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Campo aleatorio

En física y matemáticas , un campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (generalmente un espacio multidimensional como R norte {\displaystyle \mathbb {...

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En física y matemáticas , un campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (generalmente un espacio multidimensional comoRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}). Es decir, es una funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}que toma un valor aleatorio en cada puntoincógnita∈Rnorte{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}(o algún otro dominio). A veces también se considera sinónimo de un proceso estocástico con alguna restricción en su conjunto de índices. Es decir, según las definiciones modernas, un campo aleatorio es una generalización de un proceso estocástico donde el parámetro subyacente ya no necesita ser un valor real o entero denominado "tiempo", sino que puede tomar valores que son vectores multidimensionales o puntos en alguna variedad . [ 1 ]

Definición formal

Dado un espacio de probabilidad(Ω,F,PAG){\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}Un campo aleatorio con valores en X es una colección de variables aleatorias con valores en X indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección

{Ft:t∈T}{\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}

donde cadaFt{\displaystyle F_{t}}es una variable aleatoria con valor X.

Ejemplos

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, el espacio euclidiano n - dimensional ). Supongamos que hay cuatro variables aleatorias,incógnita1{\displaystyle X_{1}},incógnita2{\displaystyle X_{2}},incógnita3{\displaystyle X_{3}}, yincógnita4{\displaystyle X_{4}}Se ubican en una cuadrícula bidimensional en los puntos (0,0), (0,2), (2,2) y (2,0), respectivamente. Supongamos que cada variable aleatoria puede tomar el valor de -1 o 1, y que la probabilidad de su valor depende de sus vecinos inmediatos. Este es un ejemplo sencillo de un campo aleatorio discreto.

En términos más generales, los valores cadaincógnitai{\displaystyle X_{i}}puede tomar podría estar definido sobre un dominio continuo. En cuadrículas más grandes, también puede ser útil pensar en el campo aleatorio como una variable aleatoria "con valores de función" como se describió anteriormente. En la teoría cuántica de campos la noción se generaliza a un funcional aleatorio , uno que toma valores aleatorios sobre un espacio de funciones .

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs , el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano . En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre los MRF y los campos aleatorios de Gibbs.

Propiedades de ejemplo

Un MRF exhibe la propiedad de Markov

PAG(incógnitai=incógnitai|incógnitaj=incógnitaj,i≠j)=PAG(incógnitai=incógnitai|incógnitaj=incógnitaj,j∈∂i),{\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}

para cada elección de valores(incógnitaj)j{\displaystyle (x_{j})_{j}}Aquí cada uno∂i{\displaystyle \partial _{i}}es el conjunto de vecinos de i{\displaystyle i}En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF viene dada por

PAG(incógnitai=incógnitai|∂i)=PAG(incógnitai=incógnitai,∂i)∑kPAG(incógnitai=k,∂i),{\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}

donde la suma (que puede ser una integral) se realiza sobre los posibles valores de k . A veces es difícil calcular esta cantidad con exactitud.

Aplicaciones

En las ciencias naturales , los valores en un campo aleatorio suelen estar correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, aquellos con índices contiguos) difieren menos que los valores más distantes. Este es un ejemplo de estructura de covarianza , de la cual se pueden modelar muchos tipos diferentes en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising, donde a veces las interacciones entre vecinos más cercanos se incluyen solo como una simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de los campos aleatorios es en la generación de gráficos por computadora, particularmente aquellos que imitan superficies naturales como el agua y la tierra . Los campos aleatorios también se han utilizado en modelos de suelo subsuperficial como en [ 2 ].

En neurociencia , particularmente en estudios de neuroimagen funcional relacionados con tareas mediante PET o fMRI , el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección de comparaciones múltiples para encontrar regiones con activación verdaderamente significativa. [ 3 ] De manera más general, los campos aleatorios pueden usarse para corregir el efecto de búsqueda en otros lugares en las pruebas estadísticas, donde el dominio es el espacio de parámetros que se está explorando. [ 4 ]

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático .

Campos aleatorios con valores tensoriales

Los campos aleatorios son de gran utilidad para estudiar procesos naturales mediante el método de Monte Carlo, en el que corresponden a propiedades que varían espacialmente de forma natural. Esto da lugar a campos aleatorios tensoriales en los que el elemento de volumen estadístico ( EVE ) desempeña un papel fundamental . Este elemento es una caja espacial sobre la que se pueden promediar las propiedades; cuando el EVE alcanza un tamaño suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (EVR) de la física del continuo determinista. El segundo tipo de campo aleatorio que aparece en las teorías del continuo son aquellos de cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas de cuerpo y de superficie, tensión, etc.). [ 5 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Vanmarcke, Erik (2010). Campos aleatorios: análisis y síntesis . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.
  2. ↑ Cárdenas, IC (2023). "Un enfoque bidimensional para cuantificar la incertidumbre estratigráfica a partir de datos de pozos utilizando campos aleatorios no homogéneos" . Ingeniería Geológica . doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
  3. ↑ Worsley, KJ; Evans, AC; Marrett, S.; Neelin, P. (noviembre de 1992). "Análisis estadístico tridimensional para estudios de activación del flujo sanguíneo cerebral en el cerebro humano" . Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism . 12 (6): 900– 918. doi : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . PMID 1400644 .  
  4. ↑ Vitells, Ofer; Gross, Eilam (2011). "Estimación de la significancia de una señal en una búsqueda multidimensional". Astroparticle Physics . 35 : 230–234 . arXiv : 1105.4355 . doi : 10.1016/j.astropartphys.2011.08.005 .
  5. ↑ Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Campos aleatorios con valores tensoriales para la física del continuo . Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

Lecturas adicionales

  • Adler, RJ y Taylor, Jonathan (2007). Campos aleatorios y geometría . Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
  • Besag, JE (1974). "Interacción espacial y análisis estadístico de sistemas reticulares". Journal of the Royal Statistical Society . Serie B. 36 (2): 192– 236. doi : 10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x .
  • Griffeath, David (1976). «Campos aleatorios». En Kemeny, John G .; Snell, Laurie ; Knapp, Anthony W. (eds.). Cadenas de Markov numerables (2.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
  • Davar Khoshnevisan (2002). Procesos multiparamétricos  : Una introducción a los campos aleatorios . Springer. ISBN 0-387-95459-7.