Flujo lineal en el toroide

En matemáticas , especialmente en el área del análisis matemático conocida como teoría de sistemas dinámicos , un flujo lineal en el toro es un flujo en el toro n -dimensional .$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n},}$$que se representa mediante las siguientes ecuaciones diferenciales con respecto a las coordenadas angulares estándar${\displaystyle \left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):}$$${\displaystyle {\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.}$$La solución de estas ecuaciones se puede expresar explícitamente como $${\displaystyle \Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .}$$Si representamos el toro como${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$vemos que un punto de partida es movido por el flujo en la dirección${\displaystyle \omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)}$a velocidad constante y cuando alcanza el límite de la unidad${\displaystyle n}$-cubo salta a la cara opuesta del cubo.

Para un flujo lineal en el toro, todas las órbitas son periódicas o densas en un subconjunto del${\displaystyle n}$-toro, que es un${\displaystyle k}$-toroide. Cuando los componentes de${\displaystyle \omega }$son racionalmente independientes todas las órbitas son densas en todo el espacio. Esto se puede ver fácilmente en el caso bidimensional: si los dos componentes de${\displaystyle \omega }$son racionalmente independientes, la sección de Poincaré del flujo en un borde del cuadrado unitario es una rotación irracional en un círculo y por lo tanto sus órbitas son densas en el círculo, como consecuencia las órbitas del flujo deben ser densas en el toro.

En topología , un enrollamiento irracional de un toro es una inyección continua de una línea en un toro bidimensional que se utiliza para establecer varios contraejemplos. ^{[ 1 ]} Una noción relacionada es la foliación de Kronecker de un toro, una foliación formada por el conjunto de todas las traslaciones de un enrollamiento irracional dado.

• Sistema completamente integrable : propiedad de ciertos sistemas dinámicos. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Teoría ergódica : rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos. 
• Lista de topologías – Lista de topologías concretas y espacios topológicos 
• Movimiento cuasiperiódico : tipo de movimiento que es aproximadamente periódico. 
• Nudo toroidal : nudo que se encuentra en la superficie de un toroide en el espacio tridimensional. 

^ a:subespaciotopológicodel toro, el enrollamiento irracional no es unavariedaden absoluto porque no es localmente homeomorfo a  ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.