ecuación de Raychaudhuri

En la relatividad general , la ecuación de Raychaudhuri , o ecuación de Landau-Raychaudhuri , ^{[ 1 ]} es un resultado fundamental que describe el movimiento de fragmentos de materia cercanos.

La ecuación es importante como lema fundamental para los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking y para el estudio de soluciones exactas en la relatividad general , pero tiene un interés independiente, ya que ofrece una validación simple y general de nuestra expectativa intuitiva de que la gravitación debería ser una fuerza atractiva universal entre dos bits cualesquiera de masa-energía en la relatividad general, como ocurre en la teoría de la gravitación de Newton .

La ecuación fue descubierta independientemente por el físico indio Amal Kumar Raychaudhuri ^{[ 2 ]} y el físico soviético Lev Landau . ^{[ 3 ]}

Dado un campo vectorial unitario de tipo temporal${\displaystyle {\vec {X}}}$(que puede interpretarse como una familia o congruencia de líneas de universo que no se intersecan a través de la curva integral , no necesariamente geodésicas ), la ecuación de Raychaudhuri en${\displaystyle D}$Las dimensiones del espacio-tiempo se pueden escribir como

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

dónde

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

son invariantes cuadráticos (no negativos) del tensor de corte

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{D-1}}\,\theta \,h_{ab}}$

y el tensor de vorticidad

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

respectivamente. Aquí,

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

es el tensor de expansión ,${\displaystyle \theta }$es su traza , llamada escalar de expansión , y

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

es el tensor de proyección sobre los hiperplanos ortogonales a${\displaystyle {\vec {X}}}$. Además, el punto denota la diferenciación con respecto al tiempo propio contado a lo largo de las líneas de universo en la congruencia. Finalmente, la traza del tensor de mareas${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$también se puede escribir como

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

Esta magnitud a veces se denomina escalar de Raychaudhuri .

El escalar de expansión mide la tasa fraccional a la que cambia el volumen de una pequeña esfera de materia con respecto al tiempo, según lo mide un observador central comóvil (por lo que puede tomar valores negativos). En otras palabras, la ecuación anterior nos da la ecuación de evolución para la expansión de la congruencia de tipo temporal. Si la derivada (con respecto al tiempo propio) de esta cantidad resulta ser negativa a lo largo de alguna línea de universo (después de un evento determinado), entonces cualquier expansión de una pequeña esfera de materia (cuyo centro de masa sigue la línea de universo en cuestión) debe ir seguida de un colapso. De lo contrario, es posible una expansión continua.

El tensor de cizallamiento mide cualquier tendencia de una esfera de materia inicialmente esférica a deformarse hasta adquirir una forma elipsoidal. El tensor de vorticidad mide cualquier tendencia de las líneas de universo cercanas a girar unas alrededor de otras (si esto ocurre, nuestra pequeña porción de materia está rotando, como sucede con los elementos fluidos en un flujo de fluido ordinario que presenta vorticidad distinta de cero).

El lado derecho de la ecuación de Raychaudhuri consta de dos tipos de términos:

1. términos que promueven (re)colapso
   • inicialmente escalar de expansión distinto de cero,
   • cizallamiento distinto de cero,
   • traza positiva del tensor de marea; esta es precisamente la condición garantizada al asumir la condición de energía fuerte , que se cumple para los tipos de soluciones más importantes, como las soluciones de fluidos físicamente razonables ,
2. términos que se oponen al (re)colapso
   • vorticidad no nula, correspondiente a fuerzas centrífugas newtonianas ,
   • divergencia positiva del vector de aceleración (por ejemplo, aceleración que apunta hacia afuera debido a una explosión con simetría esférica, o más prosaicamente, debido a las fuerzas de cuerpo sobre los elementos fluidos en una bola de fluido mantenida unida por su propia autogravedad).

Por lo general, una de las opciones prevalecerá. Sin embargo, existen situaciones en las que se puede alcanzar un equilibrio. Este equilibrio puede ser:

• estable : en el caso de equilibrio hidrostático de una bola de fluido perfecto (por ejemplo, en un modelo del interior de una estrella), la expansión, el corte y la vorticidad se anulan, y una divergencia radial en el vector de aceleración (la fuerza de cuerpo necesaria sobre cada gota de fluido es proporcionada por la presión del fluido circundante) contrarresta el escalar de Raychaudhuri, que para un fluido perfecto en cuatro dimensiones es${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$en unidades geometrizadas . En la gravitación newtoniana, la traza del tensor de marea es${\displaystyle 4\pi \mu }$En la relatividad general, la tendencia de la presión a oponerse a la gravedad se ve parcialmente compensada por este término, que en determinadas circunstancias puede llegar a ser importante.
• inestable : por ejemplo, las líneas de universo de las partículas de polvo en la solución de Gödel tienen cizallamiento, expansión y aceleración nulos, pero vorticidad constante que simplemente equilibra un escalar de Raychaudhuri constante debido a la energía del vacío no nula ("constante cosmológica").

Supongamos que la condición de energía fuerte se cumple en alguna región de nuestro espaciotiempo, y sea${\displaystyle {\vec {X}}}$ser un campo vectorial unitario geodésico de tipo temporal con vorticidad nula , o equivalentemente, que sea ortogonal a la hipersuperficie. Por ejemplo, esta situación puede surgir al estudiar las líneas de universo de las partículas de polvo en modelos cosmológicos que son soluciones exactas de polvo de la ecuación de campo de Einstein (siempre que estas líneas de universo no se retuerzan unas alrededor de otras, en cuyo caso la congruencia tendría vorticidad distinta de cero).

Entonces la ecuación de Raychaudhuri se convierte en:

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

Ahora bien, el lado derecho siempre es negativo o cero, por lo que el escalar de expansión nunca aumenta con el tiempo.

Dado que los dos últimos términos son no negativos, tenemos

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}}$

Integrando esta desigualdad con respecto al tiempo propio${\displaystyle \tau }$da

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{D-1}}}$

Si el valor inicial${\displaystyle \theta _{0}}$del escalar de expansión es negativo, esto significa que nuestras geodésicas deben converger en una cáustica (${\displaystyle \theta }$va a menos infinito) dentro de un tiempo propio de como máximo${\displaystyle (D-1)/|\theta _{0}|}$después de la medición del valor inicial${\displaystyle \theta _{0}}$del escalar de expansión. Esto no necesariamente indica un encuentro con una singularidad de curvatura, pero sí indica una falla en nuestra descripción matemática del movimiento del polvo.

También existe una versión óptica (o nula) de la ecuación de Raychaudhuri para congruencias geodésicas nulas  :${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {1}{D-2}}\theta ^{2}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-R_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$.

Aunque se asemeja mucho a la ecuación de Raychaudhuri temporal mencionada anteriormente, cabe señalar que ahora existe el requisito de que la congruencia sea geodésica, lo cual estaba ausente en el caso temporal, y, además de eso, que dado que${\displaystyle U_{a}}$es como la luz del proyector${\displaystyle h_{ab}}$se define en cambio como${\displaystyle g_{ab}+N_{a}U_{b}+U_{a}N_{b}}$, dónde${\displaystyle N_{a}}$es cualquier vector tal que${\displaystyle N_{a}N^{a}=0}$y${\displaystyle U_{a}N^{a}=-1}$(${\displaystyle N}$nunca es único, pero se puede demostrar que la elección exacta no importa siempre y cuando se cumplan esas dos condiciones).

La consecuencia más notable de estos cambios es que${\displaystyle \theta }$ya no representa un aumento volumétrico fraccional, sino más bien un aumento areal fraccional, como${\displaystyle h_{a}^{b}}$ahora se proyecta sobre un subespacio bidimensional (más precisamente, en un subespacio bidimensional , que es lo mismo si${\displaystyle D=4}$).

• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri.
• Singularidad gravitacional
• Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking para una aplicación del teorema de enfoque.

• Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83091-5.Consulte el Capítulo 2 para obtener una excelente explicación de la ecuación de Raychaudhuri para geodésicas temporales y nulas , así como del teorema de enfoque.
• Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: Una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.Véase el Apéndice F.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2.ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.Consulte el capítulo 6 para obtener una introducción muy detallada a las congruencias geodésicas, incluida la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Hawking, Stephen y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. Consulte la sección 4.1 para un análisis de la forma general de la ecuación de Raychaudhuri.
• Raychaudhuri, AK (1955). "Cosmología relativista I". Phys. Rev. 98 ( 4): 1123– 1126. Bibcode : 1955PhRv...98.1123R . doi : 10.1103/PhysRev.98.1123 . hdl : 10821/7599 . El artículo de Raychaudhuri donde presenta su ecuación.
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati y Kar, Sayan (2009). "Cinemática de flujos geodésicos en fondos de agujeros negros de cuerdas". Phys. Rev. D . 79 (12) 124004. arXiv : 0809.3074 . Bibcode : 2009PhRvD..79l4004D . doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004 . S2CID 118628925 . Consulte la sección IV para la derivación de la forma general de las ecuaciones de Raychaudhuri para tres magnitudes cinemáticas (a saber, escalar de expansión, cizallamiento y rotación).
• Kar, Sayan y SenGupta, Soumitra (2007). "Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve reseña". Pramana . 69 (1): 49– 76. arXiv : gr-qc/0611123 . Código Bib : 2007Prama..69...49K . doi : 10.1007/s12043-007-0110-9 . S2CID 119438891 . Consulte la revisión sobre las ecuaciones de Raychaudhuri.

• El significado de la ecuación de campo de Einstein, por John C. Baez y Emory F. Bunn. La ecuación de Raychaudhuri ocupa un lugar central en esta conocida (y muy recomendable) exposición semitécnica del significado de la ecuación de Einstein.
• Raychaudhuri, AK (1979). Cosmología teórica . Oxford Science Publications. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851462-6.