Reducción de orden de modelo

La reducción del orden del modelo (MOR, por sus siglas en inglés) es una técnica para reducir la complejidad computacional de los modelos matemáticos en simulaciones numéricas . Como tal, está estrechamente relacionada con el concepto de metamodelado , con aplicaciones en todas las áreas del modelado matemático .

Muchos modelos matemáticos modernos de procesos reales presentan dificultades al utilizarse en simulaciones numéricas , debido a su complejidad y gran tamaño (dimensión). La reducción del orden del modelo busca disminuir la complejidad computacional de estos problemas, por ejemplo, en simulaciones de sistemas dinámicos y de control a gran escala . Al reducir la dimensión del espacio de estados o los grados de libertad asociados al modelo , se obtiene una aproximación al modelo original, comúnmente denominada modelo de orden reducido.

Los modelos de orden reducido son útiles en entornos donde a menudo no es factible realizar simulaciones numéricas utilizando el modelo completo de orden completo. Esto puede deberse a limitaciones en los recursos computacionales o a los requisitos del entorno de simulación, por ejemplo, entornos de simulación en tiempo real o entornos de múltiples consultas en los que se necesita realizar un gran número de simulaciones. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Ejemplos de entornos de simulación en tiempo real incluyen sistemas de control en electrónica y visualización de resultados de modelos, mientras que ejemplos para un entorno de múltiples consultas pueden incluir problemas de optimización y exploración de diseño. Para ser aplicable a problemas del mundo real, a menudo los requisitos de un modelo de orden reducido son: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Un pequeño error de aproximación en comparación con el modelo de orden completo.
• Conservación de las propiedades y características del modelo de orden completo (por ejemplo, estabilidad y pasividad en electrónica).
• Técnicas de modelado de orden reducido computacionalmente eficientes y robustas.

Es interesante observar que en algunos casos (por ejemplo, la agrupación restringida de ecuaciones diferenciales polinómicas) es posible tener un error de aproximación nulo, lo que resulta en una reducción exacta del orden del modelo. ^{[ 5 ]}

Las técnicas contemporáneas de reducción de orden de modelos se pueden clasificar ampliamente en 5 clases: ^{[ 1 ] [ 6 ]}

• Métodos de descomposición ortogonal propia . ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• Métodos de base reducida. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• Métodos de equilibrio ^{[ 11 ]}
• Física simplificada ^{[ 12 ]} o métodos de reducción basados ​​en operaciones. ^{[ 3 ]}
• Métodos de reducción de modelos no lineales y de variedades. ^{[ 13 ]}

El enfoque de física simplificada puede describirse como análogo al enfoque tradicional de modelado matemático , en el que se construye una descripción menos compleja de un sistema a partir de supuestos y simplificaciones, utilizando la comprensión física o información derivada de otros métodos. Sin embargo, este enfoque no suele ser objeto de debate en el contexto de la reducción del orden de los modelos, ya que se trata de un método general en ciencia, ingeniería y matemáticas.

La descomposición ortogonal propia, la base reducida y los métodos de balanceo se engloban en la categoría de reducción basada en proyección. La reducción basada en proyección se basa en la proyección de las ecuaciones del modelo o de la solución sobre una base de dimensionalidad reducida en comparación con el espacio de soluciones original. Otros métodos que también pertenecen a esta categoría, aunque quizás menos comunes, son:

• Descomposición generalizada adecuada ^{[ 14 ]}
• Interpolación matricial ^{[ 15 ]}
• interpolación de la función de transferencia
• Interpolación tangencial por partes
• Marco de Loewner
• (Empírico) cruz Gramiana
• Métodos de subespacio de Krylov ^{[ 16 ]}

Los métodos de reducción de modelos no lineales y de variedades derivan aproximaciones no lineales en variedades y, por lo tanto, pueden lograr una mayor precisión con el mismo número de grados de libertad que los métodos tradicionales que obtienen aproximaciones lineales en subespacios. ^{[ 13 ]} El uso de aproximaciones no lineales es esencial para reducir eficientemente ciertas clases de problemas, como problemas de ondas y problemas dominados por advección en dinámica de fluidos computacional. La naturaleza y los principios subyacentes a los métodos de reducción de modelos no lineales son amplios e incluyen métodos basados ​​en plantillas, ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} el uso de redes neuronales ^{[ 20 ] [ 21 ]} y espacios adaptativos en línea. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

También existen métodos de reducción de modelos no intrusivos que aprenden modelos reducidos a partir de datos sin necesidad de conocer las ecuaciones que rigen el modelo y los detalles internos del modelo completo de alta fidelidad. Los métodos no intrusivos aprenden un espacio de aproximación o variedad de baja dimensión y los operadores reducidos que representan la dinámica reducida a partir de los datos. Algunos métodos no intrusivos son:

• Descomposición de modo dinámico ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• Inferencia de operadores ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• Marco de Loewner ^{[ 29 ] [ 30 ]}

• RBmatlab: Una biblioteca de MATLAB que contiene todos los enfoques de simulación reducida para problemas de evolución lineales y no lineales, afines o con parámetros arbitrarios, con discretizaciones de elementos finitos, volúmenes finitos o Galerkin discontinuo local.
• Reducción de modelos en ANSYS: implementa una reducción de orden de modelo basada en Krylov para modelos multifísicos de elementos finitos en Ansys. La simplificación de modelos mediante la Reducción de modelos en Ansys es adecuada para estrategias de optimización en el desarrollo de componentes, así como para integrar modelos compactos en una simulación de sistema global en los campos de la electrónica, la automoción o los microsistemas. A pesar de la reducción, se conservan los parámetros de análisis, lo que permite obtener resultados rápidos en cuanto a diseños y simulaciones de sistemas.
• pyMOR: pyMOR es una biblioteca de software para desarrollar aplicaciones de reducción de orden de modelos con el lenguaje de programación Python . Su enfoque principal reside en la aplicación de métodos de base reducida a ecuaciones diferenciales parciales parametrizadas. Todos los algoritmos de pyMOR están formulados en términos de interfaces abstractas para una integración perfecta con solucionadores externos de EDP de alta dimensión. Además, se proporcionan implementaciones en Python puro de discretizaciones de elementos finitos y volúmenes finitos utilizando el conjunto de herramientas de computación científica NumPy/SciPy para comenzar rápidamente.
• emgr: Marco Gramiano EmpíricoLos gramianos empíricos pueden calcularse para sistemas de control lineales y no lineales con el fin de reducir el orden del modelo, cuantificar la incertidumbre o identificar el sistema. ^{[ 31 ]} El marco emgr es una caja de herramientas compacta de código abierto para la reducción de modelos basada en gramianos y es compatible con OCTAVE y MATLAB.
• KerMor: Una biblioteca de MATLAB© orientada a objetos que proporciona rutinas para la reducción del orden de modelos de sistemas dinámicos no lineales. La reducción se puede lograr mediante proyección de subespacios y aproximación de no linealidades mediante métodos de núcleos o DEIM. Se implementan fácilmente procedimientos estándar como el método POD-Greedy, así como estimadores de error a posteriori avanzados para diversas configuraciones de sistema. KerMor también incluye varios ejemplos prácticos y algunos archivos de demostración para familiarizarse rápidamente con la funcionalidad que ofrece.
• JaRMoS: JaRMoS significa "Java Reduced Model Simulations" (Simulaciones de Modelos Reducidos en Java) y tiene como objetivo permitir la importación y simulación de diversos modelos reducidos de múltiples fuentes en cualquier plataforma compatible con Java. Hasta el momento, se ofrece soporte para los modelos reducidos de RBmatlab, KerMor y rbMIT, aunque solo se pueden importar los modelos rbMIT publicados previamente con la aplicación rbAppMIT para Android. Las extensiones disponibles actualmente incluyen una versión de escritorio para ejecutar modelos reducidos y próximamente se añadirá soporte inicial para los modelos reducidos basados ​​en el kernel de KerMor.
• MORLAB: Laboratorio de Reducción de Orden de Modelos. Esta caja de herramientas es una colección de rutinas de MATLAB/OCTAVE para la reducción de orden de modelos de sistemas dinámicos lineales a partir de la solución de ecuaciones matriciales. La implementación se basa en métodos de proyección espectral, por ejemplo, métodos basados ​​en la función signo de la matriz y la función disco de la matriz.
• Dune-RB: Un módulo para la biblioteca Dune que implementa clases plantilla de C++ para su uso en la generación de instantáneas y fases offline de RB para diversas discretizaciones. Además de los algoritmos de un solo núcleo, el paquete también busca utilizar técnicas de paralelización para una generación eficiente de instantáneas.
• libROM: Colección de clases C++ que calculan la reducción de orden de modelo y la hiperreducción para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. libROM incluye métodos adaptativos, escalables y paralelos para la descomposición ortogonal propia, métodos no adaptativos paralelos para la hiperreducción y la descomposición aleatoria en valores singulares. libROM también incluye la capacidad de descomposición de modo dinámico. libROM cuenta con capacidad de muestreo voraz basado en la física.
• Pressio: Pressio es un proyecto de código abierto cuyo objetivo es mitigar la naturaleza intrusiva de los modelos de orden reducido basados ​​en proyecciones para códigos de gran escala. El núcleo del proyecto es una biblioteca C++ de solo cabecera que aprovecha la programación genérica para interactuar con aplicaciones de memoria compartida o distribuida que utilizan tipos de datos arbitrarios. Pressio proporciona numerosas funcionalidades y solucionadores para realizar la reducción de modelos, como las proyecciones de Galerkin y Petrov-Galerkin por mínimos cuadrados. El ecosistema de Pressio también ofrece: (1) pressio4py , una biblioteca de enlace de Python para facilitar la creación de prototipos, (2) pressio-tutorials , una biblioteca que también ofrece demostraciones de extremo a extremo con las que se puede jugar fácilmente, que se puede encontrar en https://pressio.github.io/pressio-tutorials/ , (3) pressio-tools , una biblioteca para SVD, QR y mallas de muestra a gran escala, y (4) pressio-demoapps, un conjunto de aplicaciones de demostración 1d, 2d y 3d para probar ROMs e hiperreducción.
• PyDMD: PyDMD es un paquete de Python que implementa la reducción de orden de modelos basada en datos mediante la descomposición de modo dinámico (DMD), un algoritmo desarrollado por Schmid. ^{[ 25 ]} DMD se utiliza para analizar la dinámica de sistemas no lineales y se basa únicamente en mediciones de alta fidelidad, lo que lo convierte en un algoritmo sin ecuaciones.

La reducción del orden del modelo encuentra aplicación en todos los campos que involucran modelado matemático y existen muchas revisiones ^{[ 12 ] [ 14 ]} para los temas de electrónica , ^{[ 32 ]} mecánica de fluidos , ^{[ 33 ]} hidrodinámica , ^{[ 34 ]} mecánica estructural , ^{[ 7 ]} MEMS , ^{[ 35 ]} ecuación de Boltzmann , ^{[ 8 ]} y optimización del diseño . ^{[ 15 ] [ 36 ]}

• Reducción de dimensiones
• Metamodelado
• Análisis de componentes principales
• Descomposición en valores singulares
• Reducción de dimensionalidad no lineal
• Identificación del sistema
• Algoritmo racional iterativo de Krylov (IRKA)

• Antoulas, Athanasios C. (2005). Aproximación de sistemas dinámicos a gran escala . SIAM. doi : 10.1137/1.9780898718713 . ISBN 978-0-89871-529-3. S2CID 117896525 . 

• Benner, Peter; Fassbender, Heike (2014), "Reducción del orden del modelo: técnicas y herramientas" (PDF) , Enciclopedia de sistemas y control , Springer, doi : 10.1007/978-1-4471-5102-9_142-1 , ISBN 978-1-4471-5102-9, S2CID 11873649 

• Antoulas, AC; Sorensen, DC; Gugercin, S. (2001), "Un estudio de los métodos de reducción de modelos para sistemas a gran escala" (PDF) , Matrices estructuradas en matemáticas, informática e ingeniería, I (Boulder, CO, 1999) , Matemáticas contemporáneas, vol.  280, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 193–219 , CiteSeerX 10.1.1.210.9685 , doi : 10.1090/conm/280/04630 , ISBN   978-0-8218-1921-0, MR 1850408 

• Benner, Peter; Gugercin, Serkan; Willcox, Karen (2013), Un estudio de los métodos de reducción de modelos para sistemas paramétricos (PDF)

• Baur, Ulrike; Benner, Peter; Feng, Lihong (2014), "Reducción del orden del modelo para sistemas lineales y no lineales: una perspectiva de la teoría de sistemas" (PDF) , Archives of Computational Methods in Engineering , 21 (4): 331–358 , doi : 10.1007/s11831-014-9111-2 , S2CID 39068644 

• Benner, Peter; Cohen, Albert; Ohlberger, Mario; Willcox, Karen (2017). Reducción y aproximación de modelos: teoría y algoritmos . SIAM Publications. doi : 10.1137/1.9781611974829 . ISBN 978-1-611974-81-2.

• Antoulas, Athanasios C.; Beattie, Christopher A.; Gugercin, Serkan (2020). Métodos de interpolación para la reducción de modelos . SIAM. doi : 10.1137/1.9781611976083 . ISBN 978-1-61197-607-6.

• Wiki de reducción de orden modelo
• Reducción de modelos para sistemas parametrizados
• Red Europea de Reducción de Modelos