Aleatoriedad

En el uso común, la aleatoriedad es la aparente o real falta de patrones definidos o predictibilidad en la información. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Una secuencia aleatoria de eventos, símbolos o pasos a menudo no tiene orden y no sigue un patrón o combinación inteligible. Los eventos aleatorios individuales son, por definición, impredecibles, pero si hay una distribución de probabilidad conocida , la frecuencia de diferentes resultados en eventos repetidos (o "ensayos") es predecible. ^{[ nota 1 ]} Por ejemplo, al lanzar dos dados , el resultado de cualquier tirada particular es impredecible, pero una suma de 7 tenderá a ocurrir el doble de veces que 4. Desde esta perspectiva, la aleatoriedad no es azar; es una medida de la incertidumbre de un resultado. La aleatoriedad se aplica a los conceptos de azar, probabilidad y entropía de la información .

Los campos de las matemáticas, la probabilidad y la estadística utilizan definiciones formales de aleatoriedad, asumiendo generalmente la existencia de una distribución de probabilidad "objetiva". En estadística, una variable aleatoria es la asignación de un valor numérico a cada posible resultado de un espacio de eventos . Esta asociación facilita la identificación y el cálculo de las probabilidades de los eventos. Las variables aleatorias pueden aparecer en secuencias aleatorias . Un proceso aleatorio es una secuencia de variables aleatorias cuyos resultados no siguen un patrón determinista , sino una evolución descrita por distribuciones de probabilidad . Estos y otros conceptos son extremadamente útiles en la teoría de la probabilidad y en las diversas aplicaciones de la aleatoriedad .

La aleatoriedad se usa con mayor frecuencia en estadística para significar propiedades estadísticas bien definidas. Los métodos de Monte Carlo , que se basan en entradas aleatorias (como las de generadores de números aleatorios o generadores de números pseudoaleatorios ), son técnicas importantes en la ciencia, particularmente en el campo de la ciencia computacional . ^{[ 3 ]} Por analogía, los métodos cuasi-Monte Carlo usan generadores de números cuasialeatorios .

La selección aleatoria, cuando se asocia estrictamente con una muestra aleatoria simple , es un método para seleccionar elementos (a menudo llamados unidades) de una población donde la probabilidad de elegir un elemento específico es la proporción de esos elementos en la población. Por ejemplo, con un recipiente que contiene solo 10 canicas rojas y 90 azules, un mecanismo de selección aleatoria elegiría una canica roja con una probabilidad de 1/10. Un mecanismo de selección aleatoria que seleccionara 10 canicas de este recipiente no necesariamente resultaría en 1 roja y 9 azules. En situaciones donde una población consta de elementos distinguibles, un mecanismo de selección aleatoria requiere probabilidades iguales para que cualquier elemento sea elegido. Es decir, si el proceso de selección es tal que cada miembro de una población, por ejemplo, sujetos de investigación, tiene la misma probabilidad de ser elegido, entonces podemos decir que el proceso de selección es aleatorio. ^{[ 2 ]}

Según la teoría de Ramsey , la aleatoriedad pura (en el sentido de que no existe un patrón discernible) es imposible, especialmente para estructuras grandes. El matemático Theodore Motzkin sugirió que "si bien el desorden es más probable en general, el desorden completo es imposible". ^{[ 4 ]} Malinterpretar esto puede dar lugar a numerosas teorías de la conspiración . ^{[ 5 ]} Cristian S. Calude afirmó que "dada la imposibilidad de la verdadera aleatoriedad, el esfuerzo se dirige a estudiar los grados de aleatoriedad". ^{[ 6 ]} Se puede demostrar que existe una jerarquía infinita (en términos de calidad o fuerza) de formas de aleatoriedad. ^{[ 6 ]}

En la historia antigua, los conceptos de azar y aleatoriedad estaban entrelazados con el del destino. Muchos pueblos antiguos lanzaban dados para determinar el destino, y esto evolucionó posteriormente hacia juegos de azar. La mayoría de las culturas antiguas utilizaban diversos métodos de adivinación para intentar eludir el azar y el destino. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Más allá de la religión y los juegos de azar , la aleatoriedad se ha documentado en la sortigrafía desde al menos la antigua democracia ateniense en forma de kleroterion . ^{[ 9 ]}

La formalización de las probabilidades y el azar fue quizás realizada por primera vez por los chinos hace 3000 años. Los filósofos griegos discutieron extensamente sobre la aleatoriedad, pero solo en formas no cuantitativas. Fue recién en el siglo XVI cuando los matemáticos italianos comenzaron a formalizar las probabilidades asociadas con diversos juegos de azar. La invención del cálculo tuvo un impacto positivo en el estudio formal de la aleatoriedad. En la edición de 1888 de su libro La lógica del azar , John Venn escribió un capítulo sobre la concepción de la aleatoriedad que incluía su visión de la aleatoriedad de los dígitos de pi (π), utilizándolos para construir un paseo aleatorio en dos dimensiones. ^{[ 10 ]}

A principios del siglo XX se produjo un rápido crecimiento en el análisis formal de la aleatoriedad, a medida que se introdujeron diversos enfoques de los fundamentos matemáticos de la probabilidad. A mediados y finales del siglo XX, las ideas de la teoría de la información algorítmica introdujeron nuevas dimensiones en el campo mediante el concepto de aleatoriedad algorítmica .

Si bien durante muchos siglos la aleatoriedad se consideró un obstáculo y una molestia, en el siglo XX los informáticos comenzaron a comprender que la introducción deliberada de aleatoriedad en los cálculos puede ser una herramienta eficaz para diseñar mejores algoritmos. En algunos casos, estos algoritmos aleatorios incluso superan a los mejores métodos deterministas. ^{[ 11 ]}

Muchos campos científicos se ocupan del azar:

La aleatoriedad puede considerarse incompatible con las ideas deterministas de algunas religiones, como aquellas que creen que el universo fue creado por una deidad omnisciente que conoce todos los acontecimientos pasados ​​y futuros. Si se considera que el universo tiene un propósito, la aleatoriedad se percibe como imposible. Este es uno de los argumentos de la oposición religiosa a la evolución , que sostiene que la selección no aleatoria se aplica a los resultados de la variación genética aleatoria.

Las filosofías hindú y budista afirman que todo evento es resultado de eventos previos, como se refleja en el concepto de karma . Por lo tanto, esta concepción está en conflicto con la idea de aleatoriedad, y cualquier conciliación entre ambas requeriría una explicación. ^{[ 25 ]}

En algunos contextos religiosos, se utilizan procedimientos que comúnmente se perciben como aleatorios para la adivinación. La cleromancia emplea el lanzamiento de huesos o dados para revelar lo que se considera la voluntad de los dioses.

En la mayoría de sus usos matemáticos, políticos, sociales y religiosos, la aleatoriedad se utiliza por su "equidad" intrínseca y su falta de sesgo.

Política : La democracia ateniense se basaba en el concepto de isonomía (igualdad de derechos políticos) y utilizaba complejos sistemas de asignación para garantizar una distribución equitativa de los cargos en los comités gobernantes de Atenas. Actualmente, la asignación se limita a la selección de jurados en los sistemas jurídicos anglosajones y a situaciones donde la "equidad" se aproxima mediante la aleatorización , como en la selección de jurados y los sorteos para el servicio militar obligatorio .

Juegos : Los números aleatorios se investigaron por primera vez en el contexto de los juegos de azar , y muchos dispositivos de aleatorización, como los dados , las cartas y las ruletas , se desarrollaron inicialmente para su uso en juegos de azar. La capacidad de generar números aleatorios de forma justa es fundamental para los juegos de azar electrónicos y, por lo tanto, los métodos utilizados para crearlos suelen estar regulados por organismos gubernamentales de control de juegos . Los sorteos aleatorios también se utilizan para determinar a los ganadores de la lotería . De hecho, la aleatoriedad se ha utilizado en juegos de azar a lo largo de la historia y para seleccionar personas para una tarea no deseada de forma justa (véase sorteo ).

Deportes : Algunos deportes, incluido el fútbol americano , utilizan lanzamientos de moneda para seleccionar aleatoriamente las condiciones de inicio de los partidos o los equipos empatados en la clasificación para los playoffs . La Asociación Nacional de Baloncesto (NBA) utiliza una lotería ponderada para ordenar a los equipos en su draft.

Matemáticas : Los números aleatorios también se emplean cuando su uso es matemáticamente importante, como en el muestreo para encuestas de opinión y en el muestreo estadístico para sistemas de control de calidad . Las soluciones computacionales para algunos tipos de problemas utilizan ampliamente los números aleatorios, como en el método de Monte Carlo y en los algoritmos genéticos .

Medicina : La asignación aleatoria de una intervención clínica se utiliza para reducir el sesgo en los ensayos controlados (por ejemplo, ensayos controlados aleatorios ).

Religión : Si bien no pretenden ser aleatorias, diversas formas de adivinación, como la cleromancia, consideran que un evento aparentemente aleatorio es un medio para que un ser divino comunique su voluntad (véase también Libre albedrío y Determinismo para más información).

Generalmente se acepta que existen tres mecanismos responsables del comportamiento (aparentemente) aleatorio en los sistemas:

1. Aleatoriedad proveniente del entorno (por ejemplo, el movimiento browniano , pero también los generadores de números aleatorios de hardware ).
2. Aleatoriedad derivada de las condiciones iniciales. Este aspecto es estudiado por la teoría del caos y se observa en sistemas cuyo comportamiento es muy sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales (como las máquinas de pachinko y los dados ).
3. Aleatoriedad generada intrínsecamente por el sistema. También se denomina pseudoaleatoriedad y es el tipo de aleatoriedad que se utiliza en los generadores de números pseudoaleatorios . Existen numerosos algoritmos (basados ​​en aritmética o autómatas celulares ) para generar números pseudoaleatorios. El comportamiento del sistema se puede determinar conociendo el estado inicial y el algoritmo empleado. Estos métodos suelen ser más rápidos que obtener aleatoriedad "verdadera" del entorno.

Las múltiples aplicaciones de la aleatoriedad han dado lugar a diversos métodos para generar datos aleatorios. Estos métodos pueden variar en cuanto a su grado de imprevisibilidad o aleatoriedad estadística , así como en la rapidez con la que pueden generar números aleatorios.

Antes de la llegada de los generadores computacionales de números aleatorios , generar grandes cantidades de números suficientemente aleatorios (lo cual es importante en estadística) requería mucho trabajo. En ocasiones, los resultados se recopilaban y distribuían en forma de tablas de números aleatorios .

Existen muchas medidas prácticas de aleatoriedad para una secuencia binaria. Estas incluyen medidas basadas en la frecuencia, transformaciones discretas , complejidad o una combinación de estas, como las pruebas de Kak, Phillips, Yuen, Hopkins, Beth y Dai, Mund, y Marsaglia y Zaman. ^{[ 26 ]}

La no localidad cuántica se ha utilizado para certificar la presencia de una forma genuina o fuerte de aleatoriedad en una cadena de números dada. ^{[ 27 ]}

Las percepciones populares sobre el azar suelen ser erróneas y a menudo se basan en razonamientos o intuiciones falaces.

Falacia: las probabilidades nunca son dinámicas.

Al inicio de un escenario, se podría calcular la probabilidad de un evento determinado. Sin embargo, a medida que se obtiene más información sobre el escenario, puede ser necesario recalcular la probabilidad en consecuencia.

Por ejemplo, si se nos dice que una mujer tiene dos hijos, podríamos estar interesados ​​en saber si alguno de ellos es niña y, de ser así, cuál es la probabilidad de que el otro también lo sea. Si consideramos ambos eventos de forma independiente, podríamos esperar que la probabilidad de que el otro hijo sea niña sea de ½ (50%), pero al construir un espacio de probabilidad que ilustre todos los resultados posibles, observaríamos que la probabilidad real es de tan solo ⅓ (33%).

Ciertamente, el espacio de probabilidad ilustra cuatro maneras de tener estos dos hijos: niño-niño, niña-niño, niño-niña y niña-niña. Pero una vez que se sabe que al menos uno de los hijos es niña, esto descarta el escenario niño-niño, dejando solo tres maneras de tener los dos hijos: niño-niña, niña-niño y niña-niña. De esto se puede ver que solo ⅓ de estos escenarios tendrían al otro hijo también siendo niña ^{[ 28 ]} (véase la paradoja del niño o la niña para más detalles).

En general, al utilizar un espacio de probabilidad, es menos probable que se pasen por alto posibles escenarios o que se subestime la importancia de la nueva información. Esta técnica puede utilizarse para obtener información valiosa en otras situaciones, como el problema de Monty Hall , un escenario de concurso televisivo en el que un coche está escondido detrás de una de tres puertas y dos cabras se esconden como premios de consolación detrás de las otras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta, el presentador abre una de las puertas restantes para revelar una cabra, eliminando así esa puerta como opción. Con solo dos puertas restantes (una con el coche y la otra con otra cabra), el jugador debe decidir si mantiene su elección o cambia y selecciona la otra puerta. Intuitivamente, se podría pensar que el jugador está eligiendo entre dos puertas con igual probabilidad y que la oportunidad de elegir otra puerta no supone ninguna diferencia. Sin embargo, un análisis de los espacios de probabilidad revelaría que el concursante ha recibido nueva información y que cambiar a la otra puerta aumentaría sus posibilidades de ganar. ^{[ 28 ]}

• Aleatoriedad, de Deborah J. Bennett . Harvard University Press, 1998. ISBN 0-674-10745-4.
• Medidas aleatorias, 4.ª ed. , por Olav Kallenberg . Academic Press, Nueva York, Londres; Akademie-Verlag, Berlín, 1986. MR 0854102 . 
• El arte de la programación informática. Vol. 2: Algoritmos seminuméricos, 3.ª ed. por Donald E. Knuth . Reading, MA: Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2.
• Engañados por el azar , 2ª ed. por Nassim Nicholas Taleb . Thomson Texere, 2004. ISBN 1-58799-190-X.
• Explorando la aleatoriedad , de Gregory Chaitin . Springer-Verlag, Londres, 2001. ISBN 1-85233-417-7.
• El libro Random, de Kenneth Chan, incluye una "Escala de aleatoriedad" para clasificar el nivel de aleatoriedad.
• El paseo del borracho: Cómo el azar rige nuestras vidas, de Leonard Mlodinow . Pantheon Books, Nueva York, 2008. ISBN 978-0-375-42404-5.

• QuantumLab: Generador de números aleatorios cuánticos con fotones individuales como experimento interactivo.
• HotBits genera números aleatorios a partir de la desintegración radiactiva.
• Generador de bits aleatorios cuánticos QRBG
• QRNG archivado el 12 de diciembre de 2010 en Wayback Machine Generador rápido de bits aleatorios cuánticos
• Chaitin: Aleatoriedad y demostración matemática
• Programa de prueba de secuencia de números pseudoaleatorios (dominio público)
• Diccionario de la historia de las ideas : Azar
• Azar versus azar , de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford