Ideal diferente

En la teoría de números algebraicos , el ideal diferente (a veces simplemente el diferente ) se define para medir la (posible) falta de dualidad en el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos K , con respecto a la traza del cuerpo . Luego codifica los datos de ramificación para ideales primos del anillo de números enteros. Fue introducido por Richard Dedekind en 1882. ^{[1] [2]}

Si O _K es el anillo de números enteros de K , y tr denota la traza del campo desde K hasta el campo de números racionales Q , entonces

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}}$

es una forma cuadrática integral en O _K . Su discriminante como forma cuadrática no necesita ser +1 (de hecho esto sucede solo para el caso K = Q ). Defina el inverso diferente o codiferente ^{[3] [4]} o el módulo complementario de Dedekind ^[5] como el conjunto I de x ∈ K tal que tr( xy ) es un entero para todo y en O _K , entonces I es un ideal fraccionario de K que contiene a O _K . Por definición, el ideal diferente δ _K es el ideal fraccionario inverso I ⁻¹ : es un ideal de O _K .

La norma ideal de δ _K es igual al ideal de Z generado por el discriminante de campo D _K de  K .

La diferencia de un elemento α de K con polinomio mínimo f se define como δ(α) = f ′(α) si α genera el campo K (y cero en caso contrario): ^[6] podemos escribir

${\displaystyle \delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\ }$

donde α ^{( i )} recorren todas las raíces del polinomio característico de α excepto α mismo. ^[7] El ideal diferente se genera por los diferentes de todos los números enteros α en O _K . ^{[6] [8]} Esta es la definición original de Dedekind. ^[9]

La diferencia también se define para una extensión de grado finito de cuerpos locales . Desempeña un papel básico en la dualidad de Pontryagin para cuerpos p-ádicos .

La diferencia relativa δ _{L  /  K} se define de manera similar para una extensión de cuerpos numéricos L  /  K . La norma relativa de la diferencia relativa es entonces igual al discriminante relativo Δ _{L  /  K} . ^[10] En una torre de cuerpos L  /  K  /  F las diferencias relativas están relacionadas por δ _{L  /  F} = δ _{L  /  K} δ _{K  /  F} . ^{[5] [11]}

La diferencia relativa es igual al aniquilador del módulo diferencial relativo de Kähler : ^{[10] [12]}${\displaystyle \Omega _ {O_ {L}/O_ {K}}^{1}}$

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ para todos }}y\in O_{L}\}.}$

La clase ideal del relativo diferente δ _{L  /  K} es siempre un cuadrado en el grupo de clases de O _L , el anillo de enteros de L . ^[13] Puesto que el discriminante relativo es la norma del relativo diferente, es el cuadrado de una clase en el grupo de clases de O _K : ^[14] de hecho, es el cuadrado de la clase de Steinitz para O _L como un O _K -módulo. ^[15]

El relativo diferente codifica los datos de ramificación de la extensión de campo L  /  K . Un ideal primo p de K se ramifica en L si la factorización de p en L contiene un primo de L elevado a una potencia mayor que 1: esto ocurre si y solo si p divide al discriminante relativo Δ _{L  /  K} . Más precisamente, si

p = P ₁ ^{e (1)} ... P _k ^{e ( k )}

es la factorización de p en ideales primos de L entonces P _i divide al relativo diferente δ _{L  /  K} si y solo si P _i está ramificado, es decir, si y solo si el índice de ramificación e ( i ) es mayor que 1. ^{[11] [16]} El exponente preciso al que un primo ramificado P divide a δ se denomina exponente diferencial de P y es igual a e  − 1 si P está ligeramente ramificado : es decir, cuando P no divide a e . ^[17] En el caso en que P está muy ramificado, el exponente diferencial se encuentra en el rango de e a e  +  e ν _P (e) − 1. ^{[16] [18] [19]} El exponente diferencial se puede calcular a partir de los órdenes de los grupos de ramificación superiores para las extensiones de Galois: ^[20] $${\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}(|G_{i}|-1).}$$

La diferencia puede definirse para una extensión de cuerpos locales L  /  K . En este caso podemos tomar la extensión como simple , generada por un elemento primitivo α que también genera una base integral de potencia . Si f es el polinomio mínimo para α entonces la diferencia se genera por  f' (α).

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• Hecke, Erich (1981), Lecciones sobre la teoría de números algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 77, traducido por George U. Brauer; Jay R. Goldman; con la ayuda de R. Kotzen, Nueva York–Heidelberg–Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90595-2, Zbl  0504.12001
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