Estimación del modelo de Rasch

La estimación de un modelo de Rasch se utiliza para estimar sus parámetros . Se emplean diversas técnicas para estimar los parámetros a partir de matrices de datos de respuesta. Los enfoques más comunes son los tipos de estimación de máxima verosimilitud , como la estimación de máxima verosimilitud conjunta y condicional. Las ecuaciones de máxima verosimilitud conjunta (JML) son eficientes, pero inconsistentes para un número finito de ítems, mientras que las ecuaciones de máxima verosimilitud condicional (CML) proporcionan estimaciones de ítems consistentes e insesgadas . Generalmente se considera que las estimaciones de personas presentan sesgo , aunque los métodos de estimación de verosimilitud ponderada para la estimación de parámetros de personas reducen dicho sesgo.

El modelo de Rasch para datos dicotómicos adopta la siguiente forma:

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=1\}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\delta _{i}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\delta _{i}})}},}$

dónde${\displaystyle \beta _{n}}$es la capacidad de la persona${\displaystyle n}$y${\displaystyle \delta _{i}}$es la dificultad del artículo${\displaystyle i}$.

Dejar${\displaystyle x_{ni}}$denotamos la respuesta observada para la persona n en el ítem i . La probabilidad de la matriz de datos observados, que es el producto de las probabilidades de las respuestas individuales, viene dada por la función de verosimilitud.

${\displaystyle \Lambda ={\frac {\prod _{n}\prod _{i}\exp(x_{ni}(\beta _{n}-\delta _{i}))}{\prod _{n}\prod _{i}(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))}}.}$

La función de verosimilitud logarítmica es entonces

${\displaystyle \log \Lambda =\sum _{n}^{N}\beta _{n}r_{n}-\sum _{i}^{I}\delta _{i}s_{i}-\sum _{n}^{N}\sum _{i}^{I}\log(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))}$

dónde${\displaystyle r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}}$es la puntuación bruta total para la persona n ,${\displaystyle s_{i}=\sum _ {n}^{N}x_ {ni}}$es la puntuación bruta total para el ítem i , N es el número total de personas e I es el número total de ítems.

Las ecuaciones de solución se obtienen tomando derivadas parciales con respecto a${\displaystyle \delta _{i}}$y${\displaystyle \beta _{n}}$y estableciendo el resultado igual a 0. Las ecuaciones de la solución JML son:

${\displaystyle s_{i}=\sum _{n=1}^{N}p_{ni},\quad i=1,\dots ,I}$

${\displaystyle r_{n}=\sum _{i=1}^{I}p_{ni},\quad n=1,\dots ,N}$

dónde${\displaystyle p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))}$.

Las estimaciones resultantes están sesgadas y no existen estimaciones finitas para las personas con puntuación 0 (ninguna respuesta correcta) o con 100% de respuestas correctas (puntuación perfecta). Lo mismo ocurre con los ítems con puntuaciones extremas; tampoco existen estimaciones para estos. Este sesgo se debe a un efecto bien conocido descrito por Kiefer y Wolfowitz (1956) . Es del orden${\displaystyle (I-1)/I}$y una estimación más precisa (menos sesgada) de cada uno${\displaystyle \delta _{i}}$se obtiene multiplicando las estimaciones por${\displaystyle (I-1)/I}$.

La función de verosimilitud condicional se define como

${\displaystyle \Lambda =\prod _{n}\Pr\{(x_{ni})\mid r_{n}\}={\frac {\exp(\sum _{i}-s_{i}\delta _{i})}{\prod _{n}\gamma _{r}}}}$

en el cual

${\displaystyle \gamma _{r}=\sum _{(x)\mid r}\exp(-\sum _{i}x_{ni}\delta _{i})}$

es la función simétrica elemental de orden r , que representa la suma sobre todas las combinaciones de r elementos. Por ejemplo, en el caso de tres elementos,

${\displaystyle \gamma _{2}=\exp(-\delta _{1}-\delta _{2})+\exp(-\delta _{1}-\delta _{3})+\exp(-\delta _{2}-\delta _{3}).}$

Se pueden encontrar detalles en los capítulos de von Davier (2016) para el modelo Rasch dicotómico y de von Davier y Rost (1995) para el modelo Rasch politómico .

En la estimación de los parámetros de los modelos de Rasch se utiliza algún tipo de algoritmo de maximización de la esperanza . Los algoritmos para implementar la estimación de máxima verosimilitud suelen emplear iteraciones de Newton-Raphson para resolver ecuaciones de solución obtenidas al igualar a cero las derivadas parciales de las funciones de log-verosimilitud. Se utilizan criterios de convergencia para determinar cuándo finalizan las iteraciones. Por ejemplo, el criterio podría ser que la estimación media de los ítems varíe en menos de un valor determinado, como 0,001, entre una iteración y otra para todos los ítems.

• algoritmo de maximización de la esperanza
• modelo de Rasch

• Linacre, JM (1999). "Comprensión de la medición de Rasch: métodos de estimación para medidas de Rasch" . Journal of Outcome Measurement . 3 (4): 382– 405. PMID 10572388 . 
• Linacre, JM (2004). «Métodos de estimación para medidas de Rasch. Capítulo 2». En Smith, EV; Smith, RM (eds.). Introducción a la medición de Rasch . Maple Grove, MN: JAM Press. ISBN 978-0975535110.
• Linacre, JM (2004). "Estimación del modelo Rasch: temas adicionales" . Veterinary Record . 5 (1): 95– 110. doi : 10.1136/vr.139.12.290 . PMID 8890464 . 
• Linacre, JM (2004). "Estimación del modelo Rasch: temas adicionales. Capítulo 24". En Smith, EV; Smith, RM (eds.). Introducción a la medición Rasch . Maple Grove, MN: JAM Press. ISBN 978-0975535110.
• Kiefer, J.; Wolfowitz, J. (1956). "Consistencia del estimador de máxima verosimilitud en presencia de infinitos parámetros incidentales" . Annals of Mathematical Statistics . 27 (4): 887– 906. doi : 10.1214/aoms/1177728066 .
• von Davier, M.; Rost, J. (1995). "Modelos politómicos mixtos de Rasch". En Fischer, GH; Molenaar, IW (eds.). Modelos Rasch . Nueva York, Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-4230-7_20 . ISBN 0-387-94499-0.
• von Davier, M. (2016). «El modelo de Rasch. Capítulo 3» . En van der Linden, W. (ed.). Manual de la teoría de respuesta al ítem, vol. 1 (segunda  ed.). CRC Press. pp. 31–48 . doi : 10.1201/9781315374512-12 (inactivo el 8 de julio de 2025). ISBN  9781315374512.{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )