Espacio de coordenadas reales

En la notación matricial estándar , cada elemento de R ⁿ se escribe típicamente como un vector columna.$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$$ y a veces como un vector fila : $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

El espacio de coordenadas R ⁿ puede interpretarse entonces como el espacio de todos los vectores columna n × 1 , o todos los vectores fila 1 × n con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar .

Las transformaciones lineales de R ⁿ a R ^m pueden escribirse como matrices m × n que actúan sobre los elementos de R ⁿ mediante multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de R ⁿ son vectores columna) y sobre los elementos de R ^m mediante multiplicación por la derecha (cuando son vectores fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices , es: $${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _ {l=1}^{n}A_ {kl}x_ {l}}$$

Cualquier transformación lineal es una función continua (véase más abajo ). Además, una matriz define una aplicación abierta de R ⁿ a R ^m si y solo si el rango de la matriz es igual a m .

El espacio de coordenadas R ⁿ viene con una base estándar: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$$

Para ver que esto es una base, observe que un vector arbitrario en R ⁿ puede escribirse de forma única en la forma $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$$

El hecho de que los números reales , a diferencia de muchos otros campos , constituyan un campo ordenado, da lugar a una estructura de orientación en R ⁿ . Cualquier aplicación lineal de rango completo de R ⁿ sobre sí mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si se permutan las coordenadas (o, dicho de otro modo, los elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación .

Los difeomorfismos de R ⁿ o dominios en él , por su virtud de evitar el jacobiano cero , también se clasifican en preservadores de orientación e inversores de orientación. Esto tiene importantes consecuencias para la teoría de las formas diferenciales , cuyas aplicaciones incluyen la electrodinámica .

Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión puntual en R ⁿ tiene propiedades diferentes dependiendo de si n es par o impar . Para n par conserva la orientación, mientras que para n impar se invierte (véase también rotación impropia ).

R ^n, entendido como un espacio afín, es el mismo espacio donde R ^n, como espacio vectorial, actúa mediante traslaciones . Por el contrario, un vector debe entenderse como una " diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento de recta dirigido que los conecta. Esta distinción indica que no existe una elección canónica sobre dónde debe ubicarse el origen en un espacio afín n , ya que puede trasladarse a cualquier punto.

En un espacio vectorial real, como R ⁿ , se puede definir un cono convexo que contiene todas las combinaciones lineales no negativas de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es un conjunto convexo que solo admite combinaciones convexas (combinaciones lineales no negativas cuya suma es 1).

En el lenguaje del álgebra universal , un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal R ^∞ de secuencias finitas de coeficientes, que corresponden a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas cuya suma es 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de secuencias finitas de números no negativos) y un conjunto convexo es un álgebra sobre el simplex universal (de secuencias finitas de números no negativos cuya suma es 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".

Otro concepto del análisis convexo es una función convexa de R ⁿ a números reales, que se define mediante una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de los valores en esos puntos con los mismos coeficientes.

El producto escalar$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$$ define la norma | x | = √ x ⋅ x en el espacio vectorial R ⁿ . Si cada vector tiene su norma euclidiana , entonces para cualquier par de puntos la distancia $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _ {i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$$ se define, proporcionando una estructura de espacio métrico en R ⁿ además de su estructura afín.

En cuanto a la estructura del espacio vectorial, el producto escalar y la distancia euclidiana suelen asumirse en R ⁿ sin necesidad de explicaciones especiales. Sin embargo, el espacio real n- dimensional y un espacio euclidiano n- dimensional son, estrictamente hablando, objetos distintos. Cualquier espacio euclidiano n- dimensional posee un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclidiana tienen la forma mostrada anteriormente, denominado sistema cartesiano . Pero existen muchos sistemas de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano.

Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclidiana define la estructura euclidiana estándar en R ⁿ , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma cuadrática definida positiva q define su propia "distancia" √ q ( x − y ) , pero no es muy diferente de la euclidiana en el sentido de que $${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$$ Tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de ser un espacio métrico completo . Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de R ⁿ , o su transformación afín , no magnifica las distancias más de un valor fijo de C ₂ , y no las hace menores que 1 / C ₁ veces, un número fijo finito de veces menores.

La equivalencia de funciones métricas antes mencionada sigue siendo válida si se reemplaza √ q ( x − y ) por M ( x − y ) , donde M es cualquier función homogénea positiva convexa de grado 1, es decir, una norma vectorial (véase la distancia de Minkowski para ejemplos útiles). Debido a que cualquier métrica "natural" en R ⁿ no difiere especialmente de la métrica euclidiana, R ⁿ no siempre se distingue de un espacio euclidiano n- dimensional, incluso en trabajos matemáticos profesionales.

Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea R ⁿ , esta elección es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial .

Por otro lado, los teoremas de incrustación de Whitney establecen que cualquier variedad real diferenciable de dimensión m puede incrustarse en R ^{2 m} .

Otras estructuras consideradas en R ⁿ incluyen la de un espacio pseudoeuclidiano , la estructura simpléctica (para n par ) y la estructura de contacto (para n impar ). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse de forma independiente de las coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente sencillas) en coordenadas.

R ⁿ es también un subespacio vectorial real de C ⁿ que es invariante a la conjugación compleja ; véase también complejización .

Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios R ⁿ , para cualquier n , y pueden usarse para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio real n -dimensional. Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) donde cada x _k toma uno de solo dos valores, típicamente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1, por ejemplo -1 y 1. Un n -hipercubo puede pensarse como el producto cartesiano de n intervalos idénticos (como el intervalo unitario [ 0,1 ] ) en la recta real. Como subconjunto n -dimensional, puede describirse con un sistema de 2 n desigualdades : $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$$para [ 0,1 ] , y $${\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$$para [ −1,1 ] .

Cada vértice del politopo cruzado tiene, para algún k , la coordenada x _k igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (de modo que es el k -ésimo vector base estándar salvo signo ). Este es un politopo dual del hipercubo. Como subconjunto n -dimensional, se puede describir con una sola desigualdad que utiliza la operación de valor absoluto : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$$pero esto también se puede expresar con un sistema de 2 ^{n desigualdades lineales.}

El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el simplex estándar , cuyos vértices son n vectores base estándar y el origen (0, 0, ..., 0) . Como subconjunto n -dimensional, se describe mediante un sistema de n + 1 desigualdades lineales: $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$$ Sustituir todos los "≤" por "<" da como resultado los interiores de estos politopos.

Los casos n = 1 y n = 0 no ofrecen nada nuevo: R ¹ es la recta real , mientras que R ⁰ (el espacio que contiene el vector columna vacío) es un conjunto unitario , entendido como un espacio vectorial nulo . Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen diferentes n .

El caso ( x,y ), donde x e y son números reales, se ha desarrollado como el plano cartesiano P. Se ha añadido una estructura adicional con vectores euclidianos que representan segmentos de línea dirigidos en P. El plano también se ha desarrollado como una extensión de campo.${\displaystyle \mathbf {C} }$agregando raíces de X ² + 1 = 0 al campo real.${\displaystyle \mathbf {R} .}$La raíz i actúa sobre P como un cuarto de vuelta con orientación en sentido antihorario. Esta raíz genera el grupo${\displaystyle \{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$. Cuando ( x,y ) se escribe x + y i es un número complejo .

Otra acción grupal por${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$, donde el actor se ha expresado como j, utiliza la línea y = x para la involución de voltear el plano ( x,y ) ↦ ( y,x ), un intercambio de coordenadas. En este caso, los puntos de P se escriben x + y j y se denominan números complejos divididos . Estos números, con la suma y multiplicación coordenada por coordenada según jj =+1, forman un anillo que no es un cuerpo.

Otra estructura de anillo en P utiliza un nilpotente e para escribir x + y e para ( x,y ). La acción de e en P reduce el plano a una línea: se puede descomponer en la proyección sobre la coordenada x, luego girando un cuarto de vuelta el resultado sobre el eje y: e ( x + y e) = x e ya que e ² = 0. Un número x + y e es un número dual . Los números duales forman un anillo, pero, como e no tiene inverso multiplicativo, no genera un grupo, por lo que la acción no es una acción de grupo.

Excluir (0,0) de P hace que [ x  : y ] sean coordenadas proyectivas que describen la recta proyectiva real, un espacio unidimensional. Dado que el origen está excluido, existe al menos una de las razones x / y e y / x . Entonces [ x  : y ] = [ x / y  : 1] o [ x  : y ] = [1  : y / x ]. La recta proyectiva P ¹ ( R ) es una variedad topológica cubierta por dos cartas de coordenadas , [ z  : 1] → z o [1  : z ] → z , que forman un atlas . Para los puntos cubiertos por ambas cartas, la función de transición es la inversión multiplicativa en un entorno abierto del punto, lo que proporciona un homeomorfismo como se requiere en una variedad. Una aplicación de la recta proyectiva real se encuentra en la geometría métrica de Cayley-Klein .

R ⁴ se puede imaginar utilizando el hecho de que 16 puntos ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) , donde cada x _k es 0 o 1, son vértices de un teseracto (en la imagen), el 4-hipercubo (ver arriba ).

El primer uso importante de R ⁴ es un modelo espaciotemporal : tres coordenadas espaciales más una temporal . Esto se asocia generalmente con la teoría de la relatividad , aunque se han utilizado cuatro dimensiones para tales modelos desde Galileo . Sin embargo, la elección de la teoría conduce a una estructura diferente: en la relatividad galileana la coordenada t es privilegiada, pero en la relatividad einsteiniana no lo es. La relatividad especial se establece en el espacio de Minkowski . La relatividad general utiliza espacios curvos, que pueden considerarse como R ⁴ con una métrica curva para la mayoría de los propósitos prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (definida positiva) en R ⁴ .

El espacio euclidiano R ⁴ también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones , que constituyen un álgebra real de 4 dimensiones . Para más información, consulte las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones .

En geometría diferencial, n = 4 es el único caso en el que R ⁿ admite una estructura diferencial no estándar : véase R ⁴ exótico .