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Búsqueda de raíces de polinomios

Encontrar las raíces de polinomios es un problema de larga data que se ha estudiado extensamente a lo largo de la historia y ha influido sustancialmente en el desarrollo de las ...

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Encontrar las raíces de polinomios es un problema de larga data que se ha estudiado extensamente a lo largo de la historia y ha influido sustancialmente en el desarrollo de las matemáticas. Implica determinar una aproximación numérica o una expresión en forma cerrada de las raíces de un polinomio univariado, es decir, determinar soluciones aproximadas o en forma cerrada deincógnita{\displaystyle x}en la ecuación

a0+a1incógnita+a2incógnita2+⋯+anorteincógnitanorte=0{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=0}

dóndeai{\displaystyle a_{i}}son números reales o complejos .

Los esfuerzos por comprender y resolver ecuaciones polinómicas llevaron al desarrollo de importantes conceptos matemáticos, incluidos los números irracionales y complejos, así como estructuras fundamentales en el álgebra moderna, como cuerpos , anillos y grupos .

A pesar de su importancia histórica, encontrar las raíces de polinomios de grado superior ya no desempeña un papel central en las matemáticas y las matemáticas computacionales, con una excepción importante en el álgebra computacional . [ 1 ]

Descripción general

Fórmulas de forma cerrada

Las fórmulas analíticas para las raíces de polinomios existen únicamente cuando el grado del polinomio es menor que 5. La fórmula cuadrática se conoce desde la antigüedad, y las fórmulas cúbica y cuártica se descubrieron en toda su generalidad durante el siglo XVI.

Cuando el grado de un polinomio es al menos 5, en general no existe una expresión analítica para las raíces en función de sus coeficientes, si solo se utilizan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales (que toman raíces enésimas) en la fórmula. Esto se debe al célebre teorema de Abel-Ruffini . Por otro lado, el teorema fundamental del álgebra demuestra que todos los polinomios no constantes tienen al menos una raíz. Por lo tanto, los algoritmos para encontrar raíces consisten, en la mayoría de los casos, en hallar soluciones numéricas.

Algoritmos numéricos

Los algoritmos de búsqueda de raíces se pueden clasificar según el objetivo del cálculo. Algunos métodos buscan una única raíz, mientras que otros están diseñados para encontrar todas las raíces complejas a la vez. En ciertos casos, el objetivo puede ser encontrar raíces dentro de una región específica del plano complejo. A menudo es conveniente, e incluso necesario, seleccionar algoritmos específicos para la tarea computacional por razones de eficiencia y precisión. Consulte Métodos de búsqueda de raíces para obtener un resumen de los métodos existentes disponibles en cada caso.

Historia

Fórmulas de forma cerrada

El problema de encontrar las raíces de los polinomios fue reconocido primero por los sumerios y luego por los babilonios. Desde entonces, la búsqueda de fórmulas analíticas para ecuaciones polinómicas se prolongó durante miles de años.

Las ecuaciones cuadráticas

Los babilonios y los egipcios fueron capaces de resolver ecuaciones cuadráticas específicas en el segundo milenio a. C., y sus soluciones corresponden esencialmente a la fórmula cuadrática. [ 2 ]

Sin embargo, se necesitaron dos milenios de esfuerzo para enunciar la fórmula cuadrática de forma explícita, similar a la formulación moderna, proporcionada por el matemático indio Brahmagupta en su libro Brāhmasphuṭasiddhānta en el año 625 d. C. El pleno reconocimiento de la fórmula cuadrática requirió la introducción de los números complejos, lo que tomó otro milenio.

Los cúbicos y los cuárticos

El primer avance en una fórmula de forma cerrada para polinomios de grado superior a dos tuvo lugar en Italia. A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro encontró una fórmula de forma cerrada para ecuaciones cúbicas de la formaincógnita3+metroincógnita=norte{\displaystyle x^{3}+mx=n}, dóndemetro,norte{\displaystyle m,n}son números no negativos. Más tarde, Niccolò Tartaglia también descubrió métodos para resolver tales ecuaciones cúbicas, y Gerolamo Cardano resumió y publicó su trabajo en su libro Ars Magna en 1545.

Mientras tanto, Lodovico Ferrari, alumno de Cardano , descubrió la fórmula analítica de las ecuaciones cuárticas en 1540. Su solución se basa en la fórmula analítica de las ecuaciones cúbicas, por lo que tuvo que esperar hasta que se publicara la fórmula cúbica.

En Ars Magna, Cardano observó que el método de Tartaglia a veces implicaba extraer la raíz cuadrada de un número negativo. De hecho, esto podía ocurrir incluso si las raíces eran reales . Posteriormente, el matemático italiano Rafael Bombelli profundizó en estos objetos matemáticos al proporcionar reglas aritméticas explícitas en su libro Álgebra, publicado en 1569. Estos objetos matemáticos se conocen actualmente como números complejos , fundamentales en matemáticas, física e ingeniería.

Insolubilidad de los quínticos

Desde el descubrimiento de las fórmulas cúbicas y cuárticas, resolver ecuaciones quínticas en forma cerrada había sido un problema importante en álgebra. El abogado francés Viete , quien formuló por primera vez la fórmula de la raíz para ecuaciones cúbicas en lenguaje moderno y aplicó métodos trigonométricos a la resolución de raíces, creía que sus métodos se generalizaban a una fórmula en forma cerrada en radicales para polinomios de grado arbitrario. Descartes también compartía esta opinión. [ 3 ]

Sin embargo, Lagrange detectó las deficiencias de estos argumentos en su artículo de 1771, « Reflexiones sobre la teoría algebraica de las ecuaciones» , donde analizó por qué los métodos utilizados para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas no funcionarían para resolver ecuaciones quíntuples. Su argumento se basa en el estudio de la permutación de las raíces de ecuaciones polinómicas. No obstante, Lagrange seguía creyendo que existían fórmulas cerradas en radicales para las ecuaciones quíntuples. Gauss parece haber sido el primer matemático destacado que sospechó la insolubilidad de las ecuaciones quíntuples, como afirmó en su tesis doctoral de 1799.

El primer intento serio de demostrar la insolubilidad de la ecuación quíntica lo realizó el matemático italiano Paolo Ruffini. Publicó seis versiones de su demostración entre 1799 y 1813, pero no fue ampliamente aceptada debido a que el texto era extenso y difícil de entender, y además presentaba una laguna.

La primera demostración rigurosa y aceptada de la insolubilidad del polinomio quíntico fue presentada por Niels Henrik Abel en 1824, quien hizo un uso fundamental de la teoría de Galois sobre extensiones de cuerpos. En dicho artículo, Abel demostró que los polinomios de grado superior a 4 no poseen, en general, una fórmula cerrada para las raíces mediante radicales. Esto puso fin a la búsqueda de fórmulas cerradas para las raíces de polinomios mediante radicales de sus coeficientes.

Solución general mediante combinatoria

En 2025, Norman Wildberger y Dean Rubine introdujeron una solución general para grado arbitrario, que involucra una serie de potencias formal . La ecuación1−incógnita+a2incógnita2+a3incógnita3+a4incógnita4+...{\displaystyle 1-x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+...}tiene una solución

incógnita=∑metro2,metro3,...≥0(2metro2+3metro3+4metro4+...)¡(1+metro2+2metro3+...)¡metro2¡metro3¡...a2metro2a3metro3...{\displaystyle x=\sum _{m_{2},m_{3},...\geq 0}{{\frac {(2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}+...)!}{(1+m_{2}+2m_{3}+...)!m_{2}!m_{3}!...}}a_{2}^{m_{2}}a_{3}^{m_{3}}...}}

Esta es una generalización de una solución para ecuaciones cuadráticas utilizando números de Catalan.donorte{\displaystyle C_{n}}, para lo cual se reduce aincógnita=∑norte≥0donortetnorte{\displaystyle x=\sum _ {n\geq 0}C_ {n}t^{n}}. Para la quíntica, esto está estrechamente relacionado con la serie de Eisenstein . [ 4 ]

Métodos numéricos

Dado que encontrar una fórmula analítica para polinomios de grado superior es significativamente más difícil que para ecuaciones cuadráticas, los primeros intentos de resolver ecuaciones cúbicas fueron geométricos o numéricos. Además, para fines prácticos, las soluciones numéricas son necesarias.

Métodos iterativos

Los primeros métodos iterativos de aproximación para encontrar raíces se desarrollaron para calcular raíces cuadradas. En el libro Métrica de Herón de Alejandría (siglos I-II d. C.), se calcularon valores aproximados de raíces cuadradas mejorando iterativamente una estimación inicial. [ 5 ] Jamshīd al-Kāshī presentó una versión generalizada del método para calcularnorte{\displaystyle n}raíz enésima . Un método similar también se encontró en la publicación Trigonometria Britannica de Henry Briggs en 1633. Franciscus Vieta también desarrolló un método de aproximación que es casi idéntico al método de Newton.

Newton generalizó aún más el método para calcular las raíces de polinomios arbitrarios en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711), ahora conocido como el método de Newton . En 1690, Joseph Raphson publicó un refinamiento del método de Newton, presentándolo en una forma que se ajustaba más a la versión moderna utilizada hoy en día. [ 6 ]

En 1879, el matemático inglés Arthur Cayley observó las dificultades para generalizar el método de Newton a raíces complejas de polinomios de grado superior a 2 y valores iniciales complejos en su artículo « El problema imaginario de Newton-Fourier». Esto abrió el camino al estudio de la teoría de las iteraciones de funciones racionales.

Métodos de aislamiento de raíces reales

Una clase de métodos para hallar el valor numérico de las raíces reales se basa en el aislamiento de raíces reales . El primer ejemplo de este método lo dio René Descartes en 1637. Consiste en contar las raíces de un polinomio examinando los cambios de signo en sus coeficientes. En 1807, el matemático francés François Budan de Boislaurent generalizó el resultado de Descartes en el teorema de Budan , que cuenta las raíces reales en un intervalo semiabierto ( a , b ). Sin embargo, ninguno de los dos métodos resulta adecuado como algoritmo eficaz.

El primer algoritmo completo de aislamiento de raíces reales fue presentado por Jacques Charles François Sturm en 1829, conocido como el teorema de Sturm .

En 1836, Alexandre Joseph Hidulphe Vincent propuso un método para aislar raíces reales de polinomios utilizando fracciones continuas, un resultado conocido como el teorema de Vincent . El trabajo cayó en el olvido hasta que fue redescubierto más de un siglo después por J.V. Uspensky , quien lo incluyó en su libro de texto de 1948, Teoría de las ecuaciones . Posteriormente, el matemático estadounidense Alkiviadis G. Akritas dio a conocer el teorema a un público académico más amplio , reconociendo su importancia al estudiar el trabajo de Uspensky. [ 7 ] [ 8 ] La primera implementación del método de aislamiento de raíces reales mediante una computadora moderna fue realizada por G.E. Collins y Alkiviadis G. Akritas en 1976, quienes demostraron una versión efectiva del teorema de Vincent. Posteriormente se estudiaron variantes del algoritmo. [ 9 ]

Métodos mecánicos

Antes de la invención de las computadoras electrónicas, se utilizaban computadoras mecánicas para automatizar la resolución de problemas de raíces de polinomios. En 1758, el científico húngaro J.A. De Segner propuso en su artículo el diseño de una máquina para resolver raíces, la cual funcionaba dibujando la gráfica del polinomio en un plano y hallando las raíces como las intersecciones de la gráfica con el eje x. En 1770, el matemático inglés Jack Rowning investigó la posibilidad de dibujar la gráfica de polinomios mediante movimientos locales. [ 10 ]

En 1845, el matemático inglés Francis Bashforth propuso utilizar métodos trigonométricos para simplificar el problema de la búsqueda de raíces. Dado un polinomioa0+a1incógnita+...+anorteincógnitanorte=0{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0}, sustitutoincógnita=porque⁡t{\displaystyle x=\cos t}. Desdeporquenorte⁡t{\displaystyle \cos ^{n}t}se puede escribir como una combinación lineal deporque⁡kt,k∈Z{\displaystyle \cos kt,k\in \mathbb {Z} }(Véase polinomios de Chebyshev ), el polinomio se puede reformular de la siguiente forma

b0+b1porque⁡t+b2porque⁡(2t)+...+bnorteporque⁡(nortet){\displaystyle b_{0}+b_{1}\cos t+b_{2}\cos(2t)+...+b_{n}\cos(nt)}

Dichas curvas pueden ser trazadas por un analizador armónico (también conocido como máquina de predicción de mareas). [ 11 ] El primer analizador armónico fue construido por Lord Kelvin en 1872, mientras que Bashforth ya había imaginado una máquina similar en su artículo 27 años antes. [ 12 ]

El ingeniero y matemático español Leonardo Torres Quevedo construyó varias máquinas para resolver raíces reales y complejas de polinomios entre 1893 y 1900. Su máquina emplea un algoritmo logarítmico y tiene un componente mecánico llamado principio infinito para el valor deregistro⁡(a+b){\displaystyle \log(a+b)}deregistro⁡a,registro⁡b{\displaystyle \log a,\log b}con alta precisión. Esto le permite lograr una alta precisión en la búsqueda de raíces de polinomios: la máquina calcula las raíces de polinomios de grado 8 con una precisión de10−3{\displaystyle 10^{-3}}. [ 13 ]

Algoritmos comunes para la búsqueda de raíces

Encontrar una raíz

El método más utilizado para calcular una raíz de cualquier función diferenciableF{\displaystyle f} es el método de Newton , en el que se hace una suposición inicialincógnita0{\displaystyle x_{0}}se refina iterativamente. En cada iteración, la línea tangente aF{\displaystyle f}enincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}se utiliza como una aproximación lineal aF{\displaystyle f}y su raíz se utiliza como la siguiente suposiciónincógnitanorte+1{\displaystyle x_{n+1}}:

incógnitanorte+1=incógnitanorte−F(incógnitanorte)F′(incógnitanorte),{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},}

En general, el valor deincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}convergerá a una raíz deF{\displaystyle f}.

En particular, el método puede aplicarse para calcular la raíz de funciones polinómicas. En este caso, los cálculos del método de Newton pueden acelerarse utilizando el método de Horner o mediante un preprocesamiento para calcular el polinomio y su derivada en cada iteración.

Aunque la tasa de convergencia del método de Newton es generalmente cuadrática , podría converger mucho más lentamente o incluso no converger en absoluto. En particular, si el polinomio no tiene raíz real, yincógnita0{\displaystyle x_{0}}Si se elige un número real, entonces el método de Newton no puede converger. Sin embargo, si el polinomio tiene una raíz real, que es mayor que la raíz real mayor de su derivada, entonces el método de Newton converge cuadráticamente a esta raíz mayor siincógnita0{\displaystyle x_{0}}es mayor que esta raíz mayor (existen maneras sencillas de calcular una cota superior de las raíces; véase Propiedades de las raíces de polinomios ). Este es el punto de partida del método de Horner para calcular las raíces.

Estrechamente relacionados con el método de Newton se encuentran el método de Halley y el método de Laguerre . Ambos utilizan el polinomio y sus dos primeras derivadas para un proceso iterativo con convergencia cúbica . Al combinar dos pasos consecutivos de estos métodos en una sola prueba, se obtiene una tasa de convergencia de 9, con un coste de 6 evaluaciones del polinomio (según la regla de Horner). Por otro lado, al combinar tres pasos del método de Newton se obtiene una tasa de convergencia de 8 con el mismo número de evaluaciones del polinomio. Esto confiere una ligera ventaja a estos métodos (menos clara para el método de Laguerre, ya que se debe calcular una raíz cuadrada en cada paso).

Al aplicar estos métodos a polinomios con coeficientes reales y puntos de partida reales, los métodos de Newton y Halley se mantienen dentro de la recta real. Para hallar raíces complejas, es necesario elegir puntos de partida complejos. En cambio, el método de Laguerre, al incluir una raíz cuadrada en su evaluación, se desvía del eje real por sí solo.

Encontrar todas las raíces complejas

Métodos que utilizan aritmética de números complejos

Tanto el método de Aberth como el método de Durand-Kerner, similar pero más sencillo, hallan simultáneamente todas las raíces utilizando únicamente aritmética básica de números complejos . El método de Aberth es actualmente el más eficiente. Los algoritmos acelerados para la evaluación e interpolación multipunto, similares a la transformada rápida de Fourier, pueden contribuir a agilizar su procesamiento para polinomios de alto grado.

Existe una implementación gratuita del método de Aberth llamada MPSolve . Se trata de una implementación de referencia que permite hallar rutinariamente las raíces de polinomios de grado superior a 1000, con más de 1000 cifras decimales significativas.

Otro método de este estilo es el método de Dandelin-Gräffe (a veces también atribuido a Lobachevsky ), que utiliza transformaciones polinómicas para elevar al cuadrado las raíces de forma repetida e implícita. Esto magnifica enormemente las varianzas de las raíces. Aplicando las fórmulas de Viète , se obtienen aproximaciones sencillas para el módulo de las raíces y, con un poco más de esfuerzo, para las raíces mismas.

Métodos que utilizan álgebra lineal

Podría decirse que el método más fiable para hallar todas las raíces de un polinomio consiste en encontrar los autovalores de la matriz compañera del polinomio mónico, que coincide con las raíces del polinomio. Existen numerosos algoritmos para calcular los autovalores de matrices. El método estándar para hallar todas las raíces de un polinomio en MATLAB utiliza el algoritmo QR de Francis para calcular los autovalores de la matriz compañera correspondiente del polinomio. [ 14 ]

Mediante el uso de la estructura dispersa de la matriz compañera, algunos métodos especiales de iteración QR proporcionan todas las raíces complejas en aritmética O(n^2) y almacenamiento O(n). [ 15 ] [ 16 ]

En principio, se puede utilizar cualquier algoritmo de autovalores para encontrar las raíces del polinomio. Sin embargo, por razones de eficiencia, se prefieren los métodos que emplean la estructura de la matriz, es decir, que se pueden implementar sin utilizar matrices. Entre estos métodos se encuentra el método de la potencia , cuya aplicación a la transpuesta de la matriz compañera es el método clásico de Bernoulli para encontrar la raíz de mayor módulo. El método de la potencia inversa con desplazamientos, que encuentra primero alguna raíz más pequeña, es el que impulsa la variante compleja ( cpoly ) del algoritmo de Jenkins-Traub y le confiere su estabilidad numérica. Además, tiene una convergencia rápida de orden1+φ≈2.6{\displaystyle 1+\varphi \approx 2.6}(dóndeφ{\displaystyle \varphi }es la proporción áurea ) incluso en presencia de raíces agrupadas. Esta rápida convergencia tiene un costo de tres evaluaciones polinómicas por paso, lo que resulta en un residuo de O (| f ( x )| 2+3 φ ) , que es una convergencia más lenta que con tres pasos del método de Newton.

Limitaciones de los métodos iterativos para encontrar todas las raíces

El método más antiguo para encontrar todas las raíces consiste en comenzar por encontrar una sola raíz. Una vez encontrada una raíz r , se puede eliminar del polinomio dividiendo el binomio x – r . El polinomio resultante contiene las raíces restantes, que se pueden encontrar iterando este proceso. Esta idea, a pesar de ser común en las derivaciones teóricas, no funciona bien en los cálculos numéricos debido al fenómeno de la inestabilidad numérica : el polinomio de Wilkinson muestra que una modificación muy pequeña de un coeficiente puede cambiar drásticamente no solo el valor de las raíces, sino también su naturaleza (real o compleja). Además, incluso con una buena aproximación, cuando se evalúa un polinomio en una raíz aproximada, se puede obtener un resultado demasiado cercano a cero. Por ejemplo, si un polinomio de grado 20 (el grado del polinomio de Wilkinson) tiene una raíz cercana a 10, la derivada del polinomio en la raíz puede ser del orden de1020;{\displaystyle 10^{20};}esto implica que un error de10−10{\displaystyle 10^{-10}}sobre el valor de la raíz puede producir un valor del polinomio en la raíz aproximada que es del orden de1010.{\displaystyle 10^{10}.}

Encontrar todas las raíces reales

Hallar las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales es un problema que ha recibido mucha atención desde principios del siglo XIX y que sigue siendo un campo de investigación activo.

Los métodos para hallar todas las raíces complejas pueden proporcionar las raíces reales. Sin embargo, debido a la inestabilidad numérica de los polinomios, puede ser necesario utilizar aritmética de precisión arbitraria para determinar si una raíz con una pequeña parte imaginaria es real o no. Además, dado que el número de raíces reales es, en promedio, proporcional al logaritmo del grado, [ 17 ] resulta un desperdicio de recursos computacionales calcular las raíces no reales cuando lo que interesa son las reales.

El método estándar para calcular raíces reales consiste en calcular primero intervalos disjuntos, llamados intervalos aislantes , de modo que cada uno contenga exactamente una raíz real y, en conjunto, contengan todas las raíces. Este cálculo se denomina aislamiento de raíces reales . Al disponer de un intervalo aislante, se pueden utilizar métodos numéricos rápidos, como el método de Newton, para mejorar la precisión del resultado.

El algoritmo completo más antiguo para aislar raíces reales se deriva del teorema de Sturm . Sin embargo, resulta mucho menos eficiente que los métodos basados ​​en la regla de los signos de Descartes y sus extensiones: los teoremas de Budan y Vincent . Estos métodos se dividen en dos clases principales: una que utiliza fracciones continuas y otra que utiliza la bisección. Ambos métodos han experimentado mejoras significativas desde principios del siglo XXI. Gracias a estas mejoras, alcanzan una complejidad computacional similar a la de los mejores algoritmos para calcular todas las raíces (incluso cuando todas son reales).

Estos algoritmos se han implementado y están disponibles en Mathematica (método de fracciones continuas) y Maple (método de bisección), así como en otros sistemas principales de álgebra computacional ( SageMath , PARI/GP ). Ambas implementaciones pueden hallar rutinariamente las raíces reales de polinomios de grado superior a 1000.

Encontrar raíces en un dominio restringido

Existen varias pruebas rápidas que permiten determinar si un segmento de la recta real o una región del plano complejo carece de raíces. Al acotar el módulo de las raíces y subdividir recursivamente la región inicial delimitada por estos límites, se pueden aislar pequeñas regiones que podrían contener raíces y, posteriormente, aplicar otros métodos para localizarlas con precisión.

Todos estos métodos implican encontrar los coeficientes de versiones desplazadas y escaladas del polinomio. Para grados grandes, los métodos acelerados basados ​​en la transformada rápida de Fourier (FFT) resultan viables.

El algoritmo de Lehmer-Schur utiliza la prueba de Schur-Cohn para círculos; una variante, el algoritmo de bisección global de Wilf, utiliza un cálculo del número de vueltas para regiones rectangulares en el plano complejo.

El método del círculo divisor utiliza transformaciones polinómicas basadas en la transformada rápida de Fourier (FFT) para hallar factores de alto grado que corresponden a grupos de raíces. La precisión de la factorización se maximiza mediante una iteración de tipo Newton. Este método resulta útil para hallar las raíces de polinomios de alto grado con precisión arbitraria; en este contexto, presenta una complejidad casi óptima.

Encontrar raíces complejas en pares

Si el polinomio dado solo tiene coeficientes reales, conviene evitar los cálculos con números complejos. Para ello, es necesario hallar factores cuadráticos para pares de raíces complejas conjugadas. La aplicación del método de Newton multidimensional a esta tarea da como resultado el método de Bairstow .

La variante real del algoritmo de Jenkins-Traub es una mejora de este método.

Polinomios con coeficientes racionales

Para polinomios cuyos coeficientes se expresan con exactitud como números enteros o racionales , existe un método eficiente para factorizarlos en factores con raíces simples y cuyos coeficientes también se expresan con precisión. Este método, denominado factorización libre de cuadrados , se basa en que las raíces múltiples de un polinomio son las raíces del máximo común divisor del polinomio y su derivada.

La factorización libre de cuadrados de un polinomio p es una factorizaciónpag=pag1pag22⋯pagkk{\displaystyle p=p_{1}p_{2}^{2}\cdots p_{k}^{k}}donde cadapagi{\displaystyle p_{i}}es o bien 1 o un polinomio sin raíces múltiples, y dos diferentespagi{\displaystyle p_{i}}no tienen ninguna raíz común.

Un método eficiente para calcular esta factorización es el algoritmo de Yun .

Véase también

Referencias

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