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Ramificación (matemáticas)

Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos en Y a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos en Y marcados con puntos, donde...

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Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos en Y a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos en Y marcados con puntos, donde las fibras constan de uno y dos puntos (marcados en negro), respectivamente . Se dice que el mapa f está ramificado en estos puntos de Y.

En geometría , la ramificación se refiere a la formación de ramas, como cuando la raíz cuadrada de los números complejos presenta dos ramas con signo opuesto. El término también se utiliza desde la perspectiva contraria (la convergencia de las ramas), como cuando una aplicación de recubrimiento degenera en un punto del espacio, produciéndose un colapso de las fibras de dicha aplicación.

La ramificación es el principal objeto de estudio en la teoría de la ramificación .

En análisis complejo

Utilizando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada

En el análisis complejo , el modelo básico puede tomarse como el mapeo z → z n en el plano complejo, cerca de z = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden n . Aparece, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de los mapeos sobre el género .      

En topología algebraica

En un mapa de recubrimiento, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; por lo tanto, la ramificación puede detectarse mediante alguna caída de ese valor. El mapeo z → z n muestra esto como un patrón local: si excluimos el 0, mirando 0 < | z | < 1, por ejemplo, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo mapeado sobre sí mismo por el n -ésimo mapa de potencia (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco la característica de Euler-Poincaré es 1, siendo n − 1 los puntos 'perdidos' cuando las n hojas se juntan en z = 0.      

En términos geométricos, la ramificación es algo que ocurre en codimensión dos (como la teoría de nudos y la monodromía ); dado que la codimensión dos real es la codimensión uno compleja , el ejemplo complejo local establece el patrón para variedades complejas de dimensiones superiores . En análisis complejo, las hojas no pueden simplemente plegarse a lo largo de una línea (una variable), o subespacio de codimensión uno en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar de ramificación en la base, conjunto de doble punto arriba) estará dos dimensiones reales por debajo de la variedad ambiente , y por lo tanto no la separará en dos "lados", localmente; habrá caminos que trazan alrededor del lugar de ramificación, tal como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier cuerpo , por analogía, también ocurre en codimensión uno algebraica.

En teoría algebraica de números

En extensiones algebraicas de los números racionales

En teoría algebraica de números, la ramificación significa factorizar un ideal primo en una extensión de manera que se obtengan algunos factores ideales primos repetidos. Es decir, seaOK{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}Sea el anillo de enteros de un cuerpo de números algebraicos.K{\displaystyle K}, ypag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}un ideal primordial deOK{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}Para una extensión de campoL/K{\displaystyle L/K}podemos considerar el anillo de los números enterosOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}(que es el cierre integral deOK{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}enL{\displaystyle L}), y el idealpagOL{\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}deOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}. Este ideal puede o no ser primo, pero para un número finito[L:K]{\displaystyle [L:K]}, tiene una factorización en ideales primos:

pag⋅OL=pag1mi1⋯pagkmik{\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}

donde elpagi{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}son ideales primordiales distintos deOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}. Entoncespag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}Se dice que se ramifica enL{\displaystyle L}simii>1{\displaystyle e_{i}>1}para algunosi{\displaystyle i}; de lo contrario esno ramificado . En otras palabras,pag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}se ramifica enL{\displaystyle L}si el índice de ramificaciónmii{\displaystyle e_{i}}es mayor que uno para algunospagi{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}. Una condición equivalente es queOL/pagOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}tiene un elemento nilpotente distinto de cero : no es un producto de cuerpos finitos . La analogía con el caso de la superficie de Riemann ya fue señalada por Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX.

La ramificación está codificada enK{\displaystyle K}por el discriminante relativo y enL{\displaystyle L}por la diferencia relativa . El primero es un ideal deOK{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}y es divisible porpag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}si y solo si algún idealpagi{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}deOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}divisorpag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}se ramifica. Este último es un ideal deOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}y es divisible por el ideal primopagi{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}deOL{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}precisamente cuandopagi{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}está ramificado.

La ramificación es suave cuando los índices de ramificaciónmii{\displaystyle e_{i}}son todos relativamente primos a la característica residual p depag{\displaystyle {\mathfrak {p}}}, de otro modo salvaje . Esta condición es importante en la teoría de módulos de Galois . Una extensión genéricamente étale finitaB/A{\displaystyle B/A}de dominios de Dedekind es manso si y solo si el rastroTran:B→A{\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}es sobreyectiva.

En los campos locales

El análisis más detallado de la ramificación en cuerpos numéricos puede llevarse a cabo utilizando extensiones de los números p-ádicos , ya que se trata de una cuestión local . En ese caso, se define una medida cuantitativa de la ramificación para extensiones de Galois , básicamente preguntando hasta qué punto el grupo de Galois desplaza los elementos del cuerpo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación , que materializa (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá del análogo geométrico.

En álgebra

En la teoría de la valoración , la teoría de la ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un cuerpo K a un cuerpo de extensión de K. Esto generaliza las nociones de la teoría algebraica de números, los cuerpos locales y los dominios de Dedekind.

En geometría algebraica

También existe una noción correspondiente de morfismo no ramificado en geometría algebraica. Esta sirve para definir morfismos étale .

DejarF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}ser un morfismo de esquemas. El soporte del haz cuasicoherenteΩincógnita/Y{\displaystyle \Omega _{X/Y}}se denomina locus de ramificación deF{\displaystyle f}y la imagen del locus de ramificación,F(Supp⁡Ωincógnita/Y){\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}, se llama el locus de ramificación deF{\displaystyle f}. SiΩincógnita/Y=0{\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}decimos queF{\displaystyle f}formalmente no está ramificado y siF{\displaystyle f}También es de presentación localmente finita, decimos queF{\displaystyle f}no está ramificado (ver Vakil 2017 ).

Véase también

Referencias

  • Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol.  322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR 1697859 . Zbl 0956.11021 .  
  • Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). El mar creciente: Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) . Recuperado el 5 de junio de 2019 .
  • "División y ramificación en cuerpos numéricos y extensiones de Galois" . PlanetMath .
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