Epimorfismo

En teoría de categorías , un epimorfismo es un morfismo f  : X → Y que es cancelativo por la derecha en el sentido de que, para todos los objetos Z y todos los morfismos g ₁ , g ₂ : Y → Z , $${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$$

Algunos autores utilizan el adjetivo epi (un epimorfismo es un morfismo que es epi). Los epimorfismos son análogos categóricos de las funciones sobreyectivas o sobreyectivas (y en la categoría de conjuntos el concepto corresponde exactamente a las funciones sobreyectivas), pero pueden no coincidir exactamente en todos los contextos. El dual de un epimorfismo es un monomorfismo (es decir, un epimorfismo en una categoría C es un monomorfismo en la categoría dual C ^op ).

El epimorfismo puede ser una condición sutilmente más débil que la sobreyectividad. Por ejemplo, en la categoría de anillos, la inclusión${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$La transformación de enteros en números racionales es un epimorfismo, ya que las imágenes de enteros bajo un homomorfismo también determinan las imágenes de cocientes de enteros. En la categoría de espacios de Hausdorff , un epimorfismo es precisamente una función continua con imagen densa , ya que la imagen de una sucesión de Cauchy determina la imagen de su punto límite: por ejemplo, la inclusión${\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$del espacio métrico de los números racionales en la recta numérica real.

Muchos autores en álgebra abstracta y álgebra universal definen un epimorfismo simplemente como un homomorfismo sobreyectivo o sobreyectivo . Todo epimorfismo en este sentido algebraico es un epimorfismo en el sentido de la teoría de categorías, pero lo contrario no es cierto en todas las categorías. En este artículo, el término «epimorfismo» se utilizará en el sentido de la teoría de categorías antes mencionado. Para más información, véase la sección « Terminología» más adelante. 

En una categoría concreta (en la que cada objeto tiene un conjunto subyacente), si la función subyacente de un morfismo es sobreyectiva, entonces el morfismo es epimorfismo. En muchas categorías concretas de interés, también se cumple lo contrario. Por ejemplo, en las siguientes categorías, los epimorfismos son precisamente aquellos morfismos que son sobreyectivos sobre los conjuntos subyacentes:

• Conjunto : conjuntos y funciones. Para demostrar que todo epimorfismo f  : X → Y en Conjunto es sobreyectivo, lo componemos con la función característica g ₁  : Y → {0, 1} de la imagen f ( X ) y la aplicación g ₂  : Y → {0, 1} que es constante 1.
• Rel : conjuntos con relaciones binarias y funciones que preservan la relación. Aquí podemos usar la misma prueba que para Set , dotando a {0, 1} de la relación completa {0, 1} × {0, 1} .
• Pos : conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas . Si f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) no es sobreyectiva, elijamos y ₀ en Y \ f ( X ) y sea g ₁  : Y → {0, 1} la función característica de { y | y ₀ ≤ y } y g ₂  : Y → {0, 1} la función característica de { y | y ₀ < y } . Estas aplicaciones son monótonas si {0, 1} tiene el orden estándar 0 < 1 .
• Grp : grupos y homomorfismos de grupos . El resultado de que todo epimorfismo en Grp es sobreyectivo se debe a Otto Schreier (de hecho, demostró más, mostrando que todo subgrupo es un ecualizador usando el producto libre con un subgrupo amalgamado); una demostración elemental se puede encontrar en (Linderholm 1970).
• FinGrp : grupos finitos y homomorfismos de grupos. También debido a Schreier; la demostración dada en (Linderholm 1970) establece también este caso.
• Ab : grupos abelianos y homomorfismos de grupo.
• K -Vect :espacios vectorialessobre uncampoKytransformaciones K -lineales .
• Mod - R : módulos derechos sobre un anillo R y homomorfismos de módulos . Esto generaliza los dos ejemplos anteriores; para demostrar que todo epimorfismo f  : X → Y en Mod - R es sobreyectivo, lo componemos con el mapa cociente canónico g ₁  : Y → Y / f ( X ) y el mapa cero g ₂  : Y → Y / f ( X ) .
• Top : espacios topológicos y funciones continuas . Para demostrar que todo epimorfismo en Top es sobreyectivo, procedemos exactamente como en Set , dando a {0, 1} la topología indiscreta , que asegura que todos los mapas considerados son continuos.
• HComp : espacios de Hausdorff compactos y funciones continuas. Si f : X → Y no es sobreyectiva, sea y ∈ Y − fX . Como fX es cerrado, por el lema de Urysohn existe una función continua g ₁ : Y → [0, 1] tal que g ₁ es 0 en fX y 1 en y . Componemos f con g ₁ y la función cero g ₂ : Y → [0, 1].   

Sin embargo, también existen muchas categorías concretas de interés donde los epimorfismos no son sobreyectivos. Algunos ejemplos son:

• En la categoría de monoides , Mon , la aplicación de inclusión N → Z es un epimorfismo no sobreyectivo. Para ver esto, supongamos que g ₁ y g ₂ son dos aplicaciones distintas de Z a algún monoide M. Entonces, para algún n en Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), por lo que g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). O bien n o bien − n está en N , por lo que las restricciones de g ₁ y g ₂ a N son diferentes.
• En la categoría de álgebras sobre anillos conmutativos${\displaystyle R}$, llevar${\displaystyle R[x]\to R[x,x^{-1}]}$los polimios sobre${\displaystyle R}$incluido en los polinomios de Laurent (este es el morfismo de anillos monoides correspondiente a la inclusión anterior N → Z ). Este es un epimorfismo ya que cualquier homomorfismo de álgebras respeta el inverso multiplicativo siempre que esté definido, por lo que la imagen de${\displaystyle x\in R[x]}$determina la imagen de cualquier polinomio de Laurent.
• En la categoría de anillos , Ring , la aplicación de inclusión Z → Q es un epimorfismo no sobreyectivo; para comprobarlo, observe que cualquier homomorfismo de anillos en Q está determinado enteramente por su acción en Z , de forma similar al ejemplo anterior. Un argumento similar demuestra que el homomorfismo de anillos natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo.
• En la categoría de anillos conmutativos , un homomorfismo finitamente generado de anillos f  : R → S es un epimorfismo si y solo si para todos los ideales primos P de R , el ideal Q generado por f ( P ) es S o es primo, y si Q no es S , el mapa inducido Frac ( R / P ) → Frac( S / Q ) es un isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
• En la categoría de espacios de Hausdorff, Haus , los epimorfismos son precisamente las funciones continuas con imágenes densas . Por ejemplo, la aplicación de inclusión Q → R es un epimorfismo no sobreyectivo.

Lo anterior difiere del caso de los monomorfismos, donde es más frecuente que los monomorfismos sean precisamente aquellos cuyas funciones subyacentes son inyectivas .

En cuanto a ejemplos de epimorfismos en categorías no concretas:

• Si un monoide o anillo se considera como una categoría con un solo objeto (composición de morfismos dados por multiplicación), entonces los epimorfismos son precisamente los elementos cancelables por la derecha.
• Si un grafo dirigido se considera como una categoría (los objetos son los vértices, los morfismos son los caminos, la composición de morfismos es la concatenación de caminos), entonces todo morfismo es un epimorfismo.

Todo isomorfismo es un epimorfismo; de hecho, solo se necesita un inverso por la derecha: supongamos que existe un morfismo j  : Y → X tal que fj = id _Y . Para cualquier morfismo${\displaystyle h_{1},h_{2}:Y\to Z}$dónde${\displaystyle h_{1}f=h_{2}f}$, tienes eso${\displaystyle h_{1}=h_{1}id_{Y}=h_{1}fj=h_{2}fj=h_{2}}$Una aplicación con una inversa derecha de este tipo se denomina epimorfismo dividido . En un topos elemental , una aplicación que es a la vez un morfismo mónico y un epimorfismo es un isomorfismo.

La composición de dos epimorfismos es también un epimorfismo. Si la composición fg de dos morfismos es un epimorfismo, entonces f debe ser un epimorfismo.

Como demuestran algunos de los ejemplos anteriores, la propiedad de ser un epimorfismo no está determinada por su comportamiento como función, sino también por la categoría de contexto. Si D es una subcategoría de C , entonces todo morfismo en D que sea un epimorfismo al considerarse como un morfismo en C también lo es en D. Sin embargo, no tiene por qué ser cierto lo contrario; la categoría más pequeña puede tener (y a menudo tendrá) más epimorfismos.

Como ocurre con la mayoría de los conceptos en la teoría de categorías, los epimorfismos se conservan bajo equivalencias de categorías : dada una equivalencia F  : C → D , un morfismo f es un epimorfismo en la categoría C si y solo si F ( f ) es un epimorfismo en D. Una dualidad entre dos categorías convierte los epimorfismos en monomorfismos, y viceversa.

La definición de epimorfismo puede reformularse para establecer que f  : X → Y es un epimorfismo si y solo si las aplicaciones inducidas $${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$$ son inyectivas para cada elección de Z. Esto a su vez es equivalente a la transformación natural inducida.$${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$$ ser un monomorfismo en la categoría de funtores Set ^C .

Todo coecualizador es un epimorfismo, consecuencia del requisito de unicidad en la definición de coecualizadores. En particular, se deduce que todo conúcleo es un epimorfismo. Lo contrario, es decir, que todo epimorfismo sea un coecualizador, no se cumple en todas las categorías.

En muchas categorías es posible escribir cada morfismo como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Por ejemplo, dado un homomorfismo de grupo f  : G → H , podemos definir el grupo K = im( f ) y luego escribir f como la composición del homomorfismo sobreyectivo G → K que se define como f , seguido del homomorfismo inyectivo K → H que envía cada elemento a sí mismo. Dicha factorización de un morfismo arbitrario en un epimorfismo seguido de un monomorfismo puede realizarse en todas las categorías abelianas y también en todas las categorías concretas mencionadas anteriormente en §  Ejemplos (aunque no en todas las categorías concretas).

Entre otros conceptos útiles se encuentran el epimorfismo regular , el epimorfismo extremal , el epimorfismo inmediato , el epimorfismo fuerte y el epimorfismo dividido .

• Se dice que un epimorfismo es regular si es un coecualizador de algún par de morfismos paralelos. ^{[ 1 ]}
• Se dice que un epimorfismo f es estricto si es un coecualizador de todo par de morfismos g, h tales que${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$. ^{[ 2 ]}
• Un epimorfismo${\displaystyle \varepsilon }$Se dice que es extremal ^{[ 3 ]} si en cada representación${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$, dónde${\displaystyle \mu }$es un monomorfismo , el morfismo${\displaystyle \mu }$es automáticamente un isomorfismo .
• Un epimorfismo${\displaystyle \varepsilon }$Se dice que es inmediato si en cada representación${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$, dónde${\displaystyle \mu }$es un monomorfismo y${\displaystyle \varepsilon '}$es un epimorfismo, el morfismo${\displaystyle \mu }$es automáticamente un isomorfismo .
• Un epimorfismo${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$Se dice que es fuerte ^{[ 3 ] [ 4 ]} si para cualquier monomorfismo${\displaystyle \mu :C\to D}$y cualquier morfismo${\displaystyle \alpha :A\to C}$y${\displaystyle \beta :B\to D}$de tal manera que${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$, existe un morfismo${\displaystyle \delta :B\to C}$de tal manera que${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$y${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• Un epimorfismo${\displaystyle \varepsilon }$Se dice que está dividido si existe un morfismo.${\displaystyle \mu }$de tal manera que${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$(en este caso${\displaystyle \mu }$se denomina inversa del lado derecho para${\displaystyle \varepsilon }$).

También existe la noción de epimorfismo homológico en la teoría de anillos. Un morfismo f : A → B de anillos es un epimorfismo homológico si es un epimorfismo e induce un functor completo y fiel en categorías derivadas : D( f )  : D( B ) → D( A ).

Un morfismo que es a la vez monomorfismo y epimorfismo se llama bimorfismo . Todo isomorfismo es un bimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Por ejemplo, la aplicación del intervalo semiabierto [0,1) al círculo unitario S ¹ (considerado como un subespacio del plano complejo ) que envía x a exp(2πi x ) (véase la fórmula de Euler ) es continua y biyectiva, pero no un homeomorfismo , ya que la aplicación inversa no es continua en 1, por lo que es un ejemplo de un bimorfismo que no es un isomorfismo en la categoría Top . Otro ejemplo es la incrustación Q → R en la categoría Haus ; como se mencionó anteriormente, es un bimorfismo, pero no es biyectiva y, por lo tanto, no es un isomorfismo. De manera similar, en la categoría de anillos , la aplicación Z → Q es un bimorfismo pero no un isomorfismo.

Los epimorfismos se utilizan para definir objetos cociente abstractos en categorías generales: se dice que dos epimorfismos f ₁  : X → Y ₁ y f ₂  : X → Y ₂ son equivalentes si existe un isomorfismo j  : Y ₁ → Y ₂ tal que j f ₁ = f ₂ . Esta es una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia se definen como los objetos cociente de X .

Los términos complementarios epimorfismo y monomorfismo fueron introducidos por primera vez por Bourbaki . Bourbaki utiliza epimorfismo como abreviatura de función sobreyectiva . Los primeros teóricos de categorías creían que los epimorfismos eran el análogo correcto de las sobreyecciones en una categoría arbitraria, de forma similar a como los monomorfismos son un análogo cercano de las inyecciones. Desafortunadamente, esto es incorrecto; los epimorfismos fuertes o regulares se comportan mucho más como sobreyecciones que los epimorfismos ordinarios.

Saunders Mac Lane intentó establecer una distinción entre epimorfismos , que eran aplicaciones en una categoría concreta cuyos conjuntos subyacentes eran sobreyectivos, y morfismos épicos , que son epimorfismos en el sentido categórico. Sin embargo, esta distinción nunca se popularizó.

Es un error común pensar que el epimorfismo es un concepto mejor que la sobreyectividad. Desafortunadamente, esto rara vez es así; los epimorfismos pueden ser muy misteriosos y tener un comportamiento inesperado. Resulta muy difícil, por ejemplo, clasificar todos los epimorfismos de anillos. En general, el epimorfismo es un concepto complejo, relacionado con la sobreyectividad pero fundamentalmente diferente.

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