Matriz diagonal

En álgebra lineal , una matriz diagonal es una matriz en la que las entradas fuera de la diagonal principal son todas cero; el término generalmente se refiere a matrices cuadradas . Los elementos de la diagonal principal pueden ser cero o distintos de cero. Un ejemplo de una matriz diagonal de 2×2 es${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$, mientras que un ejemplo de una matriz diagonal de 3×3 es${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$. Una matriz identidad de cualquier tamaño, o cualquier múltiplo de ella, es una matriz diagonal llamada matriz escalar , por ejemplo,${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$En geometría , una matriz diagonal puede usarse como matriz de escala , ya que la multiplicación de matrices con ella produce un cambio de escala (tamaño) y posiblemente también de forma ; solo una matriz escalar produce un cambio de escala uniforme.

Como se indicó anteriormente, una matriz diagonal es una matriz en la que todas las entradas fuera de la diagonal son cero. Es decir, la matriz D = ( d _{i , j} ) con n columnas y n filas es diagonal si $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

Sin embargo, las entradas de la diagonal principal no tienen restricciones.

El término matriz diagonal a veces puede referirse a unamatriz diagonal rectangular , que es unamporncon todas las entradas que no son de la forma d _{i , siendo i} cero. Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{o}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

Sin embargo, con mayor frecuencia, matriz diagonal se refiere a matrices cuadradas, que pueden especificarse explícitamente como unamatriz diagonal cuadrada . Una matriz diagonal cuadrada es unamatriz simétrica, por lo que también se la puede llamar matriz diagonal.matriz diagonal simétrica .

La siguiente matriz es una matriz diagonal cuadrada: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

Si las entradas son números reales o números complejos , entonces también se trata de una matriz normal .

En el resto de este artículo, consideraremos únicamente matrices diagonales cuadradas y nos referiremos a ellas simplemente como "matrices diagonales".

Se puede construir una matriz diagonal D a partir de un vector.${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$usando el${\displaystyle \operatorname {diag} }$operador: $${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots,a_{n}).}$$

Esto puede escribirse de forma más compacta como${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$.

El mismo operador también se utiliza para representar matrices diagonales por bloques como${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots,\mathbf {A} _ {n})}$donde cada argumento A _i es una matriz.

El operador diag puede escribirse como $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} ,}$$ dónde${\displaystyle \circ }$representa el producto de Hadamard , y 1 es un vector constante con elementos 1.

El operador diag de matriz inversa a vector a veces se denota con el mismo nombre${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$donde el argumento es ahora una matriz y el resultado es un vector de sus elementos diagonales.

La siguiente propiedad es: $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1}.}$$

Una matriz diagonal con entradas diagonales iguales es una matriz escalar ; es decir, un múltiplo escalar λ de la matriz identidad I. Su efecto sobre un vector es la multiplicación escalar por λ . Por ejemplo, una matriz escalar de 3×3 tiene la forma: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

Las matrices escalares son el centro del álgebra de matrices: es decir, son precisamente las matrices que conmutan con todas las demás matrices cuadradas del mismo tamaño. ^{[ a ]} ​​Por el contrario, sobre un cuerpo (como los números reales), una matriz diagonal con todos los elementos diagonales distintos solo conmuta con matrices diagonales (su centralizador es el conjunto de matrices diagonales). Esto se debe a que si una matriz diagonal${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$tiene${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$luego dada una matriz M con${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$Los términos ( i , j ) de los productos son:${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$y${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$y${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$(ya que se puede dividir por m _ij ), por lo que no conmutan a menos que los términos fuera de la diagonal sean cero. ^{[ b ]} Las matrices diagonales donde las entradas diagonales no son todas iguales o todas distintas tienen centralizadores intermedios entre todo el espacio y solo matrices diagonales. ^{[ 1 ]}

Para un espacio vectorial abstracto V (en lugar del espacio vectorial concreto K ⁿ ), el análogo de las matrices escalares son las transformaciones escalares . Esto es cierto de forma más general para un módulo M sobre un anillo R , donde el álgebra de endomorfismos End( M ) (álgebra de operadores lineales en M ) reemplaza al álgebra de matrices. Formalmente, la multiplicación escalar es una aplicación lineal que induce una aplicación${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$(de un escalar λ a su correspondiente transformación escalar, multiplicación por λ ) exhibiendo End( M ) como un R - álgebra . Para espacios vectoriales, las transformaciones escalares son exactamente el centro del álgebra de endomorfismos y, de manera similar, las transformaciones escalares invertibles son el centro del grupo lineal general GL( V ) . Lo primero es, más generalmente, módulos libres verdaderos${\displaystyle M\cong R^{n},}$para la cual el álgebra de endomorfismos es isomorfa a un álgebra de matrices.

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada uno de los términos por la entrada diagonal correspondiente. Dada una matriz diagonal${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$y un vector${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$, el producto es: $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Esto se puede expresar de forma más compacta utilizando un vector en lugar de una matriz diagonal.${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$y tomando el producto de Hadamard de los vectores (producto elemento a elemento), denotado${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$:

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Esto es matemáticamente equivalente, pero evita almacenar todos los términos cero de esta matriz dispersa . Este producto se utiliza, por lo tanto, en el aprendizaje automático , como para calcular productos de derivadas en la retropropagación o multiplicar pesos IDF en TF-IDF , ^{[ 2 ]} ya que algunos marcos BLAS , que multiplican matrices de manera eficiente, no incluyen la capacidad del producto de Hadamard directamente. ^{[ 3 ]}

Las operaciones de suma y multiplicación de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Escribimos diag( a ₁ , ..., a _n ) para una matriz diagonal cuyos elementos diagonales, comenzando en la esquina superior izquierda, son a ₁ , ..., a _n . Entonces, para la suma , tenemos

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

y para la multiplicación de matrices ,

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

La matriz diagonal diag( a ₁ , ..., a _n ) es invertible si y solo si las entradas a ₁ , ..., a _n son todas distintas de cero. En este caso, tenemos

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de todas las matrices de n por n .

Multiplicar una matriz A de n por n desde la izquierda con diag( a ₁ , ..., a _n ) equivale a multiplicar la i -ésima fila de A por a _i para todo i ; multiplicar la matriz A desde la derecha con diag( a ₁ , ..., a _n ) equivale a multiplicar la i -ésima columna de A por a _i para todo i .

Como se explica en la determinación de los coeficientes de la matriz del operador , existe una base especial, e ₁ , ..., e _n , para la cual la matriz A toma la forma diagonal. Por lo tanto, en la ecuación de definición${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, todos los coeficientes a _{i, j} con i ≠ j son cero, quedando solo un término por suma. Los elementos diagonales restantes, a _{i, j} , se conocen como autovalores y se designan con λ _i en la ecuación, que se reduce a${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$La ecuación resultante se conoce como ecuación de valores propios ^{[ 4 ]} y se utiliza para derivar el polinomio característico y, además, los valores propios y los vectores propios .

En otras palabras, los valores propios de diag( λ ₁ , ..., λ _n ) son λ ₁ , ..., λ _n con vectores propios asociados de e ₁ , ..., e _n .

• El determinante de diag( a ₁ , ..., a _n ) es el producto a ₁ ⋯ a _n .
• La matriz adjugada de una matriz diagonal también es diagonal.
• Donde todas las matrices son cuadradas,
  • Una matriz es diagonal si y solo si es triangular y normal .
  • Una matriz es diagonal si y solo si es triangular superior e inferior .
  • Una matriz diagonal es simétrica .
• La matriz identidad I _n y la matriz cero son diagonales.
• Una matriz de 1×1 siempre es diagonal.
• El cuadrado de una matriz de 2×2 con traza cero siempre es diagonal.
• La inversa de una matriz diagonal se obtiene tomando los recíprocos de los elementos de la diagonal.

Las matrices diagonales aparecen en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencilla descripción de la operación matricial y de los valores/vectores propios que se ha dado anteriormente, suele ser conveniente representar una matriz o una función lineal mediante una matriz diagonal.

De hecho, una matriz A de n x n es similar a una matriz diagonal (lo que significa que existe una matriz X tal que X ⁻¹ AX es diagonal) si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes . Se dice que dichas matrices son diagonalizables .

En el campo de los números reales o complejos , se cumplen más proposiciones. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente similar a una matriz diagonal (si AA ^∗ = A ^∗ A, entonces existe una matriz unitaria U tal que UAU ^∗ es diagonal). Además, la descomposición en valores singulares implica que para cualquier matriz A , existen matrices unitarias U y V tales que U ^∗ AV es diagonal con entradas positivas.

En la teoría de operadores , particularmente en el estudio de las EDP , los operadores son particularmente fáciles de entender y las EDP fáciles de resolver si el operador es diagonal con respecto a la base con la que se trabaja; esto corresponde a una ecuación diferencial parcial separable . Por lo tanto, una técnica clave para entender los operadores es un cambio de coordenadas —en el lenguaje de los operadores, una transformación integral— que cambia la base a una base propia de autofunciones : lo que hace que la ecuación sea separable. Un ejemplo importante de esto es la transformada de Fourier , que diagonaliza operadores de diferenciación de coeficiente constante (o más generalmente operadores invariantes por traslación), como el operador laplaciano, por ejemplo, en la ecuación del calor .

Especialmente fáciles son los operadores de multiplicación , que se definen como la multiplicación por (los valores de) una función fija; los valores de la función en cada punto corresponden a las entradas diagonales de una matriz.

• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6