Relación de consecuencia racional

En lógica , una relación de consecuencia racional es una relación de consecuencia no monótona que satisface ciertas propiedades que se enumeran a continuación.

Una relación de consecuencia racional es un marco lógico que refina el razonamiento deductivo tradicional para modelar mejor escenarios del mundo real. Incorpora reglas como la reflexividad , la equivalencia lógica izquierda , el debilitamiento derecho, la monotonía cautelosa, la disyunción izquierda, la conjunción lógica derecha y la monotonía racional. Estas reglas permiten que la relación aborde situaciones cotidianas con mayor eficacia, al posibilitar un razonamiento no monótono, donde las conclusiones se pueden extraer a partir de implicaciones habituales en lugar de absolutas. Este enfoque es particularmente útil en casos donde añadir más información puede cambiar el resultado, proporcionando una comprensión más matizada que las relaciones de consecuencia monótonas.

Una relación de consecuencia racional satisface: ${\displaystyle \vdash }$

ÁRBITRO

Reflexividad${\displaystyle \theta \vdash \theta }$

y las llamadas reglas Gabbay - Makinson :

LLE

Equivalencia lógica izquierda${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \theta \equiv \phi }{\phi \vdash \psi }}}$

RWE

Debilitamiento de la mano derecha${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \phi \models \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

Director de Marketing

Monotonía cautelosa${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \wedge \psi \vdash \phi }}}$

DIS

O lógico (es decir, disyunción) en el lado izquierdo${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \phi \vdash \psi }{\theta \vee \phi \vdash \psi }}}$

Y

Lógico y a la derecha${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \vdash \phi \wedge \psi }}}$

RMO

Monotonicidad racional${\displaystyle {\frac {\phi \not \vdash \neg \theta \quad \quad \phi \vdash \psi }{\phi \wedge \theta \vdash \psi }}}$

La relación de consecuencia racional no es monótona , y su significado es que theta generalmente implica phi o phi generalmente se deduce de theta . En este sentido, resulta más útil para modelar algunas situaciones cotidianas que una relación de consecuencia monótona, ya que esta última modela los hechos de forma más estricta y booleana : algo se cumple en todas las circunstancias o no se cumple. ${\displaystyle \theta \vdash \phi }$

La afirmación «Si un pastel contiene azúcar, entonces sabe bien» implica, bajo una relación de consecuencia monótona, la afirmación «Si un pastel contiene azúcar y jabón, entonces sabe bien». Claramente, esto no coincide con nuestra propia comprensión de los pasteles. Al afirmar «Si un pastel contiene azúcar, entonces generalmente sabe bien», una relación de consecuencia racional permite un modelo más realista del mundo real, y ciertamente no se deduce automáticamente que «Si un pastel contiene azúcar y jabón, entonces generalmente sabe bien».

Cabe señalar que si además disponemos de la información «Si un pastel contiene azúcar, entonces generalmente contiene mantequilla», podemos concluir legalmente (según la CMO) que «Si un pastel contiene azúcar y mantequilla, entonces generalmente sabe bien». Del mismo modo, en ausencia de una afirmación como «Si un pastel contiene azúcar, entonces generalmente no contiene jabón », podemos concluir legalmente, según la RMO, que «Si el pastel contiene azúcar y jabón, entonces generalmente sabe bien».

Si esta última conclusión te parece ridícula, es probable que, inconscientemente, estés recurriendo a tus ideas preconcebidas sobre los pasteles al evaluar la validez de la afirmación. Es decir, por tu experiencia sabes que los pasteles que contienen jabón suelen tener mal sabor, así que añades a la afirmación tu propio conocimiento, como por ejemplo: «Los pasteles que contienen azúcar no suelen contener jabón», aunque este conocimiento no esté presente en la afirmación. Si la conclusión te parece absurda, podrías considerar sustituir la palabra «jabón» por « huevos» para ver si cambia tu opinión.

Consideremos las siguientes oraciones:

• Los jóvenes suelen ser felices
• Los drogadictos generalmente no son felices.
• Los drogadictos suelen ser jóvenes.

Podemos considerar razonable concluir:

• Los jóvenes drogadictos no suelen ser felices.

Esta no sería una conclusión válida bajo un sistema de deducción monótona (omitiendo, por supuesto, la palabra «generalmente»), ya que la tercera oración contradiría las dos primeras. En cambio, la conclusión se deduce inmediatamente al aplicar las reglas de Gabbay-Makinson: al aplicar la regla CMO a las dos últimas oraciones se obtiene el resultado.

De las reglas anteriores se derivan las siguientes consecuencias:

diputado

Modus ponens${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}{\theta \vdash \psi }}}$

MP se demuestra mediante las reglas AND y RWE.

ESTAFA

Condicionalización${\displaystyle {\frac {\theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}}}$

CC

Corte cauteloso${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

La noción de corte cauteloso simplemente encapsula la operación de condicionalización, seguida de MP. Puede parecer redundante en este sentido, pero se usa con frecuencia en demostraciones, por lo que resulta útil tener un nombre para que sirva como atajo.

SCL

Supraclasidad${\displaystyle {\frac {\theta \models \phi }{\theta \vdash \phi }}}$

SCL se demuestra trivialmente mediante REF y RWE.

Sea un lenguaje finito . Un átomo es una fórmula de la forma (donde y ). Nótese que existe una valuación única que hace verdadero cualquier átomo dado (y, a la inversa, cada valuación satisface precisamente un átomo). Por lo tanto, un átomo puede usarse para representar una preferencia sobre lo que creemos que debería ser verdadero. ${\displaystyle L=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{\epsilon }}$${\displaystyle p^{1}=p}$${\displaystyle p^{-1}=\neg p}$

Sea el conjunto de todos los átomos en L. Para SL , definimos . ${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \theta \in }$${\displaystyle S_{\theta }=\{\alpha \in At^{L}|\alpha \models ^{SC}\theta \}}$

Sea una sucesión de subconjuntos de . Para , en SL, sea la relación tal que si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle \theta \vdash _{\vec {s}}\phi }$

1. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}=\emptyset }$para cada${\displaystyle 1\leq i\leq m}$
2. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\neq \emptyset }$para algunos y para los menos tales i, .${\displaystyle 1\leq i\leq m}$${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\subseteq S_{\phi }}$

Entonces, la relación es una relación de consecuencia racional. Esto se puede verificar fácilmente comprobando directamente que satisface las condiciones de GM. ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$

La idea detrás de la secuencia de conjuntos de átomos es que los primeros conjuntos representan las situaciones más probables, como "los jóvenes suelen respetar la ley", mientras que los últimos conjuntos representan las situaciones menos probables, como "los jóvenes que conducen de forma temeraria no suelen respetar la ley" .

1. Por definición de la relación , la relación no cambia si reemplazamos con , con ... y con . De esta manera hacemos que cada uno sea disjunto. Por el contrario, no hay diferencia en la relación de consecuencia racional si agregamos a los átomos subsiguientes de cualquiera de los anteriores .${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{2}\setminus s_{1}}$${\displaystyle s_{3}}$${\displaystyle s_{3}\setminus s_{2}\setminus s_{1}}$${\displaystyle s_{m}}$${\displaystyle s_{m}\setminus \bigcup _{i=1}^{m-1}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$

Se puede demostrar que cualquier relación de consecuencia racional en un lenguaje finito es representable mediante una secuencia de preferencias atómicas mencionada anteriormente. Es decir, para cualquier relación de consecuencia racional de este tipo existe una secuencia de subconjuntos tales que la relación de consecuencia racional asociada es la misma relación:${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle {\vdash _{\vec {s}}}={\vdash }}$

1. Por la propiedad anterior de , la representación de una relación de consecuencia racional no tiene por qué ser única: si no son disjuntos, pueden hacerse disjuntos sin cambiar la relación de consecuencia racional y, a la inversa, si son disjuntos, cada conjunto subsiguiente puede contener cualquiera de los átomos de los conjuntos anteriores sin cambiar la relación de consecuencia racional.${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle s_{i}}$

• Hill, Lee CE (2002). "Una nueva relación entre la entropía máxima y el cierre racional de una base de conocimiento condicional" . Universidad de Manchester . Archivado del original el 13 de octubre de 2022.
• D. Makinson (marzo de 1994). «Patrones generales en el razonamiento no monótono». En DM Gabbay, CJ Hogger y JA Robinson (eds.). Metodologías de deducción . Manual de lógica en inteligencia artificial y programación lógica. Vol. 2. Oxford: Oxford University Press. págs.  35-110 . ISBN 978-0-19-853746-5.