Transferencia radiactiva

La transferencia radiativa (también llamada transporte radiativo ) es el fenómeno físico de transferencia de energía en forma de radiación electromagnética . La propagación de la radiación a través de un medio se ve afectada por procesos de absorción , emisión y dispersión . La ecuación de transferencia radiativa describe matemáticamente estas interacciones. Las ecuaciones de transferencia radiativa tienen aplicaciones en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo óptica , astrofísica , ciencias atmosféricas y teledetección . Existen soluciones analíticas para la ecuación de transferencia radiativa (ETR) en casos sencillos, pero para medios más realistas, con complejos efectos de dispersión múltiple, se requieren métodos numéricos. El presente artículo se centra principalmente en la condición de equilibrio radiativo . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Definiciones

La magnitud fundamental que describe un campo de radiación se denomina radiancia espectral en términos radiométricos (en otros campos se suele llamar intensidad específica ). Para un elemento de área muy pequeño en el campo de radiación, puede haber radiación electromagnética que lo atraviese en ambos sentidos y en todas las direcciones espaciales. En términos radiométricos, el paso puede caracterizarse completamente por la cantidad de energía radiada en cada uno de los dos sentidos y en cada dirección espacial, por unidad de tiempo, por unidad de área de superficie de paso de la fuente, por unidad de ángulo sólido de recepción a una distancia determinada y por unidad de intervalo de longitud de onda considerado ( la polarización se ignorará por el momento).

En términos de la radiancia espectral, $I_{\nu }$ , la energía que fluye a través de un elemento de área de área $da$ ubicado en $\mathbf {r}$ a tiempo $dt$ en el ángulo sólido $d\Omega$ sobre la dirección ${\sombrero {\mathbf {n} }}$ en el intervalo de frecuencia $\nu \,$ a $\nu +d\nu \,$ es

$dE_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos \theta \ d\nu \,da\,d\Omega \,dt$

dónde $\theta$ es el ángulo que el vector de dirección unitaria ${\sombrero {\mathbf {n} }}$ Se realiza con una normal al elemento de área. Las unidades de la radiancia espectral se consideran energía/tiempo/área/ángulo sólido/frecuencia. En unidades MKS , esto sería W·m⁻² ^· sr⁻¹ ^· Hz⁻¹ ⁽ vatios por metro cuadrado-estereorradián-hercio).

La ecuación de transferencia radiativa

La ecuación de transferencia radiativa simplemente establece que, a medida que un haz de radiación viaja, pierde energía por absorción, gana energía mediante procesos de emisión y redistribuye energía por dispersión. La forma diferencial de la ecuación de transferencia radiativa es:

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial I_{\nu }}{\partial t}}+{\hat {\Omega }}\cdot \nabla I_{\nu }+\left(k_{\nu ,s}+k_{\nu ,a}\right)\rho I_{\nu }=j_{\nu }\rho +{\frac {k_{\nu ,s}\rho }{4\pi }}\int _{\Omega }I_{\nu }\,d\Omega$

dónde $c$ es la velocidad de la luz , $j_{\nu }$ es el coeficiente de emisión, $k_{\nu ,s}$ es la opacidad de dispersión, $k_{\nu ,a}$ es la opacidad de absorción, $\rho$ es la densidad de masa y la ${\textstyle {\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\int _{\Omega }I_{\nu }\,d\Omega }$ El término representa la radiación dispersada desde otras direcciones sobre una superficie.

Soluciones a la ecuación de transferencia radiativa

Las soluciones a la ecuación de transferencia radiativa constituyen un enorme corpus de trabajo. Sin embargo, las diferencias se deben esencialmente a las distintas formas de los coeficientes de emisión y absorción. Si se ignora la dispersión, entonces una solución general en estado estacionario en términos de los coeficientes de emisión y absorción puede escribirse como:

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(x)e^{-\tau _{\nu }(x,s)}\,dx$

dónde ${\ Displaystyle \ tau _ {\ nu} (s_ {1}, s_ {2})}$ es la profundidad óptica del medio entre posiciones $s_{1}$ y $s_{2}$ :

$\tau _{\nu }(s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds$

Equilibrio termodinámico local

Una simplificación particularmente útil de la ecuación de transferencia radiativa se produce bajo las condiciones de equilibrio termodinámico local (ETL). El equilibrio local puede aplicarse solo a un subconjunto específico de partículas del sistema. Por ejemplo, el ETL generalmente se aplica solo a partículas masivas. En un gas radiante, los fotones emitidos y absorbidos por el gas no necesitan estar en equilibrio termodinámico entre sí ni con las partículas masivas del gas para que exista el ETL.

En esta situación, el medio absorbente/emisor está compuesto por partículas masivas que se encuentran localmente en equilibrio entre sí y, por lo tanto, tienen una temperatura definible ( Ley Cero de la Termodinámica ). Sin embargo, el campo de radiación no está en equilibrio y está completamente determinado por la presencia de las partículas masivas. Para un medio en equilibrio termodinámico local (ETL), el coeficiente de emisión y el coeficiente de absorción son funciones únicamente de la temperatura y la densidad, y se relacionan mediante:

${\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)$

dónde $B_{\nu }(T)$ es la radiancia espectral del cuerpo negro a temperatura $T.$ La solución a la ecuación de transferencia radiativa es entonces:

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{\nu }(s_{\nu })e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(x))\,\alpha _{\nu }(x)\,e^{-\tau _{\nu }(x,s)}\,dx$

Conociendo el perfil de temperatura y el perfil de densidad del medio, basta con calcular una solución a la ecuación de transferencia radiativa.

La aproximación de Eddington

La aproximación de Eddington es distinta de la aproximación de dos flujos . La aproximación de dos flujos supone que la intensidad es constante con el ángulo en el hemisferio ascendente, con un valor constante diferente en el hemisferio descendente. La aproximación de Eddington, en cambio, supone que la intensidad es una función lineal de $\mu =\cos \theta$ , es decir,

$I_{\nu }(\mu ,z)=a(z)+\mu b(z)$ dónde $z$ es la dirección normal al medio en forma de lámina. Nótese que expresar las integrales angulares en términos de $\mu$ simplifica las cosas porque $d\mu =-\sin \theta \,d\theta$ aparece en el jacobiano de integrales en coordenadas esféricas . La aproximación de Eddington se puede utilizar para obtener la radiancia espectral en un medio "plano-paralelo" (uno en el que las propiedades solo varían en la dirección perpendicular) con dispersión isotrópica independiente de la frecuencia.

Extrayendo los primeros momentos de la radiancia espectral con respecto a $\mu$ rendimientos

${\begin{aligned}J_{\nu }&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}I_{\nu }\,d\mu =a,\\[1ex]H_{\nu }&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu I_{\nu }\,d\mu ={\frac {b}{3}},\\[1ex]K_{\nu }&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu ^{2}I_{\nu }\,d\mu ={\frac {a}{3}}\end{aligned}}$

Por lo tanto, la aproximación de Eddington es equivalente a establecer ${\textstyle K_{\nu }={\frac {1}{3}}J_{\nu }}$ También existen versiones de orden superior de la aproximación de Eddington, que consisten en relaciones lineales más complejas de los momentos de intensidad. Esta ecuación adicional puede utilizarse como relación de cierre para el sistema truncado de momentos.

Cabe señalar que los dos primeros momentos tienen significados físicos sencillos. $J_{\nu }$ es la intensidad isotrópica en un punto, y $H_{\nu }$ es el flujo a través de ese punto en el $z$ dirección.

La transferencia radiativa a través de un medio de dispersión isotrópica con coeficiente de dispersión $\sigma _{\nu }$ en equilibrio termodinámico local viene dado por $\mu {\frac {dI_{\nu }}{dz}}=-\alpha _{\nu }\left(I_{\nu }-B_{\nu }\right)+\sigma _{\nu }\left(J_{\nu }-I_{\nu }\right)$

Integrando sobre todos los ángulos se obtiene ${\frac {dH_{\nu }}{dz}}=\alpha _{\nu }\left(B_{\nu }-J_{\nu }\right)$ Premultiplicando por $\mu$ y luego integrando sobre todos los ángulos se obtiene ${\frac {dK_{\nu }}{dz}}=-\left(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu }\right)H_{\nu }$

Sustituyendo en la relación de cierre y diferenciando con respecto a $z$ permite combinar las dos ecuaciones anteriores para formar la ecuación de difusión radiativa. ${\frac {d^{2}J_{\nu }}{dz^{2}}}=3\alpha _{\nu }\left(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu }\right)\left(J_{\nu }-B_{\nu }\right)$

Esta ecuación muestra cómo la profundidad óptica efectiva en sistemas dominados por la dispersión puede ser significativamente diferente de la que proporciona la opacidad de dispersión si la opacidad de absorción es pequeña.

Véase también

Referencias

↑ S. Chandrasekhar (1960). Transferencia radiactiva . Dover Publications Inc. pág. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Jacqueline Lenoble (1985). Transferencia radiactiva en atmósferas dispersoras y absorbentes: procedimientos computacionales estándar . A. Deepak Publishing. pág. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.

Lecturas adicionales

Ivan Hubeny; Dimitri Mihalas (2015). Teoría de las atmósferas estelares: una introducción al análisis espectroscópico cuantitativo de no equilibrio astrofísico . Princeton University Press . pág. 944. ISBN 9780691163291.
Subrahmanyan Chandrasekhar ( 1960). Transferencia radiactiva . Dover Publications Inc. pág. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Jacqueline Lenoble (1985). Transferencia radiactiva en atmósferas dispersoras y absorbentes: procedimientos computacionales estándar . A. Deepak Publishing. pág. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.
Grant Petty (2006). Un primer curso sobre radiación atmosférica (2.ª ed.) . Sundog Publishing (Madison, Wisconsin). ISBN 978-0-9729033-1-8Archivado del original el 29/03/2013 . Consultado el 14/03/2012 .
Dimitri Mihalas ; Barbara Weibel-Mihalas (1984). Fundamentos de la hidrodinámica de la radiación . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-40925-2.
George B. Rybicki; Alan P. Lightman (1985). Procesos radiativos en astrofísica . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-82759-7.
GE Thomas y K. Stamnes (1999). Transferencia radiactiva en la atmósfera y el océano . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-40124-1.
C. Bohren (2006). Fundamentos de la radiación atmosférica: una introducción con 400 problemas . John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40503-9.
RT Pierrehumbert (2010). Principios del clima planetario . Cambridge University Press . ISBN 9780521865562.

[chandrasekhar-1] S. Chandrasekhar (1960). Transferencia radiactiva . Dover Publications Inc. pág. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[lenoble-2] Jacqueline Lenoble (1985). Transferencia radiactiva en atmósferas dispersoras y absorbentes: procedimientos computacionales estándar . A. Deepak Publishing. pág. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.

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