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Operador Hecke

En matemáticas , en particular en la teoría de formas modulares , un operador de Hecke , estudiado por Erich Hecke ( 1937a,1937b ) , es un cierto tipo de operador de "promedio" ...

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En matemáticas , en particular en la teoría de formas modulares , un operador de Hecke , estudiado por Erich Hecke ( 1937a,1937b ) , es un cierto tipo de operador de "promedio" que juega un papel significativo en la estructura de los espacios vectoriales de formas modulares y representaciones automórficas más generales . 

Descripción matemática

Los operadores de Hecke pueden realizarse en varios contextos. El significado más simple es combinatorio, es decir, tomar para un entero dadonorte{\displaystyle n}alguna funciónF(Λ){\textstyle f(\Lambda )}definido en las retículas de rango fijo a

∑F(Λ′){\displaystyle \sum f(\Lambda ')}

con la suma tomada sobre todos losΛ′{\textstyle \Lambda '}que son subgrupos deΛ{\textstyle \Lambda }índicenorte{\displaystyle n}. Por ejemplo, connorte=2{\textstyle n=2}y dos dimensiones, hay tres de talesΛ′{\textstyle \Lambda '}Las formas modulares son tipos particulares de funciones de una red, sujetas a condiciones que las convierten en funciones analíticas y homogéneas con respecto a las homotecias , así como a un crecimiento moderado en el infinito; estas condiciones se conservan mediante la suma, y ​​por lo tanto los operadores de Hecke conservan el espacio de formas modulares de un peso dado.

Otra forma de expresar los operadores de Hecke es mediante clases laterales dobles en el grupo modular . En el enfoque adélico contemporáneo , esto se traduce en clases laterales dobles con respecto a algunos subgrupos compactos.

Fórmula explícita

DejarMETROmetro{\textstyle M_{m}}ser el conjunto de2×2{\textstyle 2\times 2}matrices integrales con determinantemetro{\displaystyle m}yΓ=METRO1{\textstyle \Gamma =M_{1}}ser el grupo modular completoSL2(Z){\textstyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}Dado un formato modularF(z){\textstyle f(z)}de pesok{\displaystyle k}, elmetro{\displaystyle m}El operador de Hecke actúa según la fórmula

TmetroF(z)=metrok−1∑(abdod)∈Γ∖METROmetro(doz+d)−kF(az+bdoz+d),{\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),}

dóndez{\textstyle z}está en el semiplano superior y la constante de normalizaciónmetrok−1{\textstyle m^{k-1}}asegura que la imagen de una forma con coeficientes de Fourier enteros tenga coeficientes de Fourier enteros. Esto se puede reescribir en la forma

TmetroF(z)=metrok−1∑ad=metroa,d>01dk∑b(modd)F(az+bd),{\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\begin{smallmatrix}ad=m\\a,d>0\end{smallmatrix}}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),}

lo que lleva a la fórmula para los coeficientes de Fourier deTmetro(F(z))=∑b(norte)qnorte{\textstyle T_{m}(f(z))=\sum b(n)q^{n}}en términos de los coeficientes de Fourier deF(z)=∑a(norte)qnorte{\textstyle f(z)=\sum a(n)q^{n}}:

b(norte)=∑d|(metro,norte)dk−1a(metronorted2).{\displaystyle b(n)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}

Se puede ver a partir de esta fórmula explícita que los operadores de Hecke con diferentes índices conmutan y que sia(0)=0{\textstyle a(0)=0}entoncesb(0)=0{\textstyle b(0)=0}, por lo tanto el subespacioSk{\textstyle S_{k}}de formas de cúspide de pesok{\displaystyle k}se conserva mediante los operadores de Hecke. Si una forma de cúspide (distinta de cero)F{\displaystyle f}es una forma propia simultánea de todos los operadores de HeckeTmetro{\textstyle T_{m}}con valores propiosλmetro{\textstyle \lambda _{m}}entoncesa(metro)=λmetroa(1){\textstyle a(m)=\lambda _{m}a(1)}ya(1)≠1{\textstyle a(1)\neq 1}. Las formas propias de Hecke están normalizadas de modo quea(1)=0{\textstyle a(1)=0}, entonces

TmetroF=a(metro)F,a(metro)a(norte)=∑d|(metro,norte)dk−1a(metronorted2),metro,norte≥1.{\displaystyle T_{m}f=a(m)f,\quad a(m)a(n)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),\quad m,n\geq 1.}

Así, para las formas propias de Hecke cuspidales normalizadas de peso entero, sus coeficientes de Fourier coinciden con sus valores propios de Hecke.

Historia

Mordell ( 1917 ) empleó operadores de Hecke en formas modulares en un artículo sobre la forma cúspide especial de Ramanujan , adelantándose a la teoría general de Hecke ( 1937a, 1937b ) . Mordell demostró las relaciones de Hecke para la función tau de Ramanujan , lo que implica que es una función multiplicativa , una propiedad conjeturada por Ramanujan. La idea se remonta a trabajos anteriores de Adolf Hurwitz , quien trató correspondencias algebraicas entre curvas modulares que realizan algunos operadores de Hecke individuales.  

Álgebras de Hecke

Las álgebras de operadores de Hecke se llaman "álgebras de Hecke" y son anillos conmutativos . En la teoría clásica de formas modulares elípticas , los operadores de HeckeTnorte{\textstyle T_{n}}connorte{\textstyle n}Los operadores coprimos al nivel que actúan sobre el espacio de formas cúspides de un peso dado son autoadjuntos con respecto al producto interno de Petersson . Por lo tanto, el teorema espectral implica que existe una base de formas modulares que son autofunciones para estos operadores de Hecke. Cada una de estas formas básicas posee un producto de Euler . Más precisamente, su transformada de Mellin es la serie de Dirichlet que tiene productos de Euler con el factor local para cada primo.pag{\textstyle p}es la inversa del polinomio de Hecke , un polinomio cuadrático enpag−s{\textstyle p^{-s}}En el caso tratado por Mordell, el espacio de formas cúspides de peso 12 con respecto al grupo modular completo es unidimensional. De ello se deduce que la forma de Ramanujan tiene un producto de Euler y establece la multiplicatividad de la función tau de Ramanujan.τ(norte){\textstyle \tau (n)}.

Otros anillos matemáticos relacionados también se denominan "álgebras de Hecke", aunque a veces la conexión con los operadores de Hecke no resulta del todo evidente. Estas álgebras incluyen ciertos cocientes de las álgebras de grupo de grupos de trenzas . La presencia de esta álgebra de operadores conmutativos desempeña un papel importante en el análisis armónico de formas modulares y generalizaciones.

Véase también

Referencias