Cero de una función

Un gráfico de la función${\displaystyle \cos(x)}$para${\displaystyle x}$en${\displaystyle \left[-2\pi ,2\pi \right]}$, con ceros en${\displaystyle -{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}}$, y${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}},}$marcado en rojo

En matemáticas , un cero (también llamado a veces raíz ) de una función real , compleja o, en general, vectorial.${\displaystyle f}$, es miembro${\displaystyle x}$del dominio de${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f(x)}$desaparece en${\displaystyle x}$; es decir, la función${\displaystyle f}$alcanza el valor de 0 en${\displaystyle x}$, o equivalentemente,${\displaystyle x}$es una solución de la ecuación${\displaystyle f(x)=0}$. Un "cero" de una función es, por lo tanto, un valor de entrada que produce una salida de 0. ^{[ 1 ]}

Una raíz de un polinomio es un cero de la función polinómica correspondiente . ^{[ 2 ]} El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio no nulo tiene un número de raíces como máximo igual a su grado , y que el número de raíces y el grado son iguales cuando se consideran las raíces complejas (o, más generalmente, las raíces en una extensión algebraicamente cerrada ) contadas con sus multiplicidades . ^{[ 3 ]} Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle f}$de segundo grado, definido por${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$tiene las dos raíces (o ceros) que son 2 y 3 . $${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ y }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

Si la función asigna números reales a números reales, entonces sus ceros son los${\displaystyle x}$-coordenadas de los puntos donde su gráfica se cruza con el eje x . Un nombre alternativo para dicho punto.${\displaystyle (x,0)}$en este contexto es un${\displaystyle x}$-interceptar .

Cada ecuación en la incógnita${\displaystyle x}$puede ser reescrito como

${\displaystyle f(x)=0}$

reagrupando todos los términos del lado izquierdo. De ello se deduce que las soluciones de dicha ecuación son exactamente los ceros de la función.${\displaystyle f}$En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida al igualar la función a 0", y el estudio de los ceros de las funciones es exactamente el mismo que el estudio de las soluciones de las ecuaciones.

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando las multiplicidades ); asimismo, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. Por consiguiente, los polinomios reales impares deben tener al menos una raíz real (ya que el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede demostrar mediante el teorema del valor intermedio : dado que las funciones polinómicas son continuas , el valor de la función debe pasar por cero al cambiar de negativo a positivo o viceversa (lo cual siempre ocurre con las funciones impares).

Existen muchos métodos para calcular aproximaciones precisas de las raíces de funciones, siendo el mejor el método de Newton , véase Algoritmo de búsqueda de raíces .

Para los polinomios , existen algoritmos especializados que son más eficientes y pueden proporcionar todas las raíces o todas las raíces reales; consulte Búsqueda de raíces de polinomios y Aislamiento de raíces reales .

Algunos polinomios, incluidos todos aquellos de grado no mayor que 4, pueden tener todas sus raíces expresadas algebraicamente en términos de sus coeficientes; véase Solución en radicales .

En diversas áreas de las matemáticas, el conjunto de ceros de una función es el conjunto de todos sus ceros. Más precisamente, si${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es una función de valor real (o, más generalmente, una función que toma valores en algún grupo aditivo ), su conjunto cero es${\displaystyle f^{-1}(0)}$, la imagen inversa de${\displaystyle \{0\}}$en${\displaystyle X}$.

Bajo la misma hipótesis sobre el codominio de la función, un conjunto de nivel de una función${\displaystyle f}$es el conjunto cero de la función${\displaystyle fc}$para algunos${\displaystyle c}$en el codominio de${\displaystyle f.}$

El conjunto cero de una aplicación lineal también se conoce como su núcleo .

El conjunto cocero de la función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es el complemento del conjunto cero de${\displaystyle f}$(es decir, el subconjunto de${\displaystyle X}$en el cual${\displaystyle f}$es distinto de cero).

• Algoritmo de búsqueda de raíces
• El teorema de Bolzano establece que una función continua que toma signos opuestos en los extremos de un intervalo tiene al menos un cero en dicho intervalo.
• Según el teorema de Gauss-Lucas , los ceros complejos de la derivada de un polinomio se encuentran dentro de la envoltura convexa de las raíces del polinomio.
• El teorema de Marden , un refinamiento del teorema de Gauss-Lucas para polinomios de grado tres
• La conjetura de Sendov , un refinamiento hipotético del teorema de Gauss-Lucas.
• Cero en el infinito
• Cruce por cero , propiedad de la gráfica de una función cerca de un cero.
• Ceros y polos de funciones holomorfas

• Weisstein, Eric W. "Raíz" . MathWorld .