Función tau de Ramanujan

En matemáticas , la función tau de Ramanujan , estudiada por Srinivasa Ramanujan , ^{[ 1 ]} es la función${\displaystyle \tau$ :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} } definido por

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

dónde${\displaystyle \phi }$es la función de Euler ,${\displaystyle \eta }$es la función eta de Dedekind ,${\displaystyle \Delta (z)}$es el discriminante modular y${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$con${\displaystyle \mathrm {Im} (z)>0}$.

Los primeros valores de la función tau se muestran en la siguiente tabla (secuencia A000594 en la OEIS ) :

Calcular esta función sobre un número cuadrado impar produce un número impar, mientras que para cualquier otro número la función produce un número par . ^{[ 2 ]}

Ramanujan conjeturó dos propiedades de${\displaystyle \tau (n)}$, ^{[ 1 ]} que puede reformularse de forma equivalente como:

• ${\displaystyle \mathop {\tau } (mn)=\mathop {\tau } (m)\mathop {\tau } (n)}$si${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son coprimos (es decir,${\displaystyle \tau (n)}$es una función multiplicativa )
• ${\displaystyle \tau (p^{r+1})=\mathop {\tau } (p)\mathop {\tau } (p^{r})-p^{11}\mathop {\tau } (p^{r-1})}$para${\displaystyle p}$principal y${\displaystyle r>0}$.

En conjunto, estas dos propiedades son equivalentes a la identidad.

${\displaystyle \mathop {\tau } (m)\mathop {\tau } (n)=\sum _{d|(m,n)}d^{11}\mathop {\tau } \left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),\quad m,n\geq 1.}$

Fueron demostradas por Louis Mordell utilizando lo que ahora se entiende como la teoría de los operadores de Hecke . ^{[ 3 ]} Ramanujan también conjeturó la tercera propiedad.$${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{\frac {11}{2}}}$$para todos los números primos${\displaystyle p}$, que se denomina la conjetura de Ramanujan . Suponiendo las dos primeras propiedades, Ramanujan observó que su conjetura es equivalente a la desigualdad

${\displaystyle |\tau (n)|\leq d(n)n^{\frac {11}{2}}}$

a pesar de${\displaystyle n\geq 1}$, dónde${\displaystyle d(n)}$es la función número de divisores . Nótese que la estimación más débil${\displaystyle \tau (n)=O(n^{6})}$es mucho más fácil de demostrar. La conjetura de Ramanujan fue probada por Pierre Deligne en 1974 como consecuencia de su prueba de las conjeturas de Weil .

Debido al discriminante modular${\textstyle \Delta (z)}$es una forma de cúspide de peso 12, da lugar a una${\displaystyle L}$-función , llamada de Ramanujan${\displaystyle L}$-función. Está definida para${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>13/2}$a través de la serie de Dirichlet

${\displaystyle L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}},}$

y debido a las dos primeras propiedades de${\displaystyle \tau (n)}$Arriba, tiene un producto de Euler.

${\displaystyle L(s,\Delta )=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},}$

válido para${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>13/2}$Satisface la ecuación funcional.

${\displaystyle (2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(s,\Delta )=(2\pi )^{-(12-s)}\Gamma (12-s)L(12-s,\Delta ),}$

lo que permite la continuación analítica de${\displaystyle L(s,\Delta )}$a todos los números complejos${\displaystyle s}$, convirtiéndola en una función completa . Ramanujan conjeturó que todos los ceros no triviales de${\displaystyle L(s,\Delta )}$tener parte real igual a${\displaystyle 6}$Este es un caso especial de la hipótesis de Gran Riemann . Robert Rankin demostró que${\displaystyle L(s,\Delta )}$no tiene ceros en la línea${\displaystyle \mathrm {Re} (s)=13/2}$.

Para${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, la función divisor${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$es la suma de la${\displaystyle k}$potencias de los divisores de${\displaystyle n}$. La función tau satisface varias relaciones de congruencia; muchas de ellas pueden expresarse en términos de${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$. Aquí hay algunos: ^{[ 4 ]}

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n){\pmod {2^{11}}}{\text{ for }}n\equiv 1{\pmod {8}}}$^{[ 5 ]}
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n){\pmod {2^{13}}}{\text{ for }}n\equiv 3{\pmod {8}}}$^{[ 5 ]}
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n){\pmod {2^{12}}}{\text{ for }}n\equiv 5{\pmod {8}}}$^{[ 5 ]}
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n){\pmod {2^{14}}}{\text{ for }}n\equiv 7{\pmod {8}}}$^{[ 5 ]}
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n){\pmod {3^{6}}}{\text{ for }}n\equiv 1{\pmod {3}}}$^{[ 6 ]}
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n){\pmod {3^{7}}}{\text{ for }}n\equiv 2{\pmod {3}}}$^{[ 6 ]}
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n){\pmod {5^{3}}}{\text{ for }}n\not \equiv 0{\pmod {5}}}$^{[ 7 ]}
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n){\pmod {7}}}$^{[ 8 ]}
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n){\pmod {7^{2}}}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6{\pmod {7}}}$^{[ 8 ]}
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n){\pmod {691}}.}$^{[ 9 ]}

Para números primos${\displaystyle p\neq 23}$, tenemos ^{[ 10 ] [ 11 ]}

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {23}}{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p){\pmod {23^{2}}}}$si${\displaystyle p}$es de la forma${\displaystyle a^{2}+23b^{2}}$^{[ 12 ]}
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1{\pmod {23}}{\text{ otherwise}}.}$

En 1972, Ian G. Macdonald demostró una fórmula explícita para la función tau de Ramanujan ^{[ 13 ].}$${\displaystyle \tau (n)={\frac {1}{1!\,2!\,3!\,4!}}\sum _{\begin{smallmatrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}=10n\\x_{i}\equiv i{\pmod {5}},\;i=1,\dots ,5\end{smallmatrix}}\prod _{1\leq i<j\leq 5}(x_{i}-x_{j}).}$$En 1975, Douglas Niebur demostró la fórmula ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i),}$

dónde${\displaystyle \sigma (n)}$es la función suma de divisores .

Supongamos que${\displaystyle f}$es un peso-${\displaystyle k}$nuevo formato entero cuyos coeficientes de Fourier${\displaystyle a(n)}$son números enteros. Consideremos el problema:

Dado que${\displaystyle f}$no tiene multiplicación compleja , casi todos los números primos${\displaystyle p}$tener la propiedad que${\displaystyle a(p)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ ¿

De hecho, la mayoría de los números primos deberían tener esta propiedad, y por eso se les llama ordinarios . A pesar de los grandes avances de Deligne y Serre en las representaciones de Galois , que determinan${\displaystyle a(n){\pmod {p}}}$para${\displaystyle n}$coprimo a${\displaystyle p}$No está claro cómo calcularlo${\displaystyle a(p){\pmod {p}}}$El único teorema al respecto es el famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que garantiza que hay infinitos números primos.${\displaystyle p}$de tal manera que${\displaystyle a(p)=0}$, que por lo tanto son congruentes con 0 módulo${\displaystyle p}$No se conocen ejemplos de no-CM${\displaystyle f}$con un peso mayor que 2 para el cual${\displaystyle a(p)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$para infinitos números primos${\displaystyle p}$(aunque debería ser cierto para casi todos)${\displaystyle p}$. Tampoco se conocen ejemplos con${\displaystyle a(p)\equiv 0{\pmod {p}}}$por infinitos${\displaystyle p}$Algunos investigadores habían comenzado a dudar de si${\displaystyle a(p)\equiv 0{\pmod {p}}}$por infinitos${\displaystyle p}$Como prueba, muchos proporcionaron el de Ramanujan.${\displaystyle \tau (p)}$(caso de peso 12). Las únicas soluciones hasta${\displaystyle 10^{10}}$a la ecuación${\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}}$son 2, 3, 5, 7, 2411 y7 758 337 633 (secuencia A007659 en el OEIS ) . ^{[ 15 ]}

Lehmer (1947) conjeturó que${\displaystyle \tau (n)\neq 0}$a pesar de${\displaystyle n}$, una afirmación a veces conocida como la conjetura de Lehmer . Lehmer verificó la conjetura para${\displaystyle n}$arriba a214 928 639 999 (Apostol 1997, p.  22). La siguiente tabla resume el progreso en la búsqueda de valores sucesivamente mayores de${\displaystyle N}$para los cuales esta condición se cumple para todos${\displaystyle n\leq N}$.