combinatorio
• Teorema de nulidad diferencial
• Real radical
• Las series de potencias restringidas#Álgebra de Tate , un análogo del Nullstellensatz de Hilbert, se cumplen para las álgebras de Tate.
• Krivine-Stengle Positivstellensatz
• Weierstrass Nullstellensatz

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• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Hilbert, David (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme" . Annalen Matemáticas . 42 (3): 313– 373. doi : 10.1007/BF01444162 .
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