Reflexiones de señales en líneas conductoras

Reflectómetro en el dominio del tiempo ; un instrumento utilizado para localizar la posición de fallas en las líneas a partir del tiempo que tarda una onda reflejada en regresar desde la discontinuidad.

Una señal que viaja a lo largo de una línea de transmisión eléctrica se reflejará parcial o totalmente en sentido contrario cuando encuentre una discontinuidad en la impedancia característica de la línea, o si el extremo de la línea no termina en su impedancia característica. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si se unen dos tramos de líneas de transmisión diferentes.

Este artículo trata sobre las reflexiones de señales en líneas conductoras . Dichas líneas se conocen comúnmente como líneas de cobre y, de hecho, en telecomunicaciones suelen estar hechas de este metal, aunque también se utilizan otros metales, especialmente aluminio en las líneas eléctricas. Si bien este artículo se limita a describir las reflexiones en líneas conductoras, se trata esencialmente del mismo fenómeno que las reflexiones ópticas en líneas de fibra óptica y las reflexiones de microondas en guías de onda .

Las reflexiones provocan diversos efectos indeseables, como la modificación de las respuestas en frecuencia , la sobrecarga de potencia en los transmisores y las sobretensiones en las líneas eléctricas . Sin embargo, el fenómeno de reflexión puede resultar útil en dispositivos como los stubs y los transformadores de impedancia . Los casos especiales de circuito abierto y cortocircuito son de particular relevancia para los stubs.

Las reflexiones generan ondas estacionarias en la línea. A la inversa, las ondas estacionarias indican la presencia de reflexiones. Existe una relación entre el coeficiente de reflexión y la relación de ondas estacionarias .

Casos específicos

Hay varios enfoques para comprender las reflexiones, pero la relación de las reflexiones con las leyes de conservación es particularmente esclarecedora. Un ejemplo simple es un voltaje escalonado, $V\,u(t)$ (dónde $V$ es la altura del escalón y $u(t)$ es la función escalón unitario con tiempo $t$ ), aplicado a un extremo de una línea sin pérdidas, y consideremos qué sucede cuando la línea se termina de varias maneras. El escalón se propagará a lo largo de la línea según la ecuación del telegrafista a cierta velocidad $\kappa$ y la tensión incidente, $v_{\mathrm {i} }$ en algún momento $x$ en la línea viene dada por ^{[ 1 ]}

v_{\mathrm {i} }=V\,u(\kappa \,tx)\,\!

El incidente actual, $i_{\mathrm {i} }$ , se puede encontrar dividiendo por la impedancia característica, $Z_{0}$

i_{\mathrm {i} }={\frac {v_{\mathrm {i} }}{Z_{0}}}=I\,u(\kappa \,tx)

Línea de circuito abierto

La onda incidente que viaja por la línea no se ve afectada de ninguna manera por el circuito abierto al final de la línea. No puede tener ningún efecto hasta que el escalón llegue realmente a ese punto. La señal no puede tener ningún conocimiento previo de lo que hay al final de la línea y solo se ve afectada por las características locales de la línea. Sin embargo, si la línea es de longitud $\ell$ El paso llegará al circuito abierto en el momento $t=\ell /\kappa$ , en cuyo punto la corriente en la línea es cero (por definición de un circuito abierto). Dado que la carga continúa llegando al final de la línea a través de la corriente incidente, pero no sale corriente de la línea, entonces la conservación de la carga eléctrica requiere que debe haber una corriente igual y opuesta que entre al final de la línea. Esencialmente, esta es la ley de corrientes de Kirchhoff en funcionamiento. Esta corriente igual y opuesta es la corriente reflejada, ${\ Displaystyle i _ {\ mathrm {r}}}$ y desde entonces

i_{\mathrm {r} }={\frac {v_{\mathrm {r} }}{Z_{0}}}

También debe haber un voltaje reflejado, $v_{\mathrm {r} }$ para impulsar la corriente reflejada a lo largo de la línea. Este voltaje reflejado debe existir debido a la conservación de la energía. La fuente está suministrando energía a la línea a una tasa de $v_{\mathrm {i} }i_{\mathrm {i} }$ . Ninguna de estas energías se disipa en la línea o en su terminación y debe ir a alguna parte. La única dirección disponible es de regreso por la línea. Dado que la corriente reflejada es igual en magnitud a la corriente incidente, también debe ser tal que

v_{\mathrm {r} }=v_{\mathrm {i} }\,\!

Estos dos voltajes se sumarán entre sí de modo que, después de que el escalón se haya reflejado, aparecerá el doble del voltaje incidente en los terminales de salida de la línea. A medida que la reflexión avanza de regreso por la línea, el voltaje reflejado continúa sumándose al voltaje incidente y la corriente reflejada continúa restándose de la corriente incidente. Después de un intervalo adicional de $t=\ell /\kappa$ El escalón reflejado llega al extremo del generador y la condición de doble voltaje y corriente cero se aplicará también allí, así como a lo largo de toda la longitud de la línea. Si el generador está adaptado a la línea con una impedancia de $Z_{0}$ El transitorio escalonado será absorbido por la impedancia interna del generador y no habrá más reflexiones. ^{[ 2 ]}

Esta duplicación de voltaje, aparentemente contraintuitiva, puede quedar más clara si se consideran los voltajes del circuito cuando la línea es tan corta que puede ignorarse a efectos de análisis. El circuito equivalente de un generador adaptado a una carga $Z_{0}$ al que está suministrando un voltaje $V$ puede representarse como en la figura 2. Es decir, el generador puede representarse como un generador de voltaje ideal del doble del voltaje que debe entregar y una impedancia interna de $Z_{0}$ . ^{[ 2 ]}

Sin embargo, si el generador se deja en circuito abierto, se produce un voltaje de $2\,V$ aparece en los terminales de salida del generador como en la figura 3. La misma situación se presenta si se inserta una línea de transmisión muy corta entre el generador y el circuito abierto. Sin embargo, si se inserta una línea más larga con una impedancia característica de $Z_{0}$ y se inserta un retardo notable de extremo a extremo , el generador, al estar inicialmente adaptado a la impedancia de la línea, tendrá $V$ en la salida. Pero después de un intervalo, un transitorio reflejado regresará del final de la línea con la "información" de que la línea en realidad no está terminada, y el voltaje se convertirá en $2\,V$ como antes. ^{[ 2 ]}

Línea de cortocircuito

La reflexión en una línea en cortocircuito puede describirse en términos similares a la de una línea en circuito abierto. Al igual que en el caso de un circuito abierto, donde la corriente debe ser cero al final de la línea, en el caso de un cortocircuito la tensión debe ser cero, ya que no puede haber voltios a través de un cortocircuito. Nuevamente, toda la energía debe reflejarse de vuelta a lo largo de la línea y la tensión reflejada debe ser igual y opuesta a la tensión incidente, según la ley de tensiones de Kirchhoff .

v_{\mathrm {r} }=-v_{\mathrm {i} }\,\!

y

i_{\mathrm {r} }=-i_{\mathrm {i} }\,\!

A medida que la reflexión viaja de regreso por la línea, los dos voltajes se restan y se cancelan, mientras que las corrientes se suman (la reflexión es doblemente negativa: una corriente negativa que viaja en sentido inverso), la situación dual al caso de circuito abierto. ^{[ 2 ]}

Impedancia arbitraria

En el caso general de una línea terminada en una impedancia arbitraria, es habitual describir la señal como una onda que se propaga a lo largo de la línea y analizarla en el dominio de la frecuencia . En consecuencia, la impedancia se representa como una función compleja dependiente de la frecuencia .

Para una línea terminada en su propia impedancia característica no hay reflexión. Por definición, terminar en la impedancia característica tiene el mismo efecto que una línea infinitamente larga. Cualquier otra impedancia dará como resultado una reflexión. La magnitud de la reflexión será menor que la magnitud de la onda incidente si la impedancia de terminación es total o parcialmente resistiva, ya que parte de la energía de la onda incidente será absorbida en la resistencia. El voltaje ( $V_{\mathrm {o} }$ ) a través de la impedancia de terminación ( $Z_{\mathrm {L} }$ ), se puede calcular reemplazando la salida de la línea con un generador equivalente (figura 4) y viene dado por ^{[ 3 ].}

V_{\mathrm {o} }=2\,V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }}{Z_{\mathrm {0} }+Z_{\mathrm {L} }}}

El reflejo, $V_{\mathrm {r} }$ debe ser la cantidad exacta requerida para hacer $V_{\mathrm {i} }+V_{\mathrm {r} }=V_{\mathrm {o} }$ ,

V_{\mathrm {r} }=V_{\mathrm {o} }-V_{\mathrm {i} }=2\,V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }}{Z_{\mathrm {0} }+Z_{\mathrm {L} }}}-V_{\mathrm {i} }=V_{\mathrm {i} }{\frac {Z_{\mathrm {L} }-Z_{\mathrm {0} }}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{\mathrm {0} }}}

El coeficiente de reflexión, ${\mathit {\Gamma }}$ , se define como

{\mathit {\Gamma }}={\frac {\,V_{\mathrm {r} }\,}{V_{\mathrm {i} }}}

y sustituyendo en la expresión para $V_{\mathrm {r} }$ ,

{\mathit {\Gamma }}={\frac {V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {i} }}}={\frac {I_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {i} }}}={\frac {Z_{\mathrm {L} }-Z_{\mathrm {0} }}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{\mathrm {0} }}}

En general ${\mathit {\Gamma }}$ es una función compleja pero la expresión anterior muestra que la magnitud está limitada a

\left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|\leq 1

cuando

\operatorname {Re} (Z_{\mathrm {L} }),\operatorname {Re} (Z_{0})>0

La interpretación física de esto es que la reflexión no puede ser mayor que la onda incidente cuando solo intervienen elementos pasivos (pero véase el amplificador de resistencia negativa para un ejemplo donde esta condición no se cumple). ^{[ 4 ]} Para los casos especiales descritos anteriormente,

Cuando ambos $Z_{0}$ y $Z_{\mathrm {L} }$ son puramente resistivos entonces ${\mathit {\Gamma }}$ debe ser puramente real. En el caso general cuando ${\mathit {\Gamma }}$ es complejo, esto debe interpretarse como un cambio de fase de la onda reflejada con respecto a la onda incidente. ^{[ 5 ]}

Terminación reactiva

Otro caso especial ocurre cuando $Z_{0}$ es puramente real ( $R_{0}$ ) y $Z_{\mathrm {L} }$ es puramente imaginario ( $j\,X_{\mathrm {L} }$ ), es decir, es una reactancia . En este caso,

{\mathit {\Gamma }}={\frac {j\,X_{\mathrm {L} }-R_{\mathrm {0} }}{j\,X_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {0} }}}

Desde

|jX_{\mathrm {L} }-R_{\mathrm {0} }|=|jX_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {0} }|\,

entonces

|{\mathit {\Gamma }}|=1\,

mostrando que toda la onda incidente se refleja y ninguna se absorbe en la terminación, como es de esperar de una reactancia pura . Sin embargo, hay un cambio de fase, $\theta$ , en la reflexión dada por

\theta ={\begin{cases}\pi -2\,\arctan {\frac {X_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {0} }}}&{\mbox{if }}{X_{\mathrm {L} }}>0\\-\pi -2\,\arctan {\frac {X_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {0} }}}&{\mbox{if }}{X_{\mathrm {L} }}<0\\\end{cases}}

Discontinuidad a lo largo de la línea

Una discontinuidad o desajuste en algún punto a lo largo de la línea provoca que parte de la onda incidente se refleje y parte se transmita hacia adelante en la segunda sección de la línea, como se muestra en la figura 5. El coeficiente de reflexión en este caso viene dado por

{\mathit {\Gamma }}={\frac {\,Z_{02}-Z_{01}\,\,}{Z_{02}+Z_{01}}}

De manera similar, un coeficiente de transmisión , $T$ , se puede definir para describir la porción de la onda, $V_{\mathrm {t} }$ , que se transmite en la dirección de avance:

T={\frac {V_{\mathrm {t} }}{V_{\mathrm {i} }}}={\frac {2\,Z_{02}}{\,Z_{02}+Z_{01}\,\,}}

Otro tipo de discontinuidad se produce cuando ambas secciones de la línea tienen una impedancia característica idéntica, pero hay un elemento concentrado. $Z_{\mathrm {L} }$ , en la discontinuidad. Para el ejemplo mostrado (figura 6) de un elemento concentrado en derivación,

{\mathit {\Gamma }}={\frac {-Z_{0}}{\,Z_{0}+2\,Z_{\mathrm {L} }\,}}

T={\frac {2\,Z_{\mathrm {L} }}{\,Z_{0}+2\,Z_{\mathrm {L} }\,}}

Se pueden desarrollar expresiones similares para un elemento en serie, o para cualquier red eléctrica. ^{[ 6 ]}

Redes

Las reflexiones en escenarios más complejos, como los que se encuentran en una red de cables, pueden generar formas de onda muy complejas y de larga duración en el cable. Incluso un simple pulso de sobretensión que ingresa a un sistema de cableado tan sencillo como el cableado eléctrico de una vivienda unifamiliar típica puede generar una perturbación oscilatoria a medida que el pulso se refleja hacia y desde múltiples extremos del circuito. Estas ondas de anillo, como se las conoce ^{[ 7 ],} persisten durante mucho más tiempo que el pulso original y sus formas de onda guardan poca semejanza con la perturbación original, conteniendo componentes de alta frecuencia en el rango de decenas de MHz. ^{[ 8 ]}

ondas estacionarias

En una línea de transmisión que transporta ondas sinusoidales, la fase de la onda reflejada cambia continuamente con la distancia, respecto a la onda incidente, a medida que retrocede por la línea. Debido a este cambio continuo, existen ciertos puntos en la línea donde la reflexión estará en fase con la onda incidente y la amplitud de ambas ondas se sumará. En otros puntos, las dos ondas estarán en antifase y, por consiguiente, se restarán. En estos últimos puntos, la amplitud es mínima y se conocen como nodos . Si la onda incidente se ha reflejado totalmente y la línea no presenta pérdidas, se producirá una cancelación completa en los nodos, con una señal nula presente a pesar de la transmisión continua de ondas en ambas direcciones. Los puntos donde las ondas están en fase son antinodos y representan un pico de amplitud. Los nodos y antinodos se alternan a lo largo de la línea y la amplitud de la onda combinada varía continuamente entre ellos. La onda combinada (incidente más reflejada) parece estar estacionaria en la línea y se denomina onda estacionaria . ^{[ 9 ]}

La onda incidente puede caracterizarse en términos de la constante de propagación de la línea. $\gamma$ , voltaje de la fuente $V$ y la distancia desde la fuente $x'$ , por

V_{\mathrm {i} }=V\,e^{-\gamma \,x'}\,\!

Sin embargo, a menudo es más conveniente trabajar en términos de distancia a la carga ( $x=\ell -x'$ ) y la tensión incidente que ha llegado allí ( $V_{\mathsf {iL}}$ ).

V_{\mathrm {i} }=V_{\mathsf {iL}}\,e^{\gamma \,x}\,\!

El signo negativo está ausente porque $x$ se mide en la dirección inversa, de regreso a lo largo de la línea, y el voltaje aumenta a medida que se acerca a la fuente. De igual manera, el voltaje reflejado viene dado por

V_{\mathsf {r}}={\mathit {\Gamma }}\,V_{\mathsf {iL}}\,e^{-\gamma \,x}~.

El voltaje total en la línea viene dado por

V_{\mathsf {T}}=V_{\mathsf {i}}+V_{\mathsf {r}}=V_{\mathsf {iL}}\,\left(e^{\gamma \,x}+{\mathit {\Gamma }}\,e^{-\gamma \,x}\right)~.

A menudo resulta conveniente expresar esto en términos de funciones hiperbólicas.

V_{\mathsf {T}}=V_{\mathsf {iL}}\,\left[\,\left(1+{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\cosh(\gamma \,x)+\left(1-{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\sinh(\gamma \,x)\,\right]~.

De manera similar, la corriente total en la línea es

I_{\mathsf {T}}=I_{\mathsf {iL}}\,\left[\,(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cosh(\gamma \,x)+(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)\,\right]~.

Los nodos de voltaje (los nodos de corriente no están en las mismas ubicaciones) y los antinodos ocurren cuando

{\frac {\partial \left|V_{\mathsf {T}}\right|}{\partial x}}=0~.

Debido a las barras de valor absoluto, la solución analítica del caso general es tediosamente complicada, pero en el caso de líneas sin pérdidas (o líneas que son lo suficientemente cortas como para que las pérdidas puedan despreciarse) $\gamma$ puede ser reemplazado por $j\,\beta$ dónde $\beta$ es la constante de cambio de fase . La ecuación de voltaje se reduce entonces a funciones trigonométricas.

V_{\mathsf {T}}=V_{\mathsf {iL}}\,\left[\,(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cos(\beta \,x)+j\,\left(1-{\mathit {\Gamma }}\,\right)\,\sin(\beta \,x)\,\right]~,

y la derivada parcial de la magnitud de esto produce la condición,

-2\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \{\,{\mathit {\Gamma }}\,\}=\tan(2\,\beta \,x)~.

Expresar $\beta$ en términos de longitud de onda, $\lambda$ permite $x$ a resolver en términos de $\lambda$ :

-2\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \{\,{\mathit {\Gamma }}\,\}=\tan \left({\frac {\,4\,\pi \,}{\lambda }}\,x\right)~.

${\mathit {\Gamma }}$ es puramente real cuando la terminación es un cortocircuito o un circuito abierto, o cuando ambos $Z_{0}$ y $Z_{\mathrm {L} }$ son puramente resistivos. En esos casos, los nodos y antinodos vienen dados por

\tan \left(\,{\frac {4\,\pi \,}{\lambda }}\,x\right)=0~,

que resuelve para $x$ en

x=0,~~{\tfrac {1}{4}}\lambda ,~~{\tfrac {1}{2}}\lambda ,~~{\tfrac {3}{4}}\lambda ,~\dots ~.

Para $R_{\mathrm {L} }<R_{0}$ el primer punto es un nodo, para $R_{\mathrm {L} }>R_{0}$ El primer punto es un antinodo y, a partir de entonces, se alternarán. Para terminaciones que no son puramente resistivas, el espaciado y la alternancia permanecen iguales, pero todo el patrón se desplaza a lo largo de la línea en una cantidad constante relacionada con la fase de ${\mathit {\Gamma }}$ . ^{[ 10 ]}

relación de onda estacionaria de voltaje

La relación de $|V_{\mathsf {T}}|$ La relación de onda estacionaria de voltaje (VSWR) en los antinodos y nodos se denomina relación de onda estacionaria de voltaje (VSWR) y está relacionada con el coeficiente de reflexión por

{\mathsf {VSWR}}={\frac {1+\left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|}{1-\left|{\mathit {\Gamma }}\,\right|}}

Para una línea sin pérdidas, la expresión para la relación de onda estacionaria de corriente (ISWR) es idéntica. Para una línea con pérdidas, la expresión solo es válida cerca de la terminación; la VSWR se aproxima asintóticamente a la unidad con la distancia a la terminación o discontinuidad.

La ROE y la posición de los nodos son parámetros que se pueden medir directamente con un instrumento llamado línea ranurada . Este instrumento aprovecha el fenómeno de reflexión para realizar diversas mediciones en frecuencias de microondas. Una de sus aplicaciones es que la ROE y la posición de los nodos se pueden utilizar para calcular la impedancia de un componente de prueba conectado a la línea ranurada. Este método resulta útil, ya que la medición de impedancias mediante la medición directa de voltajes y corrientes es difícil a estas frecuencias. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

La ROE (Relación de Onda Estacionaria) es la forma convencional de expresar la adaptación de impedancia de un transmisor de radio a su antena. Es un parámetro importante porque la potencia reflejada hacia un transmisor de alta potencia puede dañar su circuito de salida. ^{[ 13 ]}

impedancia de entrada

La impedancia de entrada vista en una línea de transmisión que no está terminada con su impedancia característica en el extremo opuesto será algo distinto de $Z_{0}$ y será función de la longitud de la línea. El valor de esta impedancia se puede encontrar dividiendo la expresión para el voltaje total por la expresión para la corriente total dada anteriormente: ^{[ 14 ]}

Z_{\mathrm {in} }={\frac {V_{\mathrm {T} }}{I_{\mathrm {T} }}}=Z_{0}{\frac {(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\cosh(\gamma \,x)+(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)}{(1-{\mathit {\Gamma }}\,)\,\cosh(\gamma \,x)+(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\,\sinh(\gamma \,x)}}

Sustituyendo $x=\ell$ , la longitud de la línea y dividiendo por $(1+{\mathit {\Gamma }}\,)\cosh(\gamma \,x)$ reduce esto a

Z_{\mathrm {in} }=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}\tanh(\gamma \,\ell )}{Z_{0}+Z_{\mathrm {L} }\tanh(\gamma \,\ell )}}

Como antes, al considerar solo tramos cortos de línea de transmisión, $\gamma$ puede ser reemplazado por $j\,\beta$ y la expresión se reduce a funciones trigonométricas

Z_{\mathrm {in} }=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+j\,Z_{0}\tan(\beta \,\ell )}{Z_{0}+j\,Z_{\mathrm {L} }\tan(\beta \,\ell )}}

Aplicaciones

Hay dos estructuras de particular importancia que utilizan ondas reflejadas para modificar la impedancia. Una es el stub , que es un tramo corto de línea terminado en un cortocircuito (o puede ser un circuito abierto). Esto produce una impedancia puramente imaginaria en su entrada, es decir, una reactancia.

X_{\mathrm {in} }=Z_{0}\tan(\beta \,\ell )\,\!

Mediante una selección adecuada de la longitud, el segmento puede utilizarse en lugar de un condensador, un inductor o un circuito resonante. ^{[ 15 ]}

La otra estructura es el transformador de impedancia de cuarto de onda . Como su nombre indica, se trata de una línea exactamente $\lambda /4$ en longitud. Desde $\beta \ell =\pi /2$ Esto producirá el inverso de su impedancia de terminación ^{[ 16 ].}

Z_{\mathrm {in} }={\frac {{Z_{0}}^{2}}{Z_{\mathrm {L} }}}

Ambas estructuras se utilizan ampliamente en filtros de elementos distribuidos y redes de adaptación de impedancias .

Véase también

Citas

↑ Carr, páginas 70–71
1 2 3 4 Pai y Zhang, páginas 89–96
^ Matthaei y col. , páginas 34
^ Matthaei y col. , páginas 8–10
↑ Connor, páginas 30–31
^ Matthaei y col. , páginas 34–35
↑ Término definido originalmente en la norma IEEE 587 Aplicabilidad al control de frecuencia ajustable (tensiones de sobretensión)
↑ Standler, páginas 74–76
↑ Connor, páginas 28–31
↑ Connor, página 29
↑ Connor, páginas 31–32
↑ Engen, páginas 73–76
↑ Bowick et al. , página 182
↑ Connor, páginas 13–14
^ Connor, págs. 32-35, Matthaei et al. , páginas 595–605
^ Matthaei y col. , páginas 434–435

Referencias

Bowick, Christopher; Ajluni, Cheryl; Blyler, John, Diseño de circuitos de RF , Newnes, 2011 ISBN 0-08-055342-7.
Carr, Joseph J., Manual práctico de antenas , McGraw-Hill Professional, 2001 ISBN 0-07-137435-3.
Connor, FR, Transmisión de ondas , Edward Arnold Ltd., 1972 ISBN 0-7131-3278-7.
Engen, Glenn F., Teoría de circuitos de microondas y fundamentos de la metrología de microondas , IET, 1992 ISBN 0-86341-287-4.
Matthaei, G.; Young, L.; Jones, EMT, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964.
Pai, ST; Zhang, Qi, Introducción a la tecnología de pulsos de alta potencia , World Scientific, 1995 ISBN 981-02-1714-5.
Standler, Ronald B., Protección de circuitos electrónicos contra sobretensiones , Courier Dover Publications, 2002 ISBN 0-486-42552-5.

[1] Carr, páginas 70–71

[Pai-2] 1 2 3 4 Pai y Zhang, páginas 89–96

[3] Matthaei y col. , páginas 34

[4] Matthaei y col. , páginas 8–10

[5] Connor, páginas 30–31

[6] Matthaei y col. , páginas 34–35

[7] Término definido originalmente en la norma IEEE 587 Aplicabilidad al control de frecuencia ajustable (tensiones de sobretensión)

[8] Standler, páginas 74–76

[9] Connor, páginas 28–31

[10] Connor, página 29

[11] Connor, páginas 31–32

[12] Engen, páginas 73–76

[13] Bowick et al. , página 182

[14] Connor, páginas 13–14

[15] Connor, págs. 32-35, Matthaei et al. , páginas 595–605

[16] Matthaei y col. , páginas 434–435

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