Interferometría de Ramsey

Una versión simplificada del método Rabi consiste en un haz de átomos, todos con la misma velocidad.${\displaystyle v}$y en la misma dirección, enviada a través de una zona de interacción de longitud${\displaystyle L}$. Los átomos son átomos de dos niveles con una energía de transición de${\displaystyle \hbar \omega _ {0}}$(esto se define aplicando un campo${\displaystyle \mathbf {B} _{\|}}$en una dirección de excitación${\displaystyle {\hat {z}}}$y por lo tanto${\displaystyle \omega _ {0}=\gamma |\mathbf {B} _ {\|}|}$, la frecuencia de Larmor ), y con un tiempo de interacción de${\displaystyle \tau =L/v}$en la zona de interacción. En la zona de interacción, un campo magnético oscilante monocromático${\displaystyle \mathbf {B} _ {\perp }\cos(\omega t)}$se aplica perpendicularmente a la dirección de excitación, y esto dará lugar a oscilaciones de Rabi entre | ↓ ⟩ y | ↑ ⟩ a una frecuencia de${\displaystyle \Omega _{\perp }=\gamma |\mathbf {B} _{\perp }|}$. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

El hamiltoniano en el marco giratorio (incluida la aproximación de onda giratoria ) es

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma _{z}}}+{\frac {\hbar \Omega _{\perp }}{2}}{\hat {\sigma _{x}}}.}$

La probabilidad de transición de | ↓ ⟩ y | ↑ ⟩ se puede encontrar a partir de este hamiltoniano y es

${\displaystyle P(\Delta ,v,L,\Omega _{\perp })={\frac {1}{1+\left({\frac {\Delta }{\Omega _{\perp }}}\right)^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {L}{2v}}{\sqrt {\Omega _{\perp }^{2}+\Delta ^{2}}}\right).}$

Esta probabilidad estará en su máximo cuando${\displaystyle \Omega _{\perp }\tau =\pi }$El ancho de línea${\displaystyle \delta }$de este${\displaystyle P(\Delta ,\Omega _{\perp })}$vs.${\displaystyle \Delta /\Omega _{\perp }}$determina la precisión de la medición. Porque${\displaystyle \delta \sim \Omega _{\perp }\sim \pi /\tau \sim \pi v/L}$, aumentando${\displaystyle \tau }$o${\displaystyle L}$y, en consecuencia, disminuyendo${\displaystyle \Omega _{\perp }}$para que su producto sea${\displaystyle \pi }$, la precisión de la medición aumenta; es decir, el pico de la gráfica se vuelve más estrecho.

En realidad, sin embargo, las inhomogeneidades como los átomos que tienen una distribución de velocidades o que existe una inhomogeneidad${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$Esto provocará que la forma de la línea se ensanche y conducirá a una menor precisión. Tener una distribución de velocidades significa tener una distribución de tiempos de interacción, y por lo tanto habría muchos ángulos a través de los cuales los vectores de estado cambiarían en la esfera de Bloch . Habría una longitud óptima en la configuración de Rabi que daría la mayor precisión, pero no sería posible aumentar la longitud.${\displaystyle L}$infinitamente y esperar una precisión cada vez mayor, como fue el caso en el modelo Rabi perfecto y simple. ^{[ 3 ]}

Ramsey mejoró el método de Rabi dividiendo la única zona de interacción en dos zonas de interacción muy cortas, aplicando cada una una${\displaystyle \pi /2}$pulso. Las dos zonas de interacción están separadas por una zona de no interacción mucho más larga. Al hacer que las dos zonas de interacción sean muy cortas, los átomos pasan mucho menos tiempo en presencia de los campos electromagnéticos externos que en el modelo de Rabi. Esto es ventajoso porque cuanto más tiempo estén los átomos en la zona de interacción, más inhomogeneidades (como un campo no homogéneo) conducen a una menor precisión en la determinación${\displaystyle \Delta }$La zona de no interacción en el modelo de Ramsey puede hacerse mucho más larga que la zona de interacción en el método de Rabi porque no hay campo perpendicular.${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$se aplica en la zona de no interacción (aunque todavía existe${\displaystyle \mathbf {B} _{\|}}$). ^{[ 2 ]}

La principal mejora del método de Ramsey radica en que la frecuencia de resonancia del pico principal representa un promedio de las frecuencias (e inhomogeneidades) en la región de no interacción entre las cavidades, mientras que con el método de Rabi las inhomogeneidades en la región de interacción provocan un ensanchamiento de la línea. Una ventaja adicional del método de Ramsey para transiciones de microondas u ópticas es que la región de no interacción puede ser mucho más larga que la región de interacción con el método de Rabi, lo que resulta en líneas más estrechas.

El hamiltoniano en el marco giratorio para las dos zonas de interacción es el mismo que el del método de Rabi, y en la zona de no interacción el hamiltoniano es solo el${\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}$término. Primero un${\displaystyle \pi /2}$Se aplica un pulso a los átomos en el estado fundamental, tras lo cual los átomos alcanzan la zona de no interacción y los espines precesan alrededor del eje z durante un tiempo ${\displaystyle T}$. Otro${\displaystyle \pi /2}$Se aplica un pulso y se mide la probabilidad; en la práctica, este experimento debe repetirse muchas veces, ya que una sola medición no será suficiente para determinar la probabilidad de medir cualquier valor (véase la descripción de la esfera de Bloch a continuación). Al aplicar esta evolución a átomos de una velocidad, se obtiene la probabilidad de encontrar el átomo en el estado excitado en función del desfase y el tiempo de vuelo.${\displaystyle T}$en la zona de no interacción es (tomando${\displaystyle |\Delta |\ll \Omega _{\perp }}$aquí)

${\displaystyle P(T,\Delta )=\cos ^{2}\left({\frac {\Delta T}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\Delta L}{2v}}\right).}$

Esta función de probabilidad describe las conocidas franjas de Ramsey .

Si hay una distribución de velocidades y un "pulso duro"${\displaystyle \left(|\Delta |\ll \Omega _{\perp }\right)}$se aplica en las zonas de interacción de manera que todos los espines de los átomos giren.${\displaystyle \pi /2}$En la esfera de Bloch, independientemente de si todos fueron excitados a la misma frecuencia de resonancia, las franjas de Ramsey se verán muy similares a las discutidas anteriormente. Si no se aplica un pulso duro, entonces se debe tener en cuenta la variación en los tiempos de interacción. ¿Qué resultados dan las franjas de Ramsey en una envolvente con la forma de la probabilidad del método de Rabi para átomos de una velocidad? El ancho de línea${\displaystyle \delta }$de las franjas en este caso es lo que determina la precisión con la que${\displaystyle \Delta }$se puede determinar y es

${\displaystyle \delta \sim {\frac {1}{T}}\sim {\frac {v}{L}}.}$

Al aumentar el tiempo de vuelo${\displaystyle T}$en la zona de no interacción, o equivalentemente aumentando la longitud${\displaystyle L}$En la zona de no interacción, el ancho de línea puede mejorarse sustancialmente, en un factor de 10 o más, en comparación con otros métodos. ^{[ 1 ]}

Debido a que el modelo de Ramsey permite un tiempo de observación más prolongado, se puede determinar con mayor precisión${\displaystyle \omega _{0}}$Esto es una formulación del principio de incertidumbre tiempo-energía: cuanto mayor sea la incertidumbre en el dominio del tiempo, menor será la incertidumbre en el dominio de la energía, o equivalentemente, en el dominio de la frecuencia . Dicho de otro modo, si dos ondas de frecuencia casi idéntica se superponen, será imposible distinguirlas si la resolución de nuestros ojos es mayor que la diferencia entre ambas. Solo después de un largo período de tiempo la diferencia entre las dos ondas será lo suficientemente grande como para diferenciarlas. ^{[ 3 ]}

Los primeros interferómetros de Ramsey utilizaban dos zonas de interacción separadas espacialmente, pero también es posible usar dos pulsos separados en el tiempo, siempre que sean coherentes. En el caso de pulsos separados en el tiempo, cuanto mayor sea el intervalo entre pulsos, más precisa será la medición. ^{[ 2 ]}

Un reloj atómico es fundamentalmente un oscilador cuya frecuencia${\displaystyle \omega }$se corresponde con la de una transición atómica de un átomo de dos niveles,${\displaystyle \omega _{0}}$El oscilador es el campo electromagnético externo paralelo en la zona de no interacción del interferómetro de Ramsey-Bordé. Midiendo la tasa de transición del estado excitado al estado fundamental, se puede ajustar el oscilador de modo que${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$al encontrar la frecuencia que produce la máxima tasa de transición. Una vez sintonizado el oscilador, el número de oscilaciones del mismo se puede contar electrónicamente para obtener un intervalo de tiempo determinado (por ejemplo, el segundo del SI , que equivale a 9.192.631.770 periodos de un átomo de cesio-133 ). ^{[ 2 ]}

Serge Haroche ganó el Premio Nobel de Física de 2012 (junto con David J. Wineland ^{[ 7 ]} ) por su trabajo sobre electrodinámica cuántica de cavidades (QED), en el que el grupo de investigación utilizó fotones de frecuencia de microondas para verificar la descripción cuántica de los campos electromagnéticos. ^{[ 8 ]} Fundamental para sus experimentos fue el interferómetro de Ramsey, que utilizaron para demostrar la transferencia de coherencia cuántica de un átomo a otro mediante la interacción con un modo cuántico en una cavidad. La configuración es similar a la de un interferómetro de Ramsey convencional, con la diferencia clave de que existe una cavidad cuántica en la zona de no interacción y la segunda zona de interacción tiene su fase de campo desplazada por una constante con respecto a la primera zona de interacción.

Si se envía un átomo al sistema en su estado fundamental${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$y tras atravesar la primera zona de interacción, el estado se convertiría en una superposición de estados fundamental y excitado.${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\downarrow \right\rangle +\left|\uparrow \right\rangle \right)}$, tal como sucedería con un interferómetro de Ramsey convencional. Luego pasa a través de la cavidad cuántica, que inicialmente contiene solo vacío, y luego se mide que es${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$o${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$. Un segundo átomo inicialmente en${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$Luego se envía a través de la cavidad y luego a través de la segunda zona de interacción de Ramsey con desplazamiento de fase. Si se mide que el primer átomo está en${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$, entonces la probabilidad de que el segundo átomo esté en${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$depende de la cantidad de tiempo entre el envío del primer y el segundo átomo. La razón fundamental de esto es que si se mide que el primer átomo está en${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$, entonces hay un único modo del campo electromagnético dentro de la cavidad que posteriormente afectará el resultado de la medición del segundo átomo. ^{[ 8 ]}

El problema que Bordé et al. ^{[ 5 ]} intentaban resolver en 1984 era el promedio de las franjas de Ramsey de átomos cuyas frecuencias de transición estaban en el rango óptico. Cuando esto sucedía, los desplazamientos Doppler de primer orden hacían que las franjas de Ramsey desaparecieran debido a la dispersión de frecuencias introducida. Su solución fue tener cuatro zonas de interacción de Ramsey en lugar de dos, cada zona consistía en una onda viajera pero aún aplicando una${\displaystyle \pi /2}$pulso. Las dos primeras ondas viajan en la misma dirección, y las dos siguientes viajan en la dirección opuesta a la de la primera y la segunda. Hay dos poblaciones que resultan de la interacción de los átomos primero con las dos primeras zonas y posteriormente con las dos siguientes. La primera población está formada por átomos cuya desfasación inducida por Doppler se ha cancelado, dando lugar a las conocidas franjas de Ramsey. La segunda está formada por átomos cuya desfasación inducida por Doppler se ha duplicado y cuyas franjas de Ramsey han desaparecido por completo (esto se conoce como el "eco de fotones estimulado hacia atrás", y su señal se anula después de integrar sobre todas las velocidades).

La geometría de interacción de dos pares de ondas que se propagan en direcciones opuestas, introducida por Bordé et al., permite una mejor resolución de la espectroscopia de frecuencias en el rango óptico, como las de Ca e I ₂ . ^{[ 5 ]}

Específicamente, sin embargo, el interferómetro de Ramsey-Bordé es un interferómetro atómico que utiliza esta geometría de cuatro ondas viajeras y el fenómeno del retroceso atómico. ^{[ 9 ]} En la notación de Bordé, | a ⟩ es el estado fundamental y | b ⟩ es el estado excitado. Cuando un átomo entra en cualquiera de las cuatro zonas de interacción, la función de onda del átomo se divide en una superposición de dos estados, donde cada estado se describe por una energía específica y un momento específico: | α,m _α ⟩ , donde α es a o b. El número cuántico m _α es el número de cuantos de momento de la luz.${\displaystyle \hbar |\mathbf {k} |}$que se han intercambiado desde el impulso inicial, donde${\displaystyle \mathbf {k} }$es el vector de onda del láser. Esta superposición se debe al intercambio de energía y momento entre el láser y el átomo en las zonas de interacción durante los procesos de absorción/emisión. Dado que inicialmente existe una onda atómica, después de que el átomo haya atravesado tres zonas, se encuentra en una superposición de ocho estados diferentes antes de alcanzar la zona de interacción final.

Al observar la probabilidad de transición a | b ⟩ después de que el átomo haya pasado por la cuarta zona de interacción, se encontraría una dependencia de la desintonización en forma de franjas de Ramsey, pero debido a la diferencia en dos trayectorias cuánticas. Después de integrar sobre todas las velocidades, solo hay dos trayectorias cuánticas de circuito cerrado que no se integran a cero, y esas son la trayectoria | a, 0 ⟩ y | b, –1 ⟩ y la trayectoria | a, 2 ⟩ y | b, 1 ⟩ , que son las dos trayectorias que conducen a intersecciones del diagrama en la cuarta zona de interacción. El interferómetro de onda atómica formado por cualquiera de estas dos trayectorias conduce a una diferencia de fase que depende tanto de parámetros internos como externos, es decir, depende de las distancias físicas que separan las zonas de interacción y del estado interno del átomo, así como de los campos externos aplicados. Otra forma de pensar en estos interferómetros en el sentido tradicional es que para cada trayectoria hay dos brazos, cada uno de los cuales está representado por el estado atómico.

Si se aplica un campo externo para rotar o acelerar los átomos, se producirá un desfase debido a la fase de De Broglie inducida en cada brazo del interferómetro, lo que se traducirá en un desplazamiento de las franjas de Ramsey. En otras palabras, el campo externo modificará los estados de momento, lo que dará lugar a un desplazamiento del patrón de franjas, el cual puede detectarse. Como ejemplo, apliquemos el siguiente hamiltoniano de un campo externo para rotar los átomos en el interferómetro:

${\displaystyle {\hat {H}}_{R}=-\mathbf {\Omega } \cdot \left({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\right).}$

Este hamiltoniano conduce a un operador de evolución temporal de primer orden en${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle {\hat {U}}_{R}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int dt'[\mathbf {\Omega } \times {\hat {\mathbf {r} }}(t')]\cdot [\mathbf {p_{0}} +m_{\alpha }\hbar \mathbf {k} ]\right).}$

Si${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$es perpendicular a${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}(t')}$, entonces el factor de fase de ida y vuelta para una oscilación viene dado por${\displaystyle \exp \left(2ik\Omega d^{2}/v\right)}$, dónde${\displaystyle d}$es la longitud de todo el aparato desde la primera zona de interacción hasta la zona de interacción final. Esto dará como resultado una probabilidad tal que

${\displaystyle P\propto \cos \left[\left(\Delta +{\frac {2\pi \Omega d}{\lambda }}+\phi \right){\frac {2d}{v}}\right],}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la transición atómica de dos niveles. Esta probabilidad representa un cambio de${\displaystyle \omega _{0}}$por un factor de

${\displaystyle \delta v={\frac {\Omega d}{\lambda }}.}$

Para un átomo de calcio en la superficie de la Tierra que gira a${\textstyle \Omega =\pi /12{\text{ hours}}}$, usando${\displaystyle 2d=21{\text{ cm}}}$y mirando el${\displaystyle \lambda =657.3{\text{ nm}}}$transición, el cambio en los márgenes sería${\displaystyle \delta v\approx 12{\text{ Hz}}}$, lo cual es un efecto medible.

Se puede calcular un efecto similar para el desplazamiento de las franjas de Ramsey causado por la aceleración de la gravedad. Los desplazamientos de las franjas invertirán su dirección si se invierten las direcciones de los láseres en las zonas de interacción, y el desplazamiento se cancelará si se utilizan ondas estacionarias.

El interferómetro de Ramsey-Bordé ofrece el potencial para mejorar las mediciones de frecuencia en presencia de campos externos o rotaciones. ^{[ 9 ]}