Radiódromo

En geometría , un radiodroma es un tipo específico de curva de seguimiento : la trayectoria descrita por un punto que se mueve continuamente hacia un objetivo en línea recta a velocidad constante. El término proviene del latín radius ( « rayo » o « radio » ) y del griego dromos ( « carrera » o « pista » ), lo que refleja la naturaleza radial del movimiento.

El ejemplo más clásico y reconocido es la llamada curva del perro , que describe la trayectoria de un perro nadando a través de un río hacia una liebre que se desplaza por la orilla opuesta. Debido a la corriente, el perro debe ajustar constantemente su rumbo, lo que resulta en una trayectoria más larga y curva. Este caso fue descrito por primera vez por el matemático e hidrógrafo francés Pierre Bouguer en 1732.

Las radiodromas se distinguen de otras curvas de persecución por la suposición de que el perseguidor siempre se dirige directamente hacia la posición actual del objetivo, mientras que el objetivo se mueve a velocidad constante a lo largo de una trayectoria recta.

Introduzca un sistema de coordenadas con origen en la posición del perro en el tiempo cero y con el eje y en la dirección en la que corre la liebre con velocidad constante V _t . La posición de la liebre en el tiempo cero es ( A _x , A _y ) con A _x > 0 y en el tiempo t es

El perro corre con velocidad constante V _d hacia la posición instantánea de la liebre.

La ecuación diferencial correspondiente al movimiento del perro, ( x ( t ), y ( t )) , es, por consiguiente,

Es posible obtener una expresión analítica en forma cerrada y = f ( x ) para el movimiento del perro. De ( 2 ) y ( 3 ), se deduce que

Multiplicando ambos lados por${\displaystyle T_{x}-x}$y tomando la derivada con respecto a x , usando que

uno consigue

o

De esta relación se deduce que

where B is the constant of integration determined by the initial value of y' at time zero, y' (0)= sinh(B − (V_t /V_d) lnA_x), i.e.,

From (8) and (9), it follows after some computation that

Furthermore, since y(0)=0, it follows from (1) and (4) that

If, now, V_t ≠ V_d, relation (10) integrates to

where C is the constant of integration. Since again y(0)=0, it's

The equations (11), (12) and (13), then, together imply

If V_t = V_d, relation (10) gives, instead,

Using y(0)=0 once again, it follows that

The equations (11), (15) and (16), then, together imply that

If V_t < V_d, it follows from (14) that

If V_t ≥ V_d, one has from (14) and (17) that ${\displaystyle \lim _{x\to A_{x}}y(x)=\infty }$, which means that the hare will never be caught, whenever the chase starts.

• Mice problem
• Tschirnhausen cubic, a special case of the radiodrome in which the pursuer moves twice as fast as its target

• Nahin, Paul J. (2012), Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12514-5.
• Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da universidade (ed.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables, vol. 2, Coimbra, p. 255{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)