Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

ecuación de Rayleigh-Plesset

La ecuación de Rayleigh-Plesset se aplica con frecuencia al estudio de las burbujas de cavitación , como la que se muestra aquí formándose detrás de una hélice. En mecánica de f...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
La ecuación de Rayleigh-Plesset se aplica con frecuencia al estudio de las burbujas de cavitación , como la que se muestra aquí formándose detrás de una hélice.

En mecánica de fluidos , la ecuación de Rayleigh-Plesset o ecuación de Besant-Rayleigh-Plesset es una ecuación diferencial ordinaria no lineal que rige la dinámica de una burbuja esférica en un cuerpo infinito de fluido incompresible. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Su forma general se suele escribir como

Rd2Rdt2+32(dRdt)2+4νLRdRdt+2σρLR+ΔPAG(t)ρL=0{\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0}

dónde

ρL{\displaystyle \rho _{L}}es la densidad del líquido circundante, que se supone constante.
R(t){\displaystyle R(t)}es el radio de la burbuja
νL{\displaystyle \nu _{L}}es la viscosidad cinemática del líquido circundante, que se supone constante.
σ{\displaystyle \sigma }es la tensión superficial de la interfaz burbuja-líquido
ΔPAG(t)=PAG∞(t)−PAGB(t){\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)}, en el cual,PAGB(t){\displaystyle P_{B}(t)}es la presión dentro de la burbuja, que se supone uniforme yPAG∞(t){\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}es la presión externa infinitamente lejos de la burbuja

Siempre quePAGB(t){\displaystyle P_{B}(t)}es conocido yPAG∞(t){\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}Dado que se proporciona la ecuación de Rayleigh-Plesset, se puede utilizar para calcular el radio de burbuja variable en el tiempo.R(t){\displaystyle R(t)}.

La ecuación de Rayleigh-Plesset se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes bajo el supuesto de simetría esférica . [ 4 ] También se puede derivar utilizando un balance de energía. [ 5 ]

Historia

Ignorando la tensión superficial y la viscosidad, la ecuación fue derivada por primera vez por W. H. Besant en su libro de 1859 con el enunciado del problema: Una masa infinita de fluido homogéneo incompresible sobre el que no actúan fuerzas está en reposo, y una porción esférica del fluido se aniquila repentinamente; se requiere encontrar la alteración instantánea de la presión en cualquier punto de la masa, y el tiempo en que se llenará la cavidad, suponiendo que la presión a una distancia infinita permanece constante (de hecho, Besant atribuye el problema a los problemas de Cambridge Senate-House de 1847). [ 6 ] Besant predijo el tiempo requerido para llenar una cavidad vacía de radio inicialR0{\displaystyle R_{0}}ser

t=R06ρPAG∞∫01z4dz1−z6=R0πρ6PAG∞Γ(5/6)Γ(4/3)≈0,91468R0ρPAG∞{\displaystyle {\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}}

Lord Rayleigh encontró una derivación más simple del mismo resultado, basada en la conservación de la energía . La energía cinética del fluido entrante es2πρU2R3{\displaystyle 2\pi \rho U^{2}R^{3}}dóndeR{\displaystyle R}es el radio del vacío que depende del tiempo, yU{\displaystyle U}la velocidad radial del fluido allí. El trabajo realizado por el fluido que presiona en el infinito es4πPAG∞(R03−R3)/3{\displaystyle 4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3}y al igualar estas dos energías se obtiene una relación entreR{\displaystyle R}yU{\displaystyle U}. Luego, observando queU=∂R/∂t{\displaystyle U=\partial R/\partial t}La separación de variables da como resultado el método de Besant. Rayleigh fue más allá que Besant al evaluar la integral ( la función beta de Euler ) en términos de funciones gamma . Rayleigh adaptó este enfoque al caso de una cavidad llena de un gas ideal (una burbuja) al incluir un término para el trabajo realizado al comprimir el gas.

Para el caso del vacío perfecto, Rayleigh determinó que la presiónPAG{\displaystyle P}en el fluido a un radior{\displaystyle r}está dado por:

PAGPAG∞−1=R3r(R03R3−4)−R43r4(R03R3−1){\displaystyle {\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)}

Cuando el vacío es al menos una cuarta parte de su volumen inicial, entonces la presión disminuye monótonamente desdePAG∞{\displaystyle P_{\infty }}en el infinito a cero enR{\displaystyle R}. A medida que el vacío se reduce aún más, se alcanza una presión máxima, mayor quePAG∞{\displaystyle P_{\infty }}aparece en

r3=4(R03−R3)R3R03−4R3{\displaystyle r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}}

Creciendo muy rápidamente y convergiendo en el vacío.

La ecuación fue aplicada por primera vez a burbujas de cavitación viajeras por Milton S. Plesset en 1949 al incluir los efectos de la tensión superficial. [ 7 ]

Derivación

Integración numérica de la ecuación de RP, incluyendo términos de tensión superficial y viscosidad. Inicialmente en reposo a presión atmosférica con R0=50 µm, la burbuja sometida a presión oscilatoria a su frecuencia natural se expande y luego colapsa.
Integración numérica de la ecuación RP, incluyendo términos de tensión superficial y viscosidad. Inicialmente en reposo a presión atmosférica con R0=50 µm, la burbuja sometida a una caída de presión se expande y luego colapsa.

La ecuación de Rayleigh-Plesset se puede derivar completamente a partir de primeros principios utilizando el radio de la burbuja como parámetro dinámico. [ 3 ] Consideremos una burbuja esférica con radio dependiente del tiempo.R(t){\displaystyle R(t)}, dóndet{\displaystyle t}es el tiempo. Suponga que la burbuja contiene un vapor/gas distribuido homogéneamente con una temperatura uniforme.TB(t){\displaystyle T_{B}(t)}y presiónPAGB(t){\displaystyle P_{B}(t)}Fuera de la burbuja hay un dominio infinito de líquido con densidad constante.ρL{\displaystyle \rho _{L}}y viscosidad dinámicaμL{\displaystyle \mu _{L}}. Sea la temperatura y la presión lejos de la burbuja.T∞{\displaystyle T_{\infty }}yPAG∞(t){\ Displaystyle P _ {\ infty} (t)}La temperaturaT∞{\displaystyle T_{\infty }}Se supone que es constante. A una distancia radialr{\displaystyle r}Desde el centro de la burbuja, las propiedades variables del líquido son la presión.PAG(r,t){\displaystyle P(r,t)}, temperaturaT(r,t){\displaystyle T(r,t)}y velocidad radial hacia afueratú(r,t){\displaystyle u(r,t)}. Tenga en cuenta que estas propiedades del líquido solo se definen fuera de la burbuja, parar≥R(t){\displaystyle r\geq R(t)}.

conservación de masas

Por conservación de la masa , la ley del inverso del cuadrado requiere que la velocidad radial hacia afueratú(r,t){\displaystyle u(r,t)}debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen (el centro de la burbuja). [ 7 ] Por lo tanto, dejandoF(t){\displaystyle F(t)}ser alguna función del tiempo,

tú(r,t)=F(t)r2{\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}

En el caso de transporte de masa cero a través de la superficie de la burbuja, la velocidad en la interfaz debe ser

tú(R,t)=dRdt=F(t)R2{\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}

lo cual da eso

F(t)=R2dR/dt{\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}

En el caso en que se produce transporte de masa y suponiendo que el contenido de la burbuja tiene una densidad constante, la tasa de aumento de masa dentro de la burbuja viene dada por

dmetroVdt=ρVdVdt=ρVd(4πR3/3)dt=4πρVR2dRdt{\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}

conV{\displaystyle V}siendo el volumen de la burbuja. SitúL{\displaystyle u_{L}}es la velocidad del líquido en relación con la burbuja enr=R{\displaystyle r=R}, entonces la masa que entra en la burbuja viene dada por

dmetroLdt=ρLAtúL=ρL(4πR2)túL{\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}

conA{\displaystyle A}siendo el área de la superficie de la burbuja. Ahora, por conservación de la masadmetrov/dt=dmetroL/dt{\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}, por lo tantotúL=(ρV/ρL)dR/dt{\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}. Por eso

tú(R,t)=dRdt−túL=dRdt−ρVρLdRdt=(1−ρVρL)dRdt{\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}

Por lo tanto

F(t)=(1−ρVρL)R2dRdt{\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}

En muchos casos, la densidad del líquido es mucho mayor que la densidad del vapor,ρL≫ρV{\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}, de modo queF(t){\displaystyle F(t)}puede aproximarse mediante la forma original de transferencia de masa ceroF(t)=R2dR/dt{\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}, de modo que [ 7 ]

tú(r,t)=F(t)r2=R2r2dRdt{\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}

Conservación del momento

Suponiendo que el líquido es un fluido newtoniano , la ecuación de Navier-Stokes incompresible en coordenadas esféricas para el movimiento en la dirección radial da como resultado:

ρL(∂tú∂t+tú∂tú∂r)=−∂PAG∂r+μL[1r2∂∂r(r2∂tú∂r)−2túr2]{\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}

Sustituyendo la viscosidad cinemáticaνL=μL/ρL{\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}y reorganizando da

−1ρL∂PAG∂r=∂tú∂t+tú∂tú∂r−νL[1r2∂∂r(r2∂tú∂r)−2túr2]{\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}

mediante la sustitucióntú(r,t){\displaystyle u(r,t)}a partir de la conservación de la masa produce

−1ρL∂PAG∂r=2Rr2(dRdt)2+R2r2d2Rdt2−2R4r5(dRdt)2=1r2(2R(dRdt)2+R2d2Rdt2)−2R4r5(dRdt)2{\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}

Nótese que los términos viscosos se cancelan durante la sustitución. [ 7 ] Separación de variables e integración desde el límite de la burbujar=R{\displaystyle r=R}ar→∞{\displaystyle r\rightarrow \infty }da

−1ρL∫PAG(R)PAG(∞)dPAG=∫R∞[1r2(2R(dRdt)2+R2d2Rdt2)−2R4r5(dRdt)2]dr{\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}
PAG(R)−PAG∞ρL=[−1r(2R(dRdt)2+R2d2Rdt2)+R42r4(dRdt)2]R∞=Rd2Rdt2+32(dRdt)2{\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}

Condiciones de contorno

Dejarσrr{\displaystyle \sigma _{rr}}sea ​​la tensión normal en el líquido que apunta radialmente hacia afuera desde el centro de la burbuja. En coordenadas esféricas, para un fluido con densidad constante y viscosidad constante,

σrr=−PAG+2μL∂tú∂r{\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}

Por lo tanto, en una pequeña porción de la superficie de la burbuja, la fuerza neta por unidad de área que actúa sobre la lámina es

σrr(R)+PAGB−2σR=−PAG(R)+2μL∂tú∂r|r=R+PAGB−2σR=−PAG(R)+2μL∂∂r(R2r2dRdt)r=R+PAGB−2σR=−PAG(R)−4μLRdRdt+PAGB−2σR{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\\end{aligned}}}

dóndeσ{\displaystyle \sigma }es la tensión superficial . [ 7 ] Si no hay transferencia de masa a través del límite, entonces esta fuerza por unidad de área debe ser cero, por lo tanto

PAG(R)=PAGB−4μLRdRdt−2σR{\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}}

y así el resultado de la conservación del momento se convierte en

PAG(R)−PAG∞ρL=PAGB−PAG∞ρL−4μLρLRdRdt−2σρLR=Rd2Rdt2+32(dRdt)2{\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}

mediante la reorganización y el mantenimiento de la seguridadνL=μL/ρL{\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}da la ecuación de Rayleigh-Plesset [ 7 ]

PAGB(t)−PAG∞(t)ρL=Rd2Rdt2+32(dRdt)2+4νLRdRdt+2σρLR{\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}

Utilizando la notación de puntos para representar las derivadas con respecto al tiempo, la ecuación de Rayleigh-Plesset se puede escribir de forma más concisa como

PAGB(t)−PAG∞(t)ρL=RR¨+32(R˙)2+4νLR˙R+2σρLR{\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}

Soluciones

Más recientemente, se hallaron soluciones analíticas en forma cerrada para la ecuación de Rayleigh-Plesset tanto para una burbuja vacía como para una llena de gas [ 8 ] y se generalizaron al caso N-dimensional. [ 9 ] También se estudió el caso en el que la tensión superficial está presente debido a los efectos de la capilaridad. [ 9 ] [ 10 ]

Además, para el caso especial en el que se desprecian la tensión superficial y la viscosidad, también se conocen aproximaciones analíticas de alto orden. [ 11 ]

En el caso estático, la ecuación de Rayleigh-Plesset se simplifica, dando como resultado la ecuación de Young-Laplace :

PAGB−PAG∞=2σR{\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}

Cuando solo se consideran variaciones periódicas infinitesimales en el radio y la presión de la burbuja, la ecuación RP también proporciona la expresión de la frecuencia natural de la oscilación de la burbuja .

Referencias

  1. ↑ Rayleigh, Lord (1917). "Sobre la presión desarrollada en un líquido durante el colapso de una cavidad esférica" . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . Serie 6. 34 (200): 94– 98. doi : 10.1080/14786440808635681 .
  2. ↑ Plesset, MS (1949). "La dinámica de las burbujas de cavitación" . Journal of Applied Mechanics . 16 (3): 228– 231. Bibcode : 1949JAM....16..277P . doi : 10.1115/1.4009975 . Archivado del original el 14 de agosto de 2023. Consultado el 2 de agosto de 2022 .
  3. 1 2 Leighton, TG (17 de abril de 2007). "Derivación de la ecuación de Rayleigh-Plesset en términos de volumen" . Southampton , Reino Unido: Instituto de Investigación del Sonido y la Vibración.
  4. 1 2 Lin, Hao; Brian D. Storey; Andrew J. Szeri (2002). "Inhomogeneidades impulsadas por inercia en burbujas que colapsan violentamente: la validez de la ecuación de Rayleigh-Plesset" . Journal of Fluid Mechanics . 452 (1): 145– 162. Bibcode : 2002JFM...452..145L . doi : 10.1017/S0022112001006693 . ISSN 0022-1120 . S2CID 17006496. Archivado del original el 8 de junio de 2019. Recuperado el 31 de mayo de 2012 .  
  5. ↑ Leighton, TG (enero de 2007). Derivación de la ecuación de Rayleigh-Plesset en términos de volumen (PDF) . Informe técnico ISVR n.º 308.
  6. ↑ Besant, WH (1859). "Artículo 158" . Tratado de hidrostática e hidrodinámica . Deighton, Bell. págs. 170–171 . 
  7. ^ Brennen , Christopher E. ( 1995 ) . Cavitación y dinámica de burbujas . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-509409-1.
  8. ↑ Kudryashov, Nikolay A.; Sinelshchikov, Dnitry I. (18 de septiembre de 2014). "Soluciones analíticas de la ecuación de Rayleigh para burbujas vacías y llenas de gas". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 47 (40) 405202. arXiv : 1409.6699 . Bibcode : 2014JPhA...47N5202K . doi : 10.1088/1751-8113/47/40/405202 . S2CID 118557571 . 
  9. 1 2 Kudryashov, Nikolay A.; Sinelshchikov, Dnitry I. (31 de diciembre de 2014). "Soluciones analíticas para problemas de dinámica de burbujas". Physics Letters A . 379 (8): 798– 802. arXiv : 1608.00811 . Bibcode : 2015PhLA..379..798K . doi : 10.1016/j.physleta.2014.12.049 . S2CID 119162123 . 
  10. ↑ Mancas, SC; Rosu, Haret C. (2016). "Cavitación de burbujas esféricas: soluciones paramétricas, numéricas y de forma cerrada". Physics of Fluids . 28 (2): 022009. arXiv : 1508.01157 . Bibcode : 2016PhFl...28b2009M . doi : 10.1063/1.4942237 . S2CID 118607832 . 
  11. ↑ Obreschkow, D.; Bruderer M.; Farhat, M. (5 de junio de 2012). "Aproximaciones analíticas para el colapso de una burbuja esférica vacía". Physical Review E . 85 (6) 066303. arXiv : 1205.4202 . Bibcode : 2012PhRvE..85f6303O . doi : 10.1103/PhysRevE.85.066303 . PMID 23005202 . S2CID 1160322 .