Función de ambigüedad

En el procesamiento de señales de radar pulsado y sonar , una función de ambigüedad es una función bidimensional del retardo de propagación.${\displaystyle \tau }$y frecuencia Doppler${\displaystyle f}$,${\displaystyle \chi (\tau,f)}$Representa la distorsión de un pulso reflejado debido al filtro adaptado del receptor ^{[ 1 ]} (utilizado comúnmente, aunque no exclusivamente, en radares de compresión de pulsos ) del retorno de un objetivo en movimiento. La función de ambigüedad se define por las propiedades del pulso y del filtro, y no por ningún escenario de objetivo en particular.

Existen muchas definiciones de la función de ambigüedad; algunas se restringen a señales de banda estrecha y otras son adecuadas para describir la relación de retardo y Doppler de señales de banda ancha . A menudo, la definición de la función de ambigüedad se da como el cuadrado de la magnitud de otras definiciones (Weiss ^{[ 2 ]} ). Para un pulso de banda base complejo dado${\displaystyle s(t)}$, la función de ambigüedad de banda estrecha viene dada por

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi ft}\,dt}$

dónde${\displaystyle ^{*}}$denota el conjugado complejo y${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria . Tenga en cuenta que para desplazamiento Doppler cero (${\displaystyle f=0}$), esto se reduce a la autocorrelación de${\displaystyle s(t)}$. Una forma más concisa de representar la función de ambigüedad consiste en examinar los "cortes" unidimensionales de retardo cero y Doppler cero; es decir,${\displaystyle \chi (0,f)}$y ${\displaystyle \chi (\tau,0)}$, respectivamente. La salida del filtro adaptado en función del tiempo (la señal que se observaría en un sistema de radar) es un corte Doppler, con la frecuencia constante dada por el desplazamiento Doppler del objetivo:${\displaystyle \chi (\tau,f_{D})}$.

El equipo de radar Doppler pulsado emite una serie de pulsos de radiofrecuencia . Cada pulso tiene una forma determinada (forma de onda): duración del pulso, frecuencia, si la frecuencia cambia durante el pulso, etc. Si las ondas se reflejan en un solo objeto, el detector verá una señal que, en el caso más simple, es una copia del pulso original pero retrasada por un cierto tiempo.${\displaystyle \tau }$—relacionado con la distancia del objeto— y desplazado por una determinada frecuencia${\displaystyle f}$—relacionado con la velocidad del objeto ( desplazamiento Doppler ). Si la forma de onda del pulso emitido original es${\displaystyle s(t)}$, entonces la señal detectada (despreciando el ruido, la atenuación y la distorsión, y las correcciones de banda ancha) será:

${\displaystyle s_{\tau ,f}(t)\equiv s(t-\tau )e^{i2\pi ft}.}$

La señal detectada nunca será exactamente igual a ninguna${\displaystyle s_{\tau ,f}}$debido al ruido. Sin embargo, si la señal detectada tiene una alta correlación con${\displaystyle s_{\tau ,f}}$, para un cierto retardo y desplazamiento Doppler${\displaystyle (\tau ,f)}$, entonces eso sugiere que hay un objeto con${\displaystyle (\tau ,f)}$Desafortunadamente, este procedimiento puede generar falsos positivos , es decir, valores erróneos.${\displaystyle (\tau ',f')}$que, sin embargo, están altamente correlacionadas con la señal detectada. En este sentido, la señal detectada puede ser ambigua .

La ambigüedad se produce específicamente cuando hay una alta correlación entre${\displaystyle s_{\tau ,f}}$y${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$para${\displaystyle (\tau ,f)\neq (\tau ',f')}$Esto motiva la función de ambigüedad .${\displaystyle \chi }$. La propiedad definitoria de${\displaystyle \chi }$es que la correlación entre${\displaystyle s_{\tau ,f}}$y${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$es igual a${\displaystyle \chi (\tau -\tau ',ff')}$.

Diferentes formas de pulso (formas de onda)${\displaystyle s(t)}$tienen diferentes funciones de ambigüedad, y la función de ambigüedad es relevante al elegir qué pulso utilizar.

La función${\displaystyle \chi }$es de valor complejo; el grado de "ambigüedad" está relacionado con su magnitud.${\displaystyle |\chi (\tau,f)|^{2}}$.

La función de ambigüedad desempeña un papel fundamental en el campo del procesamiento de señales tiempo-frecuencia , ^{[ 3 ]} ya que está relacionada con la distribución de Wigner-Ville mediante una transformada de Fourier bidimensional . Esta relación es fundamental para la formulación de otras distribuciones tiempo-frecuencia : las distribuciones tiempo-frecuencia bilineales se obtienen mediante un filtrado bidimensional en el dominio de la ambigüedad (es decir, la función de ambigüedad de la señal). Esta clase de distribución puede adaptarse mejor a las señales consideradas. ^{[ 4 ]}

Además, la distribución de ambigüedad puede considerarse como la transformada de Fourier de corto tiempo de una señal, utilizando la propia señal como función de ventana . Esta observación se ha utilizado para definir una distribución de ambigüedad en el dominio tiempo-escala en lugar del dominio tiempo-frecuencia. ^{[ 5 ]}

La función de ambigüedad de banda ancha de${\displaystyle s\in L^{2}(R)}$es: ^{[ 2 ] [ 6 ]}

${\displaystyle WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt}$

dónde${\displaystyle {\alpha }}$es un factor de escala temporal de la señal recibida en relación con la señal transmitida, dado por:

${\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{cv}}}$

para un objetivo que se mueve con velocidad radial constante v . La reflexión de la señal se representa con compresión (o expansión) en el tiempo por el factor${\displaystyle \alpha }$, lo cual es equivalente a una compresión por el factor${\displaystyle \alpha ^{-1}}$en el dominio de la frecuencia (con escalado de amplitud). Cuando la velocidad de la onda en el medio es suficientemente mayor que la velocidad del objetivo, como suele ocurrir con el radar, esta compresión de frecuencia se aproxima con precisión mediante un desplazamiento de frecuencia Δf = f _c *v/c (conocido como desplazamiento Doppler ). Para una señal de banda estrecha, esta aproximación da como resultado la función de ambigüedad de banda estrecha mencionada anteriormente, que puede calcularse eficientemente mediante el algoritmo FFT .

Una función de ambigüedad de interés es una función delta de Dirac bidimensional o función de "chincheta"; es decir, una función que es infinita en (0,0) y cero en cualquier otro lugar.

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,}$

Una función de ambigüedad de este tipo sería un nombre un tanto inapropiado; no tendría ambigüedad alguna, y tanto el retardo cero como el corte Doppler cero serían un impulso . Esto no suele ser deseable (si un objetivo tiene algún desplazamiento Doppler con respecto a una velocidad desconocida, desaparecerá de la imagen del radar), pero si el procesamiento Doppler se realiza de forma independiente, el conocimiento de la frecuencia Doppler precisa permite realizar mediciones de distancia sin interferencia de otros objetivos que no se muevan exactamente a la misma velocidad.

Este tipo de función de ambigüedad se produce mediante ruido blanco ideal (de duración infinita y ancho de banda infinito). ^{[ 7 ]} Sin embargo, esto requeriría potencia infinita y no es físicamente realizable. No hay pulso${\displaystyle s(t)}$que producirá${\displaystyle \delta (\tau )\delta (f)}$a partir de la definición de la función de ambigüedad. Sin embargo, existen aproximaciones, y las señales similares al ruido, como las formas de onda moduladas por desplazamiento de fase binaria que utilizan secuencias de longitud máxima, son las que mejor se comportan en este sentido. ^{[ 8 ]}

(1) Valor máximo

${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}}$

(2) Simetría respecto al origen

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^{*}(-\tau ,-f)\,}$

(3) Invariancia de volumen

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d\tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}}$

(4) Modulación mediante una señal FM lineal

${\displaystyle {\text{If }}s(t)\rightarrow |\chi (\tau ,f)|{\text{ then }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{\rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,}$

(5) Espectro de energía de frecuencia

${\displaystyle S(f)S^{*}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

(6) Límites superiores para${\displaystyle p>2}$y límites inferiores para${\displaystyle p<2}$existen ^{[ 9 ]} para el${\displaystyle p^{th}}$integrales de potencia

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\,d\tau \,df}$.

Estos límites son precisos y se alcanzan si y solo si${\displaystyle s(t)}$es una función gaussiana .

Consideremos un pulso cuadrado simple de duración${\displaystyle \tau }$y amplitud${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A(u(t)-u(t-\tau ))\,}$

dónde${\displaystyle u(t)}$es la función escalón de Heaviside . La salida del filtro adaptado viene dada por la autocorrelación del pulso, que es un pulso triangular de altura${\displaystyle \tau ^{2}A^{2}}$y duración${\displaystyle 2\tau }$(el corte Doppler cero). Sin embargo, si el pulso medido presenta un desplazamiento de frecuencia debido al efecto Doppler, la salida del filtro adaptado se distorsiona y se convierte en una función sinc . Cuanto mayor sea el efecto Doppler, menor será el pico de la función sinc resultante y más difícil será detectar el objetivo.

En general, el pulso cuadrado no es una forma de onda deseable desde el punto de vista de la compresión de pulsos, porque la función de autocorrelación tiene una amplitud demasiado corta, lo que dificulta la detección de objetivos en el ruido, y una amplitud demasiado larga en el tiempo, lo que dificulta discernir múltiples objetivos superpuestos.

Un pulso de radar o sonar comúnmente utilizado es el pulso de modulación de frecuencia lineal (LFM) (o "chirp"). Tiene la ventaja de ofrecer un mayor ancho de banda, manteniendo una duración corta y una envolvente constante. Un pulso LFM de envolvente constante presenta una función de ambigüedad similar a la del pulso cuadrado, con la diferencia de que está sesgado en el plano retardo-Doppler. Las ligeras desadaptaciones Doppler del pulso LFM no alteran su forma general y reducen muy poco su amplitud, pero sí provocan un desplazamiento temporal. Por lo tanto, un desplazamiento Doppler no compensado modifica el alcance aparente del objetivo; este fenómeno se denomina acoplamiento alcance-Doppler.

La función de ambigüedad puede extenderse a radares multiestáticos, que comprenden múltiples transmisores y/o receptores no colocalizados (y pueden incluir radares biestáticos como caso especial).

Para este tipo de radares, la relación lineal simple entre tiempo y alcance que existe en el caso monoestático ya no es válida, sino que depende de la geometría específica, es decir, de la ubicación relativa del transmisor o transmisores, el receptor o receptores y el objetivo. Por lo tanto, la función de ambigüedad multiestática se define principalmente como una función de vectores de posición y velocidad bidimensionales o tridimensionales para una geometría multiestática y una forma de onda transmitida dadas.

Así como la función de ambigüedad monoestática se deriva naturalmente del filtro adaptado, la función de ambigüedad multiestática se deriva del detector multiestático óptimo correspondiente , es decir, aquel que maximiza la probabilidad de detección dada una probabilidad fija de falsa alarma mediante el procesamiento conjunto de las señales en todos los receptores. La naturaleza de este algoritmo de detección depende de si las fluctuaciones del objetivo observadas por cada par biestático dentro del sistema multiestático están correlacionadas entre sí. Si lo están, el detector óptimo realiza una suma coherente de fase de las señales recibidas, lo que puede resultar en una precisión de localización del objetivo muy alta. ^{[ 10 ]} Si no, el detector óptimo realiza una suma incoherente de las señales recibidas, lo que proporciona una ganancia de diversidad. Estos sistemas a veces se describen como radares MIMO debido a las similitudes teóricas de la información con los sistemas de comunicación MIMO . ^{[ 11 ]}

Un plano de función de ambigüedad puede considerarse como una combinación de un número infinito de líneas radiales.

Cada línea radial puede considerarse como la transformada fraccional de Fourier de un proceso aleatorio estacionario.

La función de ambigüedad (FA) son los operadores que están relacionados con la WDF .

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi tn}dt}$

(1)Si${\displaystyle x(t)=\exp[-\alpha \pi {(t-t_{0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{-\alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha }}}\exp \left[-\pi \left({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha }}\right)\right]\exp \left[j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}n)\right]}$

WDF y AF para la señal con solo 1 término

(2) Si${\displaystyle x(t)=\exp \left[-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t\right]+\exp \left[-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t\right]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$+

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=A_{x1}(\tau ,n)+A_{x2}(\tau ,n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{1}}}}\exp \left[-\pi \left({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}}\right)\right]\exp \left[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)\right]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{2}}}}\exp \left[-\pi \left({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}}\right)\right]\exp \left[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)\right]}$

Cuando${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}\exp \left[-\pi \left(\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}}\right)\right]\exp \left[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})\right]}$

dónde

• ${\displaystyle t_{u}=(t_{1}+t_{2}/2)}$,
• ${\displaystyle f_{u}=(f_{1}+f_{2})/2}$,
• ${\displaystyle \alpha _{u}=(\alpha _{1}+\alpha _{2})/2}$,
• ${\displaystyle t_{d}=t_{1}+t_{2}}$,
• ${\displaystyle f_{d}=f_{1}-f_{2}}$,
• ${\displaystyle \alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}}$

  ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

Cuando${\displaystyle \alpha _{1}}$≠${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}\exp \left[-\pi {\frac {[(n-f_{d})+j(\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2})-j\alpha _{d}\tau /2]^{2}}{2\alpha _{u}}}\exp[-\pi (\alpha _{1}(t_{1}-{\frac {\tau }{2}})^{2})+\alpha _{2}(t_{2}-{\frac {\tau }{2}})^{2})\right]\exp[j2\pi f_{u}\tau ]}$

• ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

WDF y AF para la señal con 2 términos Para la función de ambigüedad:

• El término auto siempre está cerca del origen.

• Filtro compatible
• Compresión por pulsos
• radar de pulsos Doppler
• Procesamiento digital de señales
• Philip Woodward

• Richards, Mark A. Fundamentos del procesamiento de señales de radar . McGraw-Hill Inc., 2005. ISBN 0-07-144474-2.
• Ipatov, Valery P. Espectro ensanchado y CDMA . Wiley & Sons, 2005. ISBN 0-470-09178-9
• Chernyak VS Fundamentos de los sistemas de radar multisitio , CRC Press, 1998.
• Solomon W. Golomb y Guang Gong . Diseño de señales para una buena correlación: para comunicaciones inalámbricas, criptografía y radar . Cambridge University Press, 2005.
• M. Soltanalian. Diseño de señales para detección activa y comunicaciones . Tesis doctorales de Uppsala, Facultad de Ciencias y Tecnología (publicadas por Elanders Sverige AB), 2014.
• Nadav Levanon y Eli Mozeson. Señales de radar. Wiley.com, 2004.
• Augusto Aubry, Antonio De Maio, Bo Jiang y Shuzhong Zhang. " Modelado de la función de ambigüedad para radar cognitivo mediante optimización cuártica compleja ". IEEE Transactions on Signal Processing 61 (2013): 5603-5619.
• Mojtaba Soltanalian y Petre Stoica. « Diseño computacional de secuencias con buenas propiedades de correlación ». IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180-2193.
• G. Krötzsch, MA Gómez-Méndez, Transformada Discreta de Ambigüedad, Revista Mexicana de Física, Vol. 63, págs.  505–515 (2017). " Transformada Discreta de Ambigüedad ".
• 2 Universidad Nacional de Taiwán, Análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica
• 3 Universidad Nacional de Taiwán, Análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica
• 4. Universidad Nacional de Taiwán, Análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet, 2021, Profesor Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica.